Vous êtes en présence de trois dieux, le dieu Vérité qui dit toujours la vérité, le dieu Mensonge, qui dit toujours le contraire de la vérité et le dieu Aléatoire qui répond toujours en tirant à pile ou face ce qu'il va répondre.
Le but est de déterminer qui est qui sachant que les trois dieux ont la même apparence. Pour cela, vous pouvez leur poser en tout trois questions, et vous pouvez si vous le souhaitez, interroger plusieurs fois le même dieu. Les dieux doivent pouvoir répondre à vos questions par OUI ou NON. Les questions peuvent s'appuyer sur les réponses aux questions précédentes.
Ces dieux ont une dernière particularité. Ils comprennent le français mais répondent dans leur propre langue par ya ou ja, et bien sûr vous ne savez pas à quoi correspondent chacun de ces mots.
Question : Qu'elles sont les trois questions à poser pour determiner à coup sûr l'identité de chacun ?
Imaginez qu'un jour le diable vous pose un défi, à vous et un de vos amis. Si vous réussissez vous survivez, et sinon... Le défi est le suivant : Le diable dispose d'un échiquier et d'un certain nombre de pions. Il convoque l'un de vous deux, disons votre ami, à l'abri de votre regard. Il lui présente alors l'échiquier sur lequel il a positionné un certain nombre de pions à sa guise sur l'échiquier. Il vous désigne alors une case mystère. Votre ami a alors la possibilité s'il le souhaite d'enlever un pion de l'échiquier ou d'en rajouter un sur une case vide. Une fois cela fait, le diable fait partir votre ami et vous convoque et vous demande de désigner la case mystère. Si vous y arrivez, vous survivez tous les deux, et sinon... Quelques précisions : Vous connaissez initialement le déroulement du défi, mais vous ne savez pas la configuration de l'échiquier que le diable aura choisi, ni la case mystère. Questions :
Vous disposez d'un certain nombre de boules identiques à vu d'oeil, et toutes de même poids, à l'exception d'une (l'intrus) qui a un poids légèrement différent. Le but est d'identifier l'intrus à l'aide d'une balance à plateaux qui indique simplement si deux groupes de boules sont de même poids ou si l'un est plus lourd que l'autre.
Un camion citerne d'une contenance de 1000 litres souhaite transporter de l'essence d'une ville A à une ville B, distantes de 1000 kms. La particularité de ce camion est qu'il consomme pour rouler l'essence qui transporte et qu'il consomme 1 litre/km. Cependant il a le droit de laisser (en quantité illimitée) des bidons (de capacité infinie) d'essence sur la route qui pourra récupérer lorsqu'il repassera devant.
Monsieur A rencontre par hasard dans la rue son vieil ami, monsieur B. Après quelques salutations futiles, on assiste à la conversation suivante :
On choisit deux nombres différents, strictements supérieurs à 1, dont la somme est inférieure à 100. On indique à Simon la somme de ces deux nombres et à Pierre le produit. On assiste alors à la conversation suivante :
Quel est le plus grand entier, tel que si l'on remplace dans l'enoncé précédent 100 par cet entier, il soit toujours possible de trouver les deux inconnues, après avoir assisté à la conversation ci-dessus ?
On choisit deux nombres M et N strictement supérieurs, tel que leur somme soit inférieure à 5000. on donne à Simon la somme de ces deux nombres et à Pierre le produit. On assiste alors à la conversation suivante :
On choisit cinq nombres différents a,b,c,d,e compris entre 1 et 10. On donne à :
Après une heure de réflexion, ils répondent simultanément : "Je ne connais pas les cinq nombres !"
Après une deuxième heure de réflexion, ils répondent simultanément : "Je ne connais pas les cinq nombres !"
...
Après une vingt-troisième heure de réflexion, ils répondent simultanément : "Je ne connais pas les cinq nombres !"
Et là, tous se regardent, et s'exlament en coeur : "C'est bon, j'ai trouvé !" Question : Quels sont ces cinq nombres ? Dans une prison, cent personnes sont condamnés à mort. Le gardien de la prison, qui s'ennuie un peu, leur propose un défi. Il attribue un numéro en 1 et 100 à chacun des prisonniers et fait installer dans son bureau une armoire avec 100 tiroirs. Sur des bouts de papiers différents il inscrit les numéros entre 1 et 100 et les répartit aléatoirement dans les tiroirs, en plaçant exactement un papier par tiroir.
Le lendemain il déclare aux prisonniers qu'après s'être éventuellement concertés sur une stratégie, ils viendront un à un dans son bureau, devront ouvrir 50 tiroirs de leur choix et si jamais l'un n'y trouve pas le numéro qui lui a été attribué, tous les prisonniers seront exécutés. Il leur déclare également que les prisonniers n'auront aucun moyen de communiquer une fois le défi commencé. L'un des prisonniers, s'exclamme alors :
"Mais c'est inhumain, nous n'avons qu'une chance sur 2^100 de nous en sortir !".
