\documentclass[10pt,francais]{amsart} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb} \usepackage{ mathabx, stmaryrd } \usepackage{amsthm,fancyhdr} \usepackage[all]{xy} \usepackage{color} \usepackage{pgf,tikz} \usetikzlibrary{arrows} \usepackage{enumitem} \usepackage[colorlinks = true, linkcolor = blue]{hyperref} \usepackage[left=3cm, right=4cm, top=2.5cm, bottom=4cm] {geometry} \usepackage{lmodern} \frenchbsetup{StandardLists=true} \AtBeginDocument{\let\textlabel\label} %A enlever pour ne pas avoir les petits carrés sur les références \pagestyle{plain} \title{Méta-plans pour les leçons de mathématiques pour l'agrégation de mathématiques option D} \begin{document} \begin{titlepage} \maketitle \end{titlepage} \newpage \tableofcontents \newpage \section*{Introduction} Voici la liste des mes méta-plans pour les leçons de mathématiques de l'option D. Ils contiennent les grandes lignes de ce que je comptais mettre dans mes leçons le jour de l'oral, les références permettant de construire ce plan et deux développements référencés. J'indique pour certaines parties la référence plus ou moins précise d'où je la tire entre crochets. Pour six des leçons, je n'ai pas de plan ; à savoir les leçons 183, 220, 221, 228, 229 et 250. Pour ces leçons, vous trouverez néanmoins mes développements. J'espère que ce document vous aidera à élaborer vos propres plans ! \section*{104. Groupes finis. Exemples et applications} \textbf{Plan :} \medskip I/Définitions [\hyperref[bib]{Ulmer}] 1) Ordres \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'un groupe fini (+ exemple $S_n$ ou $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$), définition de l'ordre d'un élément (+ exemple : ordre d'une transposition) \item Définition de l'exposant, exposant fini \item Théorème de Burnside (+ contre exemple quand on est pas dans $GL_n(\mathbb{C}$) \fbox{DEV1} \end{itemize} 2) Indices et théorème de Lagrange \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition de l'indice d'un groupe + exemple + notation \item Prop : $|G| = [G:H]|H|$ puis théorème de Lagrange + contre exemple à la réciproque ($A_4$ n'a pas de sous groupe d'ordre $6$) \item Appli : L'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe \item Appli : Si $G$ est d'ordre premier alors il est cyclique \end{itemize} 3) Actions de groupe \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'une action de groupe, d'une orbite, d'un stabilisateur + relation orbite-stabilisateur \item Prop : Formule des classes et formule de Burnside \item Appli : Théorème de Cauchy \item Appli : Une démonstration de la réciprocité quadratique [\hyperref[bib]{H2G2}] \item Appli : Nombre de coloriage du cube avec trois couleurs \end{itemize} \medskip II/Groupes abéliens [\hyperref[bib]{Com}] 1) Groupes cycliques \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'un groupe cyclique + ex ; définition d'un générateur + ex \item Prop : $G$ et $G'$ cycliques sont isomorphes ssi ils ont même ordre (donc $G$ est cyclique d'ordre $n$ $\Rightarrow$ $G \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$) \item Conséquence : Un groupe cyclique d'ordre $n$ a $\varphi(n)$ générateurs \item Prop : Réciproque au théorème de Lagrange dans le cas des groupes cycliques + ex sous groupes de $\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ + appli $n = \sum\limits_{d|n} \varphi(d)$ \end{itemize} 2) Structure des groupes abéliens finis \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Théorème chinois \item Décomposition en facteurs invariants + ex \end{itemize} \medskip III/Groupes non abéliens [\hyperref[bib]{Ulm}] [\hyperref[bib]{Per}] 1) Sylow \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'un p-groupe et d'un p-Sylow \item Théorèmes de Sylow \item Prop : Si il y a un unique p-Sylow il est distingué \item Applis : Un groupe d'ordre 63 n'est pas simple / un groupe d'ordre 15 est isomorphe à $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ \end{itemize} 2) Groupe symétrique \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définiton de $S_n$ \item Prop : Décomposition en cycles à supports disjoints + ex + calcul de l'ordre d'une permutation à partir de la décomposition \item Définition de la signature et de $A_n$ \item Prop : $A_n$ est engendré par les 3-cycles + $A_n$ est simple pour $n \geq 5$ \fbox{DEV2} \end{itemize} 3) Eventuellement parler des groupes diédraux \bigskip \textbf{Références :} Combes [\hyperref[bib]{Com}], Ulmer [\hyperref[bib]{Ulm}], Perrin [\hyperref[bib]{Per}], H2G2 [\hyperref[bib]{H2G2}] et XENS algèbre 2 (pour Burnside) [\hyperref[bib]{FGNal2}] \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item $A_n$ est simple pour $n \leq 5$ [\hyperref[bib]{Ulm} p 53] \item Théorème du Burnside [\hyperref[bib]{FGNal2} p 185] \end{itemize} \newpage \section*{105. Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications} \textbf{Plan :} \medskip I/Le groupe symétrique 1) Définitions \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition de $S(X = \text{ensemble})$ \item Prop : $|X| = |Y| \Rightarrow S(X) \simeq S(Y)$ d'où la définition de $S_n$ \item Prop : Cardinal et centre de $S_n$ (réduit à id pour $n \geq 3$) \item Lien avec les actions de groupe + théorème de Cayley \end{itemize} 2) Cycles \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition du support d'une permutation + prop : quand les supports sont disjoints les permutations commutent \item Définition d'un cycle + cas particulier d'une transposition \item Prop : Décomposition en cycles à supports disjoints (+ lien avec les orbites de l'action de $<\sigma>$ sur $\llbracket 1,n \rrbracket$) \item Définition du type d'une permutation + calcul de l'ordre d'une permutation selon son type \item Prop $\sigma$ et $\sigma'$ sont conjuguées ssi elles ont le même type \end{itemize} 3) Générateurs \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Props : Les transpositions, $\{(1,i) | i \}$ et $ \{(i,i+1) | i \}$ engendrent $S_n$ \end{itemize} \medskip II/Le groupe alterné 1) Signature \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition de la signature + prop : c'est un morphisme de groupes + ex de calcul \item Définition d'une permutation paire/impaire \end{itemize} 2) $A_n$ \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition