Agrégation

Un peu de pub

Si vous êtes à la recherche de développements originaux (y compris en option D), agrémentés de commentaires et de questions possibles du jury, ce livre est fait pour vous ! Vous pouvez en découvrir un extrait ici.

Introduction

Vous trouverez sur cette page des documents et des pointeurs vers des pages utiles pour la préparation à l'agrégation. Je tiens à préciser que ces documents ont été postés sans relecture de ma part (ou presque) mais qu'il doit s'y nicher énormément d'erreurs. Toute erreur qui me sera signalée sera corrigée dans les plus brefs délais.

AVERTISSEMENT : Ces documents sont livrés sans aucune garantie de non atteinte à la santé mentale des lecteurs. Il est fort possible qu'on puisse s'arracher les cheveux dessus... Je plaide coupable. Si quelque chose nécessite des explications, vous pouvez toujours essayer de m'envoyer un mail, je ne mords pas (souvent). Notez en revanche qu'il n'y a aucune garantie de réponse en délais raisonnables (ni de réponse tout court).

Puisqu'il faut commencer quelque part : voici un cartouche de plan de leçon. Les jours J et J+1 où je suis passé, les cadres n'étaient tracés sur aucune feuille, il y avait seulement le nom et les titres de leçons à écrire sur la première page, la taille du cadre était laissée à l'appréciation du candidat. Ce cadre fournit à peu près une borne sup de l'espace utilisable sur toutes les pages sauf la première. Voici aussi mon mémoire sur la leçon 223 sur les séries numériques. Il y a ici une tentative (qui ne terminera certainement jamais) de document regroupant des idées de plans pour chaque leçon au programme de l'option D. Si vous voulez poursuivre sur cette base, vous pouvez me transmettre ce que vous voulez ajouter dans les leçons encore vides.

Programmes

• Un générateur de couplages aléatoires (OCaml). Utile pour se rassurer ou faire des statistiques sur les probabilités d'avoir des couplages pas jolis... ou simplement pour tirer uniformément des couplages parce que c'est rigolo.
• Un script Perl qui permet de gérer relativement efficacement ses couplages et de voir en un seul coup d'œil où sont les trous à boucher. Son fonctionnement est expliqué au début du fichier. Il nécessite quelques fichiers de confguration dont la syntaxe et la fonction sont aussi précisés dans le fichier source. Ici on trouvera la liste des leçons de l'option D de mon année au bon format.

Développements

Tout d'abord le fichier recensant mes couplages (au format compatible avec le programme perl précédent).

Des développements d'informatique :

• Arbres binaires de recherche optimaux : Attention! Il faut avoir conscience d'une magouille avec des probabilités renormalisées quand on recherche dans les sous-arbres !
• Construction d'un analyseur syntaxique
• Automate des occurrences : Contrairement à ce que j'ai eu la flemme d'écrire ici, ne pas oublier de faire un exemple
• Turing-calculable implique mu-récursif.
• Caractérisation des langages RE : Attention à être au point sur le développement précédent pour présenter celui-ci
• Théorème de compacité : il peut être intéressant de savoir où sont les compacts (on me l'a demandé en modé!)
• Tris fusion et rapide : pas terrible, trop simple, si comme pour moi, il est un peu court, ne pas hésiter à rajouter les algos
• Théorème de Cook : Ce développement est piégeux, il faudrait vraiment écrire les formules de la fin (ça se fait, c'est pas si atroce). Autrement il reste la méthode Wolper...
• Algorithme de Cocke-Younger-Kasami : il faut bien penser à dire que la grammaire est fixée, et ne pas oublier les applications comme algorithme naïf d'analyse syntaxique
• Transformée de Fourier rapide : le nom fait peur mais c'est l'incontournable de la leçon 902 !
• Hachage parfait : pour lui rendre un côté info, ne pas hésiter à écrire un algo de construction des fonctions de hachage et étudier sa complexité.
• Théorème de Lowenheim-Skolem : attention à ne pas s'embrouiller
• Plus longue sous-séquence commune : un peu court, penser à des applications (ex: plus courte sur-séquence commune).
• Arithmétique de Presburger
• Description simpliste de Prolog : c'est le développement esbroufe, on n'y fait pas grand chose et il est très facile de moduler la durée du développement avec la génération des arbres
• Approximation de PVC euclidien
• Théorème de Savitch : se recase abusivement dans 902 et 926
• Indécidabilité de la terminaison d'un système de réécriture : il faut pouvoir parler du cas décidable (la proposition d'après dans le Baader)
• Tri par tas
• Tri topologique : on n'y fait pas grand chose mais le choix de l'exemple à la fin peut donner des situations rigolotes
• Algorithme d'unification