Dans une prison, de directeur propose un défi à ses 100 détenus. Si ils réussissent le défi, ils seront libérés.
Dans une pièce, le directeur a installé un levier que l'on peut mettre en position haute ou en position basse. Une fois le défi débuté, des prisonniers seront appelés tour à tour dans la salle, ils auront la possibilité de changer le levier de position ou de le laisser tel quel. Il repartiront ensuite dans leur cellule. Il n'y aucun moyen de communication possible entre les prisonniers une fois le défi commencé.
Dans la pièce se trouve également un buzzer sur lequel les détenus peuvent appuyer quand ils sont dans la pièce. Le défi se termine dès qu'un détenu appuie sur le buzzer. Le défi est gagné si, à ce moment là, chacun des 100 prisonniers est au moins passé une fois dans la salle.
A chaque fois qu'un prisonnier regagne sa cellule, le détenu suivant est choisi aléatoirement (et uniformément) parmi les 100 prisonniers (un détenu peut donc être appelé plusieurs fois d'affilé). Les détenus n'ont aucune notions du temps, en particulier, il ne savent qui s'ils sont les premiers à être appelés, ni combien de prisonniers sont passé dans la salle entre deux appels successifs.
Sachant que les prisonniers ont possibilité de se concerter avant le début du défi et qu'ils savent qu'initialement, le levier est en position haute, déteminer une stratégie permettant de réussir le défi presque sûrement.
Calculer en moyenne combien de temps le défi durera si les prisonniers sont choisis aléatoirement et uniformément.
Une horde de 12 pirates doivent se partager un trésor de 100 pièces d'or. Il décident de procéder comme ceci :
Quel partage va proposer le plus vieux sachant que les pirates sont cupides, sadiques (même s'il n'ont rien à gagner de plus, il choisiront de vous exécuter) mais qu'en priorité il souhaite garder la vie sauve ?
A partir de combien de pirates l'aîné est-il sûr d'être exécuté quel que soit le partage qu'il propose ?
Monsieur Hottelard, un riche rentier, est retrouvé mort un soir dans la cave de son manoir. On a retrouvé près de lui les débris d'une bombe artisanale. Après plusieurs mois d'enquête l'inspecteur Poncelet chargé de l'affaire, a identifié huit suspects : Armand, Quentin, Vadim, Jack-Jack, Rebecca, Manon, Isaure et Mathieu.
On sait qu'un de ces suspects est le coupable et qu'il a agit seul pour confectionner sa bombe. Ces huit personnes sont venus voir le milliardaire le jour de sa mort à différents moment de la journée. Les faits remontant à longtemps, aucun d'eux ne se souvient exactement à quelle heure il est arrivé ni reparti mais tous déclarent avoir passé l'intégralité de leur séjour au manoir dans le salon. L'inspecteur Poncelet sait que l'un d'eux a menti, puisque son conseiller, expert en armement Mr. Artis, a déclaré que la confection d'une telle bombe nécessitait plusieurs heures de préparation et que le coupable avait sûrement dû s'absenter à plusieurs reprises. L'inspecteur Poncelet, lors de l'interrogatoire des différents suspects a recueilli les témoignages suivant :
L'inspecteur Poncelet, conclut que les témoignages concordent et il classe l'affaire. Le jour même, son stagiaire, un certain Ilyès, qui adore les mathématiques, retrouve sur le bureau de l'inspecteur la feuille avec les témoignages des suspects, et il se dit que tout n'est pas perdu. Le lendemain matin, après avoir réfléchit toute la nuit, il se rend dans le bureau de l'inspecteur Poncelet et s'exclame : "J'ai trouvé qui a assassiné Mr. Hottelard ! Je sais même combien de fois au minimum il a dû s'absenter pour préparer la bombe."
Comment a-t-il fait ? Qui est le coupable ? Combien de fois au minimum s'est-il absenté pour préparer la bombe ?
Dans une marre circulaire vit un canard qui se nourrit des herbes poussant sur le bord de la marre. Seulement, un chat guête et aimerait bien attraper le canard lorqu'il se nourrit sur le rebord.
Quelque part dans la montagne vit une communauté de moines muets. Un jour, une maladie apparaît. Le moines atteinds par cette maladie ont le visage plein de taches rouges. Ils sont incapables de s'en rendre compte tout seul car il n'y a pas de miroir dans le monastaire et comme chacun a fait voeu de silence, il ne peut prévenir un congénère malade. Cette maladie est très contagieuse et menace la survie de la communauté.
Un jour, le doyen, qui est le seul à pouvoir parler, convoque l'ensemble de la communauté et leur annonce que lorqu'un moine sera sûr d'être malade, il devra partir. Lorsqu'un moine découvre qu'il est malade, il devra attendre une journée et présenter ses adieux à la communauté le lendemain lors de la prière collective quotidienne.