du groupe alterné $A_n$ \item Props : Cardinal de $A_n$ + il est distingué en tant que noyau d'un morphisme \item Prop : Les 3-cycles engendrent $A_n$ \item Appli : $A_n$ est simple pour $n \geq 5$ \fbox{DEV1} \item Rq : Discuter les cas pour $n \leq 5$ \end{itemize} \medskip III/Applis 1) Déterminant [\hyperref[bib]{GouAl} p 134] \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'une forme alternée/antisymétrique (+ c'est la même chose en caractéristique $\neq 2$) \item Caractérisation de l'antisymétrie avec les permutations \item Définition du déterminant + formule avec la somme sur les permutations \end{itemize} 2) Polynômes symétriques \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition polynômes symétriques (élémentaires) \item Prop et appli du [\hyperref[bib]{GouAl} p 78] \end{itemize} 3) Groupes d'isométries \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'un groupe d'isométries \item Calcul du groupe des isométries du tétraèdre et du cube \fbox{DEV2} \item Appli : Nombre de coloriages du cube avec trois couleurs \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} Ulmer [\hyperref[bib]{Ulm}], Perrin [\hyperref[bib]{Per}], Gourdon algèbre [\hyperref[bib]{GouAl}], H2G2 [\hyperref[bib]{H2G2}] \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item $A_n$ est simple pour $n \leq 5$ [\hyperref[bib]{Ulm} p 53] \item Groupe des isométries du cube [\hyperref[bib]{H2G2} p 365] \end{itemize} \newpage \section*{106. Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous groupes de $GL(E)$. Applications.} \textbf{Plan :} \medskip Cadre : $E$ est un espace vectoriel de dimension $n$ sur le corps $ \mathbb{K}$. \medskip I/Groupe linéaire / spécial linéaire 1) GL et SL \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition de $GL(E)$ + prop : c'est un groupe \item Définition de $GL_n(\mathbb{K})$ + isomorphisme entre $GL(E)$ et $GL_n(\mathbb{K})$ via le choix d'une base \item Prop : $u \in GL(E)$ ssi $u$ est injective ssi $u$ est surjective ssi $\mathrm{det}(u) \neq 0$ ssi $u$ envoie une base sur une base + C'est faux en dimension infinie (dans $\mathbb{R}[X]$, $P \mapsto XP$ est injective mais pas bijective et $P \mapsto P'$ est surjective mais pas bijective) \item Prop : Le déterminant est un morphisme de groupes \item Définition de $SL(E)$/$SL_n(\mathbb{K})$ comme noyau du déterminant \end{itemize} 2) Générateurs \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définitions d'une dilatation + ex \item Définitions d'une transvection + ex \item Prop : $SL(E)$ est engendré par les transvections et $GL(E)$ par les transvections et dilatations \fbox{DEV1} \item Appli : Algo du pivot de Gauss (+ applis du pivot de Gauss) \item Appli : Centre de $GL_n(\mathbb{K})$ = $\{$ homothéties $\}$ et centre de $SL_n(\mathbb{K})$ = $\{\lambda I_n | \lambda^n = 1\}$ \end{itemize} 3) Topologie \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Ici, $ \mathbb{K} = \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}$ muni de la topologie induite par la norme subordonnée à la norme euclidienne \item Prop : $GL(E)$ = ouvert dense de $L(E)$ \item Appli : $\chi_{AB} = \chi_{BA}$ \item Prop : Si $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ alors $SL(E)$ et $GL(E)$ sont connexes par arcs \fbox{DEV1} + rq : $GL(E)$ pas connexe si $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ \end{itemize} \medskip II/D'autres sous groupes de $GL(E)$ 1) Sous groupes finis \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'une matrice de permutation + ex \item Prop : $\sigma \mapsto M_{\sigma}$ est un morphisme de groupes \item Théorème de Cayley + appli : $G$ est un groupe de cardinal $n$ $\Rightarrow$ $G \simeq$ sous groupe de $GL_n(\mathbb{K})$ \item Prop : Cardinal de $GL_n(\mathbb{F}_p)$ + appli : exhiber un $p$-Sylow dans $GL_n(\mathbb{F}_p)$ + csqc : existence d'un $p$-Sylow dans tout groupe de cardinal divisible par $p$ [\hyperref[bib]{Per}] \item Théorème de Burnside \fbox{DEV2} + contre-ex : si $\mathbb{K} = \mathbb{F}_2(X)$ alors $\{\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} | a \in K \}$ est un sous groupe infini de $GL_2(\mathbb{K})$ mais est d'exposant fini \end{itemize} 2) $O(q)$ \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Ici, $\mathbb{K}$ est de caractéristique différente de 2 et $q$ = forme quadratique définie positive sur $E$ \item Définition de $O(q)$ + prop : déterminant d'un élément de $O(q)$ d'où définition de $SO(q)$ \item Définition d'une symétrie orthogonale $u$ + prop : $\exists E^+ \oplus E^-$ tels que $u_{|E^+} = id_{|E^+}$ et $u_{|E^-} = id_{E^-}$ \item Définition réflexion orthogonale / renversement orthogonal \item Théorème de Cartan Dieudonné + cor : $SO(q)$ est engendré par les renversements si $n \geq 3$ \end{itemize} 3) Cas de $O_n(\mathbb{R})$ \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Ici, $E = \mathbb{R}$ ev avec la norme euclidienne \item Th : Réduction orthonormée des éléments de $O_n(\mathbb{R})$ \item Cor : $SO_2$ est commutatif \item Appli : $SO_n(\mathbb{R})$ est connexe par arcs \item Th : $O_n(\mathbb{R})$ est compact \item Théorème de décomposition polaire + appli : $GL_n(\mathbb{R})$ a deux composantes connexes + appli : calcul de l'enveloppe convexe de $O_n(\mathbb{R})$ \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} Szpirglas [\hyperref[bib]{Szp}] (on peut faire quasi toute la leçon avec), Perrin [\hyperref[bib]{Per}] (pour les histoires de $p$-Sylow), XENS algèbre 2 [\hyperref[bib]{FGNal2}] (pour les développements), Mneimné-Testard [\hyperref[bib]{MT}] (pour la topologie) \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Théorème de Burnside [\hyperref[bib]{FGNal2} p 185] \item Générateurs de GL(E) et SL(E) et applications à la connexité [\hyperref[bib]{FGNal2} p 177] \end{itemize} \newpage \section*{108. Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.