Les documents ci-dessous ont été réalisés durant la préparation à l'agrégation externe de mathématiques 2012/2013 à l'ENS Cachan Bretagne et à l'Université de Rennes 1.Il s'agit donc de productions personnelles et je ne garanti en aucun cas l'absence d'erreur(s) dans ces derniers, qui sont donc à utiliser avec la plus grande prudence. Je m'engage par ailleurs à corriger dans les plus brefs délais toute erreur qui me sera signalée.

Développements.

• Analyse:

• Critère de Weyl.

• Densité des polynômes orthogonaux.

• Résolution de l'équation de la chaleur par les séries de Fourier.

• Résolution de l'équation de Schrodinger par les distributions.

• Etude de sous-variétés.

• Formule sommatoire de Poisson.

• Inégalité isopérimétrique.

• Méthode de Newton.

• Prolongement méromorphe de la fonction Gamma d'Euler.

• Théorème de Stone-Weierstrass par les polynômes de Bernstein.

• Théorème de Browder-Gohde.

• Théorème de Cauchy-Lipschitz global.

• Théorème de Dini et application au théorème de Glivenko-Cantelli.

• Théorème de Grothendieck.

• Théorème de Hadamard-Lévy.

• Théorème taubérien fort de Hardy-Littlewood.

• Théorème de Lyapounov.

• Théorème de Paley-Wiener.

• Théorème de la phase stationnaire.

• Théorème de Sarkowski.

• Théorème de Stampacchia.

• Théorème d'isomorphisme de Fourier.

• Le théorème des évènements rares de Poisson.

• Algèbre:

• Deux exemples d'anneaux principaux.

• Décomposition de Dunford.

• Hausdorffien d'un endomorphisme en dimension 2.

• Groupe des K-automorphismes de K(X).

• Ellipse de Steiner: racines de la dérivée d'un polynôme de degré 3.

• Réduction de Froebenius.

• Réduction des endomorphismes autoadjoints.

• Simplicité du groupe alterné.

• Théorème de Burnside.

• Le théorème d'Erdos-Ginzburg-Ziv.

• Théorème de Frobenius-Zolotarev.

• Théorème de Molien.

• Théorème de structure des polynômes symétriques.

• Théorèmes de Sylow.

• Théorème de Wedderburn.

• Théorème des deux carrés.

• Mixte:

• Algorithme du gradient à pas optimal.

• Ellipsoïde de John-Loewner.

• Lemme de Morse.

• Surjectivité de l'exponentielle (une preuve originale par connexité).

• Théorème de Rothstein-Trager.

• Théorème des extrema liés.

Plans de leçons.

• Analyse:

• 204 Connexité. Exemples et applications.

• 205 Espaces complets. Exemples et applications.

• 214 Théorème d'inversion locale et théorème des fonctions implicites.

• 215 Applications différentiables. Exemples et applications.

• 223 Convergence des suites numériques. Exemples et applications.

• 228 Continuité et dérivabilité des fonctions réelles de la variable réelle. Exemples et applications.

• 239 Fonctions dé,finies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.

• 241 Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

• 245 Fonctions holomorphes et méromorphes. Exemples et applications.

• 249 Suites de variables de Bernoulli indépendantes.

• Algèbre:

• 101 Actions de groupe.

• 103 Sous-groupes distingués et groupes quotients.

• 105 Groupe des permutations.