Suite à cette déclaration, une semaine passe, deux semaines passent, et le 15ième jour, un certain nombre de moines quittent le monastère après avoir fait leur adieu à la communauté.
Combien de moines ont quitté le monastère ?
Un cable contenant 10 fils éléctriques relie deux endroits éloignés. Seulement, on ne sait pas quels bouts vont ensemble. Comment un éléctricien peut-il déterminer quels sont les extrémités correspondantes en un seul aller retour, sachant qu'il dispose d'un jeu de dominos, d'un certain nombre d'ampoules, et d'une batterie ?
Pour trier un jeu de cartes, on sélectionne un certain nombre de cartes consécutives puis on les insère entre deux cartes. Par exemple, si on a dans notre main le jeu (1 2 8 4 6 5 3) on peut obtenir la séquence (1 4 6 5 2 8 3) insérant la séquence (4 6 5) entre le 1 et le 2. On dira qu'une telle manipulation est une opération élémentaire.
100 personnes alignées ont des chapeaux sur la tête, soit noir, soit blanc. La première personne peut voir le chapeau de tout le monde sauf lui, la deuxième peut voir celui des 98 qui sont devant lui, etc. Dans l'ordre, en partant du premier, on leur demande de dire quelle est la couleur de leur chapeau. Les 100 personnes peuvent se mettre d'accord à l'avance sur une stratégie à adopter pour minimiser le nombre d'erreurs, quelle est la meilleure stratégie à adopter ?
Supposons que vous vous trouviez dans un building dans lequel on se déplace d'étages en étages par un ascenseur un peu particulier. Il y a seulement deux boutons, monter et descendre. Supposons que l'ascenseur soit à l'étage E. Lorsque l'on actionne le bouton monter, l'ascenseur monte de 8 étages si le building compte moins de E+8 étages et ne fait rien sinon. Si l'on appuie sur descendre, l'ascenseur descend de 11 étages si E est plus grand que 11. On sait qu'il est possible de se déplacer à tous les étages mais que si le building avait eu un étage de moins cela n'aurait pas été possible. Combien d'étage compte ce building ? (Le rez-de-chaussée compte comme un étage)
Un architecte, intéressé par le concept voudrait construire un immeuble de 34 étages (RDC compris) possédant un tel ascenseur, mais ne sait pas quelles valeurs "monter" et "descendre" choisir. Il voudrait que chaque étage soit atteignable, et que les visiteurs puissent parcourir une distance maximale avant de revenir au rez-de-chaussée. Quelles sont les bonnes valeurs à choisir ? Quelle est cette distance maximale ? Généraliser le problème au cas d'un nombre quelconque d'étages.
Vous vous trouvez dans un train circulaire dont vous ne connaissez pas le nombre de wagons. Dans chaque wagons il y a un ampoule et un interrupteur actionnant cette ampoule. Initialement, vous ne savez pas si les ampoules des autres wagons sont allumées ou pas. Comment pouvez-vous determiner le nombre exact de wagons ?
Devant vous se trouvent 1000 flacons, et l'un d'eux contient du poison. Vous disposez de 10 rats pour tester les solutions. Comment determiner le flacon empoisonné, sachant que vous devez decider à l'avance quel rat testera tel flacon ? (Un rat peut tester plusieurs flacons et un flacon peut être testé par plusieurs rats).
On souhaite organiser un chapionnat de football entre 23 équipes. Chaque équipe doit rencontrer chacune des autres équipes et aucune équipe ne doit jouer deux matchs le même jour. Combien de jours dure au minimun le championnat ?
Un français, un anglais, un italien et un espagnol habitent dans quatre maisons côte à côte de couleurs différentes. Chaucun a une boisson favorite et aime un style de musique différent. On sait que :
On dispose de deux cordes, qui si on les allume avec un briquet se consumment toute deux en exactement une heure, mais cette combustion n'est pas nécessairement homogène. Il se pourrait que les trois quarts de la corde soient consumés en 10 minutes et le quart restant en 50 minutes.
Vous avez devant vous 101 dalmatiens. Montrer qu'il est possible d'en trouver un sous ensemble tel que la somme de leur tâches soit un multiple de 11. Quel est le nombre minimal de dalmatiens qu'on peut s'autoriser pour que cette propriété soit toujours vraie ?
Vous vous trouvez sur une île deserte circulaire sur laquelle se trouve un point d'eau où vous souhaitez vous rendre. Vous ne pouvez vous deplacer à l'interieur de l'île qu'en scooter, mais vous pouvez également rejoindre la plage en scooter, y fabriquer un radeau, y embarquer votre scooter, longer la côte jusqu'à bon vous semble sans dépenser la moindre goutte d'essence, et débarquer le scooter, et reprendre la route. Vous favoriserez toujours la route qui demande le moins d'essence possible sachant que la consommation d'essence est proportionnel à la distance parcourue. Décrivez l'ensemble des points tel qu'il est plus intéressant d'utiliser un radeau.