} \textbf{Idée de défense de plan} : On est contents quand on connaît un ensemble de générateurs d'un groupe car cela permet souvent de montrer des propriétés sur ce groupe en les montrant d'abord sur les générateurs puis en espérant qu'elles passent à tout le groupe. \medskip \textbf{Plan :} \medskip Intro [\hyperref[bib]{Ulm}] \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définitions groupe engendré, partie génératrice, notation $< >$ + ex : le groupe dérivé $D(G)$ est le sous groupe de $G$ engendré par les commutateurs \item Prop : $$ = l'ensemble des mots écrits comme produits d'éléments de $A$ et d'in verses d'éléments de $A$ \end{itemize} \medskip I/Groupes abéliens 1) Groupes monogènes et cycliques \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition groupe monogène et groupe cyclique + ex $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ \item Prop : Si $G$ est de cardinal premier, il est cyclique + ctex à la réciproque \item Prop : Le sous groupe des inversibles d'un corps fini est cyclique \item Prop : $G$ est monogène $\Rightarrow$ $G$ est isomorphe à $\mathbb{Z}$ ou à un $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ \item Caractérisation des générateurs de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (donc de ceux des groupes cyclique) + csqc : y en a $\varphi(n)$ \item Appli : $\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ donc est de cardinal $\varphi(n)$ \end{itemize} 2) Groupes abéliens finis \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Théorème de structure des groupes abéliens finis + appli [\hyperref[bib]{Com} p 66-68] \end{itemize} \medskip II/Groupe symétrique [\hyperref[bib]{Ulm}] \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition de $S_n$, de la signature et de $A_n$ \item Prop : $S_n$ est engendré par les cycles à supports disjoints \item Appli : Calcul facile de l'ordre d'une permutation via son type \item Prop $S_n$ est engendré par les transpositions \item Appli : Calcul facile de la signature d'une permutation \item Prop : $S_n$ est aussi engendré par les $(1,i)$ ou par les $(i,i+1)$ \item Prop : $A_n$ est engendre par les 3-cycles \item Appli : $A_n$ est simple pour $n \geq 5$ \fbox{DEV1} + rq pour les cas où $n \leq 4$ \end{itemize} \medskip III/Autour du groupe linéaire 1) $GL(E)$ et $SL(E)$ \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition $GL(E)$ et $SL(E)$ pour $E$ = ev de dimension $n$ sur un corps $\mathbb{K}$ \item Définitions de transvection et dilatation \item Prop : Les transvections engendrant $SL(E)$ et transvections et dilatations engendrent $GL(E)$ + appli connexité de $SL(E)$ \fbox{DEV2} \item Appli : Calcul des centres de $GL(E)$ et de $SL(E)$ \item Appli : Pivot de Gauss \end{itemize} 2) $O(E)$ et $SO(E)$ \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Ici, $E$ est un $\mathbb{R}$-ev avec la norme euclidienne \item Définition de $O(E)$ et $SO(E)$ \item Définition de symétrie orthogonale, réflexion, renversement \item Théorème de Cartan-Dieudonné + cor : si $u \in SO(E)$ et $n \geq 3$ alors $u$ est produit de moins de $n$ renversements. \item Appli : $SO_3(\mathbb{R})$ est simple et $SO_n(\mathbb{R})$ est connexe par arcs [\hyperref[bib]{FGNal3} p 63-69] \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} Ulmer [\hyperref[bib]{Ulm}], Combes [\hyperref[bib]{Com}], Perrin [\hyperref[bib]{Per}], XENS algèbre 2 [\hyperref[bib]{FGNal2}], XENS algèbre 3 [\hyperref[bib]{FGNal3}] \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item $A_n$ est simple pour $n \leq 5$ [\hyperref[bib]{Ulm} p 53] \item Générateurs de GL(E) et SL(E) et applications à la connexité [\hyperref[bib]{FGNal2} p 177] \end{itemize} \newpage \section*{120. Anneaux $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Applications.} \textbf{Plan :} \medskip Cadre : On note $x \equiv y (n)$ si $x-y \in n\mathbb{Z}$. \medskip I/Structures et $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ [\hyperref[bib]{RB}] 1) Groupe \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Les sous groupes de $\mathbb{Z}$ sont les $n\mathbb{Z}$ (tous commutatifs donc distingués) \item Prop : $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$ est un groupe commutatif et même cyclique dont les générateurs sont les éléments premiers avec $n$ \item Prop : Tout groupe cyclique de cardinal $n$ est isomorphe à $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ + ex $\mathbb{U}_n$ \item Prop : Calcul des sous groupes de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ + ex avec $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ \end{itemize} 2) Anneau \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Les idéaux de $\mathbb{Z}$ sont les $n\mathbb{Z}$ \item Prop : $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +, \times)$ est un anneau commutatif \item Prop : Ses inversibles sont les éléments premiers à $n$ + calcul effectif de l'inverse via Bézout + ex \item Csqc : $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un corps ssi $n$ est premier \item Definition de l'indicatrice d'Euler $\varphi$ + valeur pour les puissances d'un nombre premier + rq : $|(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*| = \varphi(n)$ \end{itemize} 3) Morphismes \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Lemme puis théorème chinois \item Appli : Résolution de systèmes de congruence [\hyperref[bib]{GouAl}] \item Appli : $n \wedge m = 1$ $ \Rightarrow$ $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^* \times (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^* \simeq (\mathbb{Z}/nm\mathbb{Z})^*$ \item Csqc : $\varphi$ est multiplicative + calcul de $\varphi(n)$ pour $n$ quelconque \item Prop : $\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ \end{itemize} \begin{itemize}[label = $\rightarrow$] \item Théorème de structure des groupes abéliens finis [\hyperref[bib]{Com}] \end{itemize} \medskip II/Arithmétique 1) Primalité \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Théorème d'Euler et petit théorème de Fermat \item Rq : la réciproque de Fermat est fausse (nombres de Carmichael) \item Critère de "primalité" de Fermat \end{itemize} 2) Equations diophantiennes \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition équation diophantienne [\hyperref[bib]{Com}] \item Ex : $ax+by = c$ a une solution ssi $a \wedge b |c$ + ex de résolution avec Gauss et Bézout \item Grand théorème de Fermat (admis) \item Théorème de Chevalley-Warning [\hyperref[bib]{Ser}] + application EGZ \fbox{DEV1} \end{itemize} 3) Carrés \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Ici, $n=p \in \mathbb{P}$ \item Définition du symbole de Legendre \item Prop diverses du symbole