Mes développements de maths :

• Théorème de Banach-Steinhaus et application aux séries de Fourier : l'horreur à la fin est censée être un exemple explicite de fonction qui marche pas
• Nombres de Bell : penser à parler des moments d'ordre n d'une loi de Poisson de paramètre 1
• Décomposition de Bruhat
• Théorème de Cauchy-Lipschitz : à NE PAS mettre dans la leçon sur les EDO linéaires
• Existence, unicité et construction des corps finis
• Décomposition de Dunford par la méthode de Newton
• Théorème d'Erdos-Ginzburg-Ziv
• Théorème des extremas liés et applications : selon la leçon dans laquelle il est présenté, il faut choisir la version sous-variétés qui trivialise le théorème ou la version TFI calculatoire
• Développement en fractions continues : joli recasage d'algèbre dans les leçons de suites
• Processus de Galton-Watson : pour rentrer dans la leçon sur espérance, il vaut mieux sortir les espérances conditionnelles
• Groupe circulaire : ce développement cache énormément de choses sous un gros tapis, il est plus sage de consulter la version un peu plus propre d'Antonin
• Théorème de Helly : essayer de trouver une application ; il y en a en probas !
• Isométries du cube : cette version esquive les produits semi-directs, c'est dommage
• Ellipsoïde de John-Loewner
• Méthode de Kacmarz : original et pas très dur
• Méthode de Laplace : moche et calculatoire, mais on a enfin une application au lemme de Morse
• Théorème de Lie-Kolchin
• Étude de la loi Gamma
• Théorème de Lyapunov
• Marche aléatoire sur Z
• Méthode de Newton : la deuxième partie se généralise aux fonctions convexes
• Formule de Poisson et application : un des recasages les plus pratiques (224,230,236,240,246)
• Quaternions
• Loi de réciprocité quadratique : une preuve originale qui fait rentrer ce développement à peu près partout
• Sev stable par translations
• Sous-groupes compacts de GL_n(R)
• Simplicité de SO_3(R) : il faut aussi pouvoir parler de celle de SO_n(R)
• Sous-algèbre réduite de M_n(C) : un des plus gros parachutes jamais vus
• Théorème de Stampacchia
• Suite de polygones
• Surjectivité de l'exponentielle
• Théorème de l'amitié : youpi des graphes !

Les développements coupés au montage :

• Applications dont la différentielle est une isométrie
• Endomorphismes de M_n(C) stabilisant GL_n(C) : quid sur R?
• Intégrale de Fresnel BERK
• Frobénius-Zolotarev
• Groupes de pavages : joli, mais avec un tapis aussi grand que celui de groupe circulaire
• ||grad(f)||=1 : long et difficile, mais c'est une application d'Arzelà-Peano
• Théorème de Hahn-Banach
• Théorème d'inversion locale
• Nombre de matrices diagonalisables sur F_q
• Théorème de lecture unique (info)
• Médians et rang (info)

Liens

• La page d'Antoine Marnat dont le poly est fort utile quand on manque d'idée de développement.
• La page d'Arnaud Girand qui en plus de faire des compléments rigolos, a mis tout un tas de trucs en ligne, notamment des développements.
• Le wiki de la prépa agreg, il y a plein de trucs dessus. Si par hasard vous ne trouvez pas quelque chose là, essayez aussi dans le sous-répertoire /images.
• La page d'Hélène Hivert dont le poly aide aussi énormément pour les leçons.
• La page d'Antonin Riffaut, à qui on doit le code OCaml précité et à qui j'ai emprunté abusivement quelques développements.
• La page de Salim Rostam. Il a fait tout un tas de développements qui ont pas toujours l'air très jolis mais qui ont le mérite d'être originaux. Pour l'instant ce sont des brouillons dont je ne me prononcerai pas sur la lisibilité, mais, aux dernières nouvelles, il a pour projet de les remplacer par des documents LaTeX-ifiés.
• La page de Kévin Quirin ou comment faire un nombre d'impasses presque raisonnable permet de réduire drastiquement le nombre de développements à apprendre.
• La page d'Adrien Fontaine.
• Le fameux site dynamaths qui recense aussi pas mal de couplages.
• Le site de la prépa agreg de Cachan. Un peu similaire au précédent, mais il y a aussi de quoi faire.
• Le site de Yon. En espéranto... mais en fouillant un peu, il y a des documents cachés. Il faut juste avoir un peu de temps consacré à la recherche de documents.