Sur cette page se trouveront divers contenus que j’ai pu produire lors de ma préparation à l’agrégation externe 2022 de mathématiques. Libre à vous de les utiliser ! Des fautes peuvent se retrouver dans les plans, je ne les ai pas tous relu consciencieusement.

Documents généraux

Mes métaplans : ce sont les plans de chaque leçon avec les références utilisées et les développements choisis.

Mon mémoire sur la leçon 142.

Des retours sur mes oraux avec les couplages, mes leçons et développements choisis et les questions posées.

Leçons

J’ai fait trois impasses pour les leçons : elles sont signalées en orange.

Algèbre et géométrie

101. Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

102. Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

103. Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

104. Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.

105. Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

106. Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie \(E\), sous-groupes de \(\operatorname{GL}(E)\). Applications.

108. Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

120. Anneaux \(\mathbf Z/n\mathbf Z\). Applications.

121. Nombres premiers. Applications.

122. Anneaux principaux. Applications.

123. Corps finis. Applications.

125. Extensions de corps. Exemples et applications.

126. Exemples d’équations en arithmétique.

141. Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

142. PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

144. Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

149. Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts et approchés. Exemples et applications.

150. Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

151. Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

152. Déterminant. Exemples et applications.

153. Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

154. Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

155. Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

156. Exponentielle de matrices. Applications.

157. Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

158. Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

159. Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

160. Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

161. Distances et isométries d’un espace affine euclidien.

162. Systèmes d’équations linéaires. Opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

170. Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

171. Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

181. Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

190. Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

191. Exemples d’utilisation des techniques d’algèbre en géométrie.

Analyse et probabilité

201. Espaces de fonctions. Exemples et applications.

203. Utilisation de la notion de compacité.

204. Connexité. Exemples et applications.

205. Espaces complets. Exemples et applications.

207. Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

208. Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

209. Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

213. Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

214. Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

215. Applications différentiables définies sur un ouvert de \(\mathbf R^n\). Exemples et applications.

219. Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

220. Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’études de solutions en dimension 1 et 2.

221. Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

222. Exemples d’équations aux dérivées partielles linéaires.

223. Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

226. Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence \(u_{n + 1} = f(u_n)\). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

228. Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

229. Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

230. Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

234. Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

235. Problèmes d’interversion de limites et d’intégrales.

236. Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

239. Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

241. Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

243. Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

245. Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

246. Séries de Fourier. Exemples et applications.

250. Transformation de Fourier. Applications.

253. Utilisation de la notion de convexité en analyse.

261. Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.

262. Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.

264. Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

265. Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

266. Illustration de la notion d’indépendance en probabilités.

267. Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.

Développements

L’anneau \(\mathbf Z[\frac12(1 + \sqrt{19}]\) est principal et non euclidien

Le cardinal du cône nilpotent sur un corps fini

La connexité des valeurs d’adhérence d’une suite

La décomposition polaire du groupe orthogonal \(\operatorname{O}(p, q)\)

La décomposition polaire d'une matrice

Le dénombrement des matrices diagonalisables inversibles sur un corps fini

Le dénombrement des polynômes irréductibles sur un corps fini

La densité des fonctions continues partout et dérivables nulle part

La densité des polynômes orthogonaux

La dimension du commutant

L’enveloppe convexe du groupe orthogonal \(\operatorname{O}(n)\)

L’équation de Bessel

La formule sommatoire de Poisson

Les générateurs des isométries

Les intégrales de Wallis et l’équivalent de Stirling

L’irréductibilité des polynômes cyclotomiques

Les isométries du cube

Le lemme de Morse

La loi de réciprocité quadratique par les formes quadratiques

La méthode QR

Une optimisation dans un espace de Hilbert

Le point de Fermat

Le prolongement de la fonction gamma d’Euler

La réduction des endomorphismes normaux

La résolution de l’équation de la chaleur sur le cercle

La simplicité du groupe alterné

Le sous-espace vectoriel engendré par les translatées d’une fonction

La surjectivité de l’exponentielle matricielle

Le système proie-prédateur de Lotka-Volterra

Le théorème d’Abel angulaire et le théorème taubérien faible

Le théorème de Cauchy homotopique et les logarithmes complexes

Le théorème de Frobenius

Le théorème de Frobenius-Zolotarev

Le théorème de Lévy et le théorème central limite

Le théorème de Riesz-Fischer

Le théorème de prolongement de Tietze

Le théorème de Wedderburn

Le théorème de Weierstrass par les polynômes de Bernstein