de Legendre (multiplicativité...) \item Appli : -1 est un carré dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ssi $p = 2$ ou $p \equiv 1(4)$ d'où théorème des deux carrés [\hyperref[bib]{Per} p 57] \item loi de réciprocité quadratique \end{itemize} 4) Cryptographie (attention, pour les deux premiers, je ne connais pas de référence écrite pratique) \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Identification de Fiat Shamir : $n = pq$ avec $p,q \in \mathbb{P}$. Alice connaît ses identifiants $s_1,...,s_k$. Elle envoie les $v_i = s_i^2 \text{ mod } n$ à Bob. Bob lui envoie $a_1,...,a_k \in \{0,1\}$. Alice lui envoie $y = s_1^{a_1} \times ... \times s_k^{a_k} \text{ mod } n$. Bob vérifie alors que $y^2 = v_1^{a_1}...v_k^{a_k} \text{ mod } n$. Ainsi, Bob a bien vérifié l'identité d'Alice sans que cette dernière ne lui envoie ses vrais identifiants (qui doivent rester secrets). Quelqu'un voulant usurper l'identité d'Alice doit calculer des racines carrées modulo $n$ (difficile) \item Cryptosystème de ElGamal : $G$ = groupe cyclique ; $g$ = générateur de $G$ d'ordre $q$ connu de tous. Clé privée = $x \in \llbracket 1, q-1 \rrbracket$ ; clé publique = $h = g^x$. Pour envoyer un message $m$, Bob choisit une clé éphémère $k \in \llbracket 1, q-1 \rrbracket$ et envoie le couple $c_1 = g^k$, $c_2 = h^km$. Alice peut facilement déchiffre en calculant $(c_1^x)^{-1}c_2 = m$. Un espion pour trouver la clé privée et déchiffrer doit calculer un logarithme discret. C'est difficile par exemple si $G = (\mathbb{F}_{p^n})^*$. \item Cryptosystème RSA [\hyperref[bib]{GouAl}] \end{itemize} \medskip III/Polynômes irréductibles 1) Irréductibilité sur $\mathbb{Z}$ \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Critère d'Eisenstein + ex \item Critère de réduction modulo $p$ + ex \end{itemize} 2) Factorisation \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition des $\mathbb{F}_q$ comme corps de décomposition \item Algorithme de Berlekamp \fbox{DEV2} \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} OA [\hyperref[bib]{OA}], Combes [\hyperref[bib]{Com}], Risler-Boyer [\hyperref[bib]{RB}], Serre [\hyperref[bib]{Ser}], Gourdon algèbre [\hyperref[bib]{GouAl}], Zavidovique [\hyperref[bib]{Zav}] \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Algorithme de Berlekamp [\hyperref[bib]{OA} p 244] \item Application Erdös-Ginzburg-Ziv [\hyperref[bib]{Zav} p 32] \end{itemize} \newpage \section*{121. Nombres premiers. Applications.} \textbf{Plan :} \medskip I/Généralités 1) La base \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition : nombre premier + ex et contre ex (1 n'est pas premier). On note $\mathbb{P}$ leur ensemble. \item Définition: nombres premiers entre eux \item Calcul du pgcd avec Euclide \item Théorème de Bézout, théorème de Gauss + appli : $p \in \mathbb{P}$ et $ k \in \llbracket 1, p-1 \rrbracket$ $\Rightarrow$ $p| {p \choose k}$ \end{itemize} 2) Décomposition \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Si $n \geq 2$, il existe $ p \in \mathbb{P}$ tel que $p|n$ \item Csqc : Déconposition en facteurs premiers \item Appli : EGZ \fbox{DEV1} \end{itemize} 3) Répartition des nombres premiers \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : $\mathbb{P}$ est infini \item Théorème de Dirichlet (admis) \item Théorème des nombres premiers (admis) \end{itemize} 4) Indicatrice d'Euler \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition de l'indicatrice d'Euler $\varphi$ + multiplicativité \item Calcul explicite de $\varphi(n)$ + $|(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*| = \varphi(n)$ \item Csqc : Théorème d'Euler puis de Fermat \item Appli : Critère de primalité de Fermat \item Appli : Fonctionnement de RSA \end{itemize} \medskip II/Applis en théorie des groupes 1) p-groupes \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Si $G$ est de cardinal premier alors il est cyclique \item Prop : Le centre d'un p-groupe est non trivial \item Prop : Un groupe d'ordre $p^2$ est abélien \end{itemize} 2) p-Sylow \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'un p-Sylow \item Théorèmes de Sylow + appli : un groupe d'ordre 63 n'est pas simple \end{itemize} \medskip III/Corps finis 1) Construction et propriétés \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition : caractéristique d'un corps + prop : la caractéristique $p$ d'un corps fini est première et son cardinal est une puissance de $p$ \item Th : Existence et unicité à isomorphisme près d'un corps à $p^n$ éléments (pour $p \in \mathbb{P}$) noté $\mathbb{F}_{p^n}$ \item Prop : $\mathbb{F}_{p^n}^*$ est cyclique \item Appli : Théorème de Chevalley-Warning + appli : EGZ (dont l'énoncé a déjà été donné) \end{itemize} 2) Polynômes sur les corps finis [\hyperref[bib]{Per}] \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Critère d'Eisenstein + ex \item Critère de réduction modulo $p$ + ct ex : $X^4 +1$ est réductible modulo tous les $p$ premiers mais est irréductible dans $\mathbb{Q}$ \item Algorithme de Berlekamp \fbox{DEV2} \end{itemize} 3) Carrés \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Tout élément de $\mathbb{F}_{2^n}$ est un carré \item Définition : symbole de Legendre + prop de base \item Lois de réciprocité quadratique \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} Demazure [\hyperref[bib]{Dem}], Serre [\hyperref[bib]{Ser}], Gourdon algèbre [\hyperref[bib]{GouAl}], OA [\hyperref[bib]{OA}], Perrin [\hyperref[bib]{Per}] \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Algorithme de Berlekamp [\hyperref[bib]{OA} p 244] \item Application Erdös-Ginzburg-Ziv [\hyperref[bib]{Zav} p 32] \end{itemize} \newpage \section*{123. Corps finis. Applications.