Exposés

Lecture dirigée de L3

Géométrie o-minimale, lecture dirigée de recherche avec Walid El Ouadghiri, encadrée par Goulwen Fichou, soutenue en avril 2020 (diaporama)

Dans cette lecture dirigée, nous tenterons d’introduire le concept de structure o-minimale sur le corps des réels et nous établirons des propriétés très fortes vérifiées par ces structures, comme les théorèmes de décomposition cellulaire ou de triangulation. Grâce à ces résultats, nous verrons que ces structures ne possèdent pas de « monstre topologique ». Pour finir, nous travaillerons sur la caractéristique d’Euler qui, couplée avec la dimension, permet de donner une condition nécessaire et suffisante pour que deux ensembles de cette géométrie soient en bijection.

Groupe de lecture entre nous

Éloan Rapion et moi avons donné un exposé sur le théorème de Tarski-Seidenberg. Nous proposions deux démonstrations de ce résultat de géométrie semi-algébrique. Voici le diaporama ainsi que la rediffusion.

Stages

Stage de M1

Théorie des modèles et intégration motivique, stage de recherche de deuxième année, encadré par Georges Comte au Laboratoire de Mathématiques de l’Université Savoie Mont Blanc (diaporama à venir)

Dans ce mémoire, je vais comprendre la construction d’une intégrale motivique dans les corps valués tels que \(\mathbf C(\!(t)\!)\) ou \(\mathbf Q_p\). Cette construction se base sur l’article [1] que je suivrais linéairement. Pour commencer, je développerai les bases de la théorie des modèles qui permettront ensuite de se placer dans un cadre modéré utile à la construction ; je donnerai les théorèmes principaux de cette théorie et notamment le théorème de Gödel. Dans un second temps, je construirai pas à pas l’intégrale motivique de Cluckers et Loeser, permettant d’intégrer des objets géométriques dans les corps valués. Je donnerai également quelques démonstrations omises dans l’article et admettrai les derniers lemmes.

[1] Raf Cluckers et François Loeser. « Motivic integration in all residue field characteristics for Henselian discretely valued fields of characteristic zero ». Journal für die reine und angewandte Mathematik 701 (2015), p. 1-31.