} \textbf{Plan :} \medskip Cadre : Un corps est un anneau commutatif non nul $A$ tel que $A^* = A \setminus \{0\}$. Il est dit fini si $|A|$ est fini. \medskip I/Corps finis et structures \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Rq : il existe des corps finis car : \item Prop : $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est un corps ssi $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est intègre ssi $p \in \mathbb{P}$ \item Dans la suite, $K$ est un corps fini : on en cherche les propriétés \end{itemize} 1) Caractéristique et cardinal \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item $c: \left\{ \begin{array}{lll} \mathbb{Z} & \longrightarrow & K \\ k & \longmapsto & k.1_K \\ \end{array} \right. $ est un morphisme d'anneaux de noyau $p\mathbb{Z}$ où $p$ est premier \item Définition de la caractéristique + rq : $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est le sous corps premier de $K$ \item Prop : $K$ est un $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ espace vectoriel de dimension finie \item Csqc : $K = p^n$ + rq : il n'existe donc pas de corps à 6 éléments \end{itemize} 2) Groupe des inversibles \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item $K^*$ est cyclique + ex \item Rq : En fait, tout sous groupe de $K^*$ est cyclique \item Rq : En fait, tout sous groupe fini de $L^*$ est cyclique même si $L$ est un corps infini \end{itemize} 3) Automorphismes de $K$ \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition de l'automorphisme de Frobenius $\varphi$ + cas particulier : si $K = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ alors $\varphi =$ identité \item Prop : Si $Q \in K[X]$, $Q(X^p) = Q(X)^p$ ssi les coefficients de $Q$ sont dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ \item Prop : Les deux pros de [\hyperref[bib]{Dem} p 211 et 212] \item Csqc : $Aut(K) = <\varphi> \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ \end{itemize} 4) Existence et sous corps \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Th : pour tout $p \in \mathbb{P}$, pour tout $n \geq 1$, il existe un unique (à isomorphisme près) corps de cardinal $p^n$, noté $\mathbb{F}_{p^n}$ \item Construction de ce corps comme quotient de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]$ par un polynôme irréductible de degré $n$ + ex : construction de $\mathbb{F}_4$ \item Prop : $\mathbb{F}_{p^d}$ est un sous corps de $\mathbb{F}_{p^n}$ ssi $d|n$ + ex : calcul des sous corps de $\mathbb{F}_8$ \end{itemize} \medskip II/Polynômes sur les corps finis 1) Polynômes sur $\mathbb{F}_q$ avec $q = p^n$ \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Critère de réduction modulo $p$ pour décider l'irréductibilité dans $\mathbb{Z}[X]$ (cela motive le fait de vouloir connaître les polynômes irréductibles dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]$) + ex + ct-ex : $X^4+1$ est irréductible sur $\mathbb{Z}$ mais réductible modulo tous les $p$ [\hyperref[bib]{Per} p 78] \item Prop : [\hyperref[bib]{Per} p 78] + ex \item $X^{q^n} - X = \prod\limits_{d|n} \prod\limits_{P \in P_d} P$ pour $P_d = \{\text{polynômes irréductibles unitaires de degré } d \}$ \item Prop : Critère de Rabin pour l'irréductibilité des polynômes sur $\mathbb{F}_q$ \end{itemize} 2) Algorithme de factorisation \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Algorithme de Berlekamp \fbox{DEV1} \item Expliquer comment cet algo permet de factoriser n'importe quel polynômes \end{itemize} \medskip 3) Equations polynomiales \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Théorème de Chevalley-Warning + appli EGZ \fbox{DEV2} \item Rq : Cas où les polynômes dans Chevalley-Warning ont un zéro non trivial \end{itemize} III/Corps finis et arithmétique 1) Primalité \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Critère de primalité de Fermat et de Miller Rabin \end{itemize} 2) Carrés dans $\mathbb{F}_p$ pour $p \in \mathbb{P}$ \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Rq : Tout élément de $\mathbb{F}_{2^n}$ est un carré \item Définition du symbole de Legendre + prop + ex de calcul \item Prop : -1 est un carré modulo $p$ ssi $p=2$ ou $p \equiv 1 (4)$ \item Appli : Il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo 4 \item Prop : Loi de réciprocité quadratique \end{itemize} 3) Cryptographie (voir la leçon 120) \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Identification Fiat-Shamir \item Cryptosystème d'ElGamal \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} OA [\hyperref[bib]{OA}], Serre [\hyperref[bib]{Ser}], Zavidovique [\hyperref[bib]{Zav}], Perrin [\hyperref[bib]{Per}], Demazure [\hyperref[bib]{Dem}] \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Algorithme de Berlekamp [\hyperref[bib]{OA} p 244] \item Théorème de Chevalley-Warning [\hyperref[bib]{Ser} p 12] \end{itemize} \newpage \section*{141. Polyn\^omes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.} \textbf{Plan :} \medskip Cadre : $A$ est un anneau commutatif unitaire factoriel et $K$ est un corps \medskip I/Polynômes irréductibles [\hyperref[bib]{Per}] 1) Définition et exemples \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Rappel : $A$ est factoriel $\Rightarrow$ $A[X]$ est factoriel et $A[X]^* = A^*$ \item Définition de "$P \in A[X]$ est irréductible" \item Ex : $2X$ est irréductible dans $\mathbb{Z}[X]$ mais pas dans $\mathbb{Q}[X]$ \item Ex : Tout polynôme de degré 1 de $K[X]$ est irréductible \end{itemize} 2) Irréductibilité et racines \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Si $P \in K[X]$ admet une racine dans $K$ alors il est réductible + ex \item Csqc : $P$ est irréductible $\Rightarrow$ $P$ n'a pas de racine dans $K$ \item Théorème de d'Alembert-Gauss \item Prop : Si $P \in K[X]$ est de degré 2 ou 3 alors $P$ est irréductible ssi il n'a pas de racine dans $K$ + ex avec $X^2 +1$ dans $\mathbb{R}[X]$ \item Ct-ex : \c Ca ne marche plus pour les polynômes de degré plus haut : $(2X+1)^2$ n'a pas de recine dans $\mathbb{Z}$ mais y est réductible \end{itemize} 3) Critères d'irréductibilité \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition du contenu d'un polynôme + prop : il est multiplicatif \item Définition d'un polynôme primitif \item Th : $A$ est factoriel ; $K = \mathrm{Frac}(A)$. Les irréductibles de $A[X]$ sont les irréductibles de $A$ + les polynômes non constants, primitifs et irréductibles dans $K[X]$ \item Prop : $P \in K[X]$ est irréductible ssi $K[X]/(P)$ est un corps \item Critère d'Eisenstein + ex \item Critère de réduction modulo $p$ + ex + ct-ex $X^4+1$ [\hyperref[bib]{Per} p 78] \end{itemize} \medskip II/Adjonction de racines [\hyperref[bib]{Per}] 1) Extensions de corps, éléments algébriques Soit $L/K$ une extension de $K$ \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : $L$ est un $K$ espace vectoriel + définition degré d'une extension + notation [ : ] + ex $[\mathbb{C}:\mathbb{R}] = 2$ \item Théorème de la base télescopique + appli : multiplicativité des degrés \item Définitions : élément transcendant, élément algébrique + ex \item Prop : $x$ est algébrique sur $K$ ssi $K(X) = K[X]$ ssi $\mathrm{dim}_K K[x]$ est finie. Dans ce cas on peut donner une base de $K[x]$ et $[K[x]:K] = $ degré du polynôme minimal de $x$ \item Appli : $\{x \in L | x \text{ est algébrique sur } K \}$ est un sous corps de $L$ \end{itemize} 2) Corps de rupture \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition : corps de rupture + ex $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ pour $X^3 -2$ \item Th : Existence et unicité à isomorphisme près du corps de rupture pour tout polynôme irréductible sur $K$ \item Appli : $P \in k[X]$ de degré $n >0$. $P$ est irréductible ssi $P$ n'a pas de racines dans les extensions $K$ de $k$ telles que $[K:k] \leq \frac{n}{2}$ \end{itemize} 3) Corps de décomposition \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition : corps de décomposition + ex \item Prop : Existence et unicité à isomorphisme près du corps de décomposition \item Appli : Construction "du" corps à $p^n$ éléments comme corps de décomposition + ex \end{itemize} \medskip III/Polynômes irréductibles sur les corps finis ($p \in \mathbb{P}, q = p^r$) [\hyperref[bib]{Goz} à partir de p 87] \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Factorisation de $X^{q^n} -X$ [\hyperref[bib]{FG} p 189] \item Appli : Critère d'irréductibilité de Rabin \item Définition de la fonction de Möbius + quelques prop \item Dénombrement des polynômes irréductibles de $\mathbb{F}_q$ \fbox{DEV1} \item Algorithme de Berlekamp \fbox{DEV2} \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} OA [\hyperref[bib]{OA}], Perrin [\hyperref[bib]{Per}], Gozard [\hyperref[bib]{Goz}], Francinou [\hyperref[bib]{FG}] \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Algorithme de Berlekamp [\hyperref[bib]{OA} p 244] \item Nombre de polynômes sur $\mathbb{F}_q$ [\hyperref[bib]{FG} p 189] \end{itemize} \newpage \section*{150. Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices} \textbf{Plan :} \medskip Prérequis : notions d'action, d'une orbite, d'un stabilisateur. \medskip I/Action par translation \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition de l'action $A$ de $GL_n$ sur $M_{n,m}$ à gauche \item Définition d'une matrice échelonnée \item Prop : Deux matrices sont dans la m\^eme orbite pour $A$ ssi elles ont m\^eme noyau + toute matrice est dans l'orbite d'une matrice échelonnée \item Pivot de Gauss et ses applications (calcul de rang, déterminant, dimension, résolution d'équations linéaires...) \item Rq : On a une action similaire à droite \end{itemize} \medskip II/Action de Steinitz 1) Définition \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition : c'est l'action $\left\{ \begin{array}{lll} (GL_n \times GL_m) \times M_{n,m} & \longrightarrow & M_{n,m} \\ (P,Q),A & \longmapsto & PAQ^{-1} \\ \end{array} \right.$ \item Rq : Les orbites sont les classes d'équivalence \item Rq : Elle traduit un changement de base : $A$ et $B$ sont dans la même orbite ssi ce sont les matrices du même endomorphisme dans deux bases \end{itemize} 2) Caractérisation des orbites par le rang \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Si deux matrices sont équivalents alors elles ont même rang \item Prop : Si $M$ est de rang $r$, $M$ est équivalente à la matrice $J_r = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$ \item Conclusion : $A$ et $B$ sont équivalentes (cad sont dans la même orbite) ssi $rg(A) = rg(B)$ \fbox{DEV1} + les orbites sont donc paramétrées par le rang $\in \llbracket 0, \mathrm{min}(n,m) \rrbracket$ \item Appli : $rg(A) = rg(^tA)$ [\hyperref[bib]{OA} p 155-156] \item Appli : Indépendance de la notion d'équivalence para rapport au corps [\hyperref[bib]{OA} p 155-156] \item Appli : Dénombrement des matrices de rang $r$ sur un corps fini \fbox{DEV1} \end{itemize} \medskip III/Action par conjugaison 1) Définition \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition : c'est l'action $\left\{ \begin{array}{lll} (GL_n)^2 \times M_{n} & \longrightarrow & M_{n} \\ P,A & \longmapsto & PAP^{-1} \end{array} \right.$ \item Rq : Deux matrices sont dans la même orbite sont dites semblables \end{itemize} 2) Caractérisation de l'orbite \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Deux matrices sont semblables ssi elles ont même valeurs propres avec mêmes multiplicités (elles caractérisent les orbites) \item Prop : Le polynôme caractéristique caractérise donc l'orbite \item Prop : La trace, le déterminant et le polynôme minimal sont des invariants de similitude. Attention aucun des trois objets précédents ne caractérise l'orbite + ct-ex \end{itemize} 3) Action sur $O_n(\mathbb{R})$ \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Réduction des endomorphismes normaux \fbox{DEV2} \item Appli : Réduction des matrices réelles symétriques (dans chaque orbite de l'action par conjugaison de $O_(\mathbb{R})$ sur $S_n(\mathbb{R})$ il y a donc une matrice diagonale) \end{itemize} \medskip IV/Action par congruence 1) Définition \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition : c'est l'action $\left\{ \begin{array}{lll} GL_n \times S_n & \longrightarrow & S_n \\ P,S & \longmapsto & PS^tP \end{array} \right.$ \item Rq : Deux matrices sont dans la même orbite ssi ce sont les matrices de la même forme quadratique dans deux bases différentes \end{itemize} 2) Classification \begin{itemize}[label = $\rightarrow$] \item Cas complexe : deux matrices sont dans la même orbite ssi elles sont dégénérées de la même façon \item Cas réel : théorème d'inertie de Sylvester \item Cas sur un corps fini : deux orbites \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} H2G2 [\hyperref[bib]{H2G2}] (on peut quasi tout faire avec celui là), Gourdon algèbre [\hyperref[bib]{GouAl}], OA [\hyperref[bib]{OA}] \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Nombre de matrices de rang $r$ [\hyperref[bib]{H2G2} p 151] \item Réductions des endomorphismes normaux [\hyperref[bib]{GouAl} p 260] \end{itemize} \newpage \section*{151. Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.} \textbf{Plan :} \medskip I/Dimension 1) Familles de vecteurs \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définitions : famille libre, liée, génératrice, base + exs \item Prop : Toute sur famille d'une famille liée est liée / toute sous famille d'une famille libre est libre \end{itemize} 2) Dimension finie \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition : Un ev est de dimension finie s'il possède une famille génératrice finie \item Prop : Si $E$ est de dimension finie ; si (L = famille libre) $ \subset$ (G = famille génératrice) alors il existe une base B telle qu $L \subset B \subset G$ \item Théorème de la base incomplète \end{itemize} 3) Notion de dimension \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Dans un ev de dimension finie, toutes les bases ont le m\^eme cardinal. On en déduit la bonne définition de la dimension = cardinal commun de ces bases + exs \item Prop : Dans un ev de dimension $n$, un e famille libre ou liée qui a $n$ éléments est une base \item Calcul pratique de la dimension d'un ev par Gauss (mise sous forme échelonnée) \item Appli : Démonstrations par récurrence (par ex pour les résultats de réduction) \item Appli : Algorithme de Berlekamp \fbox{DEV1} \end{itemize} 4) Calculs de dimensions \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Dimension d'un produit d'ev \item Prop : Dimension de $L(E,F)$ et de $E^*$ \item Prop : Si $F$ est un sev de $E$ alors $\mathrm{dim}(F) \leq \mathrm{dim}(E)$ \item Prop : Formule de Grassmann \end{itemize} 5) Cas particulier des extensions de corps \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition du degré d'une extension de corps (c'est la dimension d'un ev particulier !) \item Théorème de la base télescopique + appli : multiplicativité des degrés \item Définition d'un élément algébrique (et du polynôme minimal) \item Prop : $a$ est algébrique sur $k$ ssi $k[a]$ est de dimension finie et alors $[k[a]:k] =$ degré du polynôme minimal de $a$ \item Appli : L'ensemble des éléments algébriques sur $k$ est un corps \end{itemize} \medskip II/Rang 1) Définition \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition du rang d'une famille de vecteurs, d'une matrice, d'une application linéaire \item Prop : $rg(f) = rg(\mathrm{Mat}(f))$ \item Théorème du rang \item Appli : Si $E$ et $F$ sont deux ev de même dimension et $f \in L(E,F)$ alors $f$ est surjective ssi $f$ est injective ssi $f$ est bijective \item Autre appli : Polynômes interpolateurs de Lagrange \end{itemize} 2) Calcul de rang \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Le rang d'une matrice est égal à celui de sa transposée \item Calcul effectif du rang par Gauss \item Prop : Le rang d'une matrice est aussi la taille du plus grand mineur non nul extrait de celle ci \end{itemize} 3) Rang et action de groupe \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Si $A$ est de rang $r$, $A$ est équivalente à $J_r$ \item En fait $A$ et $B$ sont équivalents ssi elles ont même rang + appli : calcul du nombre de matrices de rang $r$ \fbox{DEV2} \item Prop : Nombre de classes d'équivalences selon le rang \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} Grifone [\hyperref[bib]{Gri}] (y a quasi tout ce qu'il faut), OA [\hyperref[bib]{OA}] (pour développement), Perrin [\hyperref[bib]{Per}] (pour les extensions de corps), Gourdon algèbre [\hyperref[bib]{GouAl}], H2G2 [\hyperref[bib]{H2G2}] (pour développement) \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Algorithme de Berlekamp [\hyperref[bib]{OA} p 244] \item Nombre de matrices de rang $r$ [\hyperref[bib]{H2G2} p 251] \end{itemize} \newpage \section*{152. Déterminant. Exemples et applications.} \textbf{Plan :} \medskip Cadre : $\mathbb{K}$ est un corps et $E$ un $\mathbb{K}$ espace vectoriel de dimension n. \medskip I/Définitions [\hyperref[bib]{GouAl}] 1) Déterminant d'une famille de vecteurs \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'une forme n-linéaire alternée / antisymétrique + prop : quand la caractéristique de $K$ est différente de 2 c'est la même chose \item Prop : L'ensemble des formes n-linéaires alternées est un $\mathbb{K}$ espace vectoriel de dimension 1. On nomme $\mathrm{det}_B$ l'unique telle forme qui prend la valeur 1 sur la base $B$ \item Expression du déterminant : $\mathrm{det}_B(x_1,...,x_n) = \sum\limits_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma)x_{\sigma(1)}...x_{\sigma(n)}$ ($\star$) \item Prop : Changement de base : $\mathrm{det}_{B'}(x_1,...,x_n) = \mathrm{det}_{B'}(B) \mathrm{det}_B(x_1,...,x_n)$ + cas particulier si $B' = (x_1,...x_n)$ \item Prop : Si $(x_1,...x_n)$ est liée, son déterminant est nul. La réciproque est vraie. \item Csqc : On ne change pas le déterminant en ajoutant à l'un des $x_i$ une combinaison linéaire des autres \end{itemize} 2) Déterminant d'un endomorphisme \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition : Si $f$ est un endomorphisme et $B = (e_1,...,e_n)$ est une base, $\mathrm{det}_B(f) = \mathrm{det}_B(f(e_1),...,f(e_n))$ \item Prop : Cette quantité ne dépend pas de la base $B$ \item Prop : Le déterminant de l'identité vaut 1. Le déterminant de $f$ est nul ssi $f$ n'est pas bijective \item Prop : Déterminant d'une composée et d'un inverse \end{itemize} 3) Déterminant d'une matrice carrée \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Déf : Si $A \in M_n(\mathbb{K})$, le déterminant de $A$ est le déterminant de l'endomorphisme qui lui est canoniquement associée \item Prop : On retrouve toutes celles qui valent pour les endomorphismes + $\mathrm{det}(A) = \mathrm{det}(^tA)$ (par la formule $\star$) \end{itemize} \medskip II/Calcul de déterminants [\hyperref[bib]{GouAl}] 1) Théorie \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Calcul brut avec ($\star$) en $n \times n!$ \item Définition d'un mineur, cofacteur, comatrice \item Prop : Développement selon une ligne ou une colonne (toujours en $n!$) \item Appli : Calcul du déterminant d'une matrice triangulaire + $\mathrm{det} \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & C \\ \end{pmatrix} = \mathrm{det}(A) \mathrm{C}$ (avec $A, B, C$ des matrices \item Prop : $A ^t\mathrm{com}(A) = \mathrm{det}(A)I_n$ \item Méthode de l'élimination de Gauss pour le calcul des déterminants (en $n^3$) \end{itemize} 2) Quelques déterminants particuliers \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Déterminant de Vandermonde \item Prop : Déterminant de Cauchy \item Prop : Déterminant circulant + appli : suite de polygones \fbox{DEV1} \end{itemize} \medskip III/Applications en algèbre [\hyperref[bib]{GouAl}] 1) Systèmes linéaires \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Formules de Cramer + ex \end{itemize} 2) Polynôme caractéristique \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition du polynôme caractéristique \item Prop : Etre une valeur propre équivaut à être racine du polynôme caractéristique \item Th de Cayley Hamilton \end{itemize} 3) Mesurer des choses \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Interprétation du déterminant comme un volume \item Prop : Inégalité de Hadamard + cas d'égalité \item Déf : matrices et déterminants de Gram \item Th de Muntz \end{itemize} \medskip IV/Applications en analyse [\hyperref[bib]{GouAn}] 1) Régularité \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Le déterminant est $C^{\infty}$ car polynomiale + différentielle du déterminant \item Appli : Si $A, B \in M_n(\mathbb{R})$ sont $\mathbb{C}$ semblables alors elles sont $\mathbb{R}$ semblables \end{itemize} 2) Changement de variables \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition du jacobien \item Prop : Changement de variable \item Appli : John-Loewner \fbox{DEV2} \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} Gourdon Algèbre [\hyperref[bib]{GouAl}] (principalement), Gourdon Analyse [\hyperref[bib]{GouAn}], XENS algèbre 3 [\hyperref[bib]{FGNal3}] \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Ellipsoïde de John-Loewner [\hyperref[bib]{FGNal3} p 229] \item Suite de polygones [Sans ref, trouvé sur le site de Théo Pierron] \end{itemize} \newpage \section*{153. Polyn\^omes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications} \textbf{Plan :} \medskip Cadre : $u$ est un endomorphisme du $\mathbb{K}$ espace vectoriel $E$ de dimension $n$. On note $M_u$ sa matrice dans une certaine base. Rappel : $\lambda$ est valeur propre de $u$ si il existe $x \neq 0$ tel que $u(x) = \lambda x$. \medskip I/Polynômes d'endomorphismes 1) Algèbre $\mathbb{K}[u]$ \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition du morphisme d'algèbre $\varphi(u) : \left\{ \begin{array}{lll} \mathbb{K}[X] & \longrightarrow & \mathbb{K}[u] \subset L(E) \\ P & \longmapsto & P(u) \\ \end{array} \right. $ \item Prop $ \mathbb{K}[u]$ est une sous algèbre commutative de $L(E)$ \item Théorème de décomposition des noyaux + ex pour une symétrie et une projection \end{itemize} 2) Polynôme minimal \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition idéal des polynômes annulateurs $I_u$ \item Prop : Il est engendré par $\pi_u$ (car $\mathbb{K}[X]$) puis définition du polynôme minimal \item Appli : Calcul des puissances de $u$ par $X_n = \pi_u(X)P+R$ donc $u^n = 0 + R(u)$ (donc chute du degré) \item Appli : Calcul de l'inverse de $u$ : $0 = \pi_u(u) = \sum\limits_{i=0}^n a_iu^i = \sum\limits_{i=k}^n a_i u^i$ où $a_k$ est le premier $a_i$ non nul. Si $k = 0$ on a $ u^{-1} = \frac{-1}{a_0} \sum\limits_{i=1}^n a_i u^i$ \item Prop $\mathbb{K}[u] \simeq \mathbb{K}[X]/(\pi_u)$ est de dimension $\mathrm{deg}(\pi_u)$ et une base en est $(id, u, u^2,...u^{\mathrm{deg}(\pi_u)-1}$ \item Prop : $\lambda$ est valeur propre ssi $\pi_u(\lambda) = 0$ \item Prop : Si $F$ est un sous espace $u$-stable, $\pi_{u_{|F}} | \pi_u$ \end{itemize} 3) Polynôme caractéristique \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition du polynôme caractéristique $\chi_u$ \item Prop : $\mathrm{deg}(\chi_u) = n$ + coefficient dominant = $(-1)^n$ puis $(-1)^{n-1}\mathrm{tr}(u)$ ... puis $\mathrm{det}(u)$ \item Prop : $\lambda$ est valeur propre ssi $\chi_u(\lambda) = 0$ \item Th de Cayley Hamilton don c $\pi_u |\chi_u$ (et d'ailleurs $\chi_u | \pi_u^n$) \item Csqc : $u$ est nilpotent ssi $\chi_u = (-1)^nX^n$ \item Prop : Si $F$ est un sous espace vectoriel $u$-stable alors $\chi_{u_{|F}} | \chi_u$ \end{itemize} \medskip II/Un outil pour la réduction 1) Diagonalisabilité \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : $ u$ est diagonalisable ssi $\pi_u$ est scindé à racines simples ssi il existe $P \in I_u$ qui est scindé à racines simples ssi $\chi_u$ est scindé et pour toute valeur propre, sa multiplicité géométrique est égale à sa multiplicité algébrique. \item Ex : Un projecteur est toujours diagonalisable \item Csqc : Si $F$ est $u$-stable et $u$ est diagonalisable alors $u_{|F}$ aussi \item Prop : Familles codiagonalisables \item Appli : Théorème de Burnside \end{itemize} 2) Trigonalisabilité \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : $u$ est trigonalisable ssi $\chi_u$ est scindé ssi $\pi_u$ est scindé ssi il existe $P \in I_u$ qui est scindé \item Csqc : Si $ \mathbb{K}$ est algébriquement clos alors tout le monde est trigonalisable \item Prop : Si $F$ est $u$-stable et $u$ est trigonalisable alors $u_{|F}$ aussi \end{itemize} 3) Réduction \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Th : Décomposition de Dunford \fbox{DEV2} \item Appli : Calcul de l'exponentielle matricielle avec Dunford (même si ce n'est pas efficace) (ça peut servir en equa diff) \item Définition d'un endomorphisme normal \item Th : Réduction des endomorphismes normaux \fbox{DEV2} \item Appli : Réduction des matrices symétriques et antisymétriques réelles \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} Gourdon Algèbre [\hyperref[bib]{GouAl}], OA [\hyperref[bib]{OA}], XENS algèbre 2 [\hyperref[bib]{FGNal2}] \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Réduction de Dunford [\hyperref[bib]{GouAl} p 193] \item Réductions des endomorphismes normaux [\hyperref[bib]{GouAl} p 259] \end{itemize} \newpage \section*{157. Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.} \textbf{Plan :} \medskip Cadre : $E$ est un $\mathbb{K}$ espace vectoriel de dimension $n$ et $u$ un endomorphisme de $E$ \medskip I/Outils \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'une valeur propre, vecteur propre, sous espace propre / caractéristique \item Définition du polynôme minimal $\pi_u$ / caractéristique $\chi_u$ \item Prop : $\lambda$ est valeur propre ssi $\lambda$ est racine de $\pi_u$ ssi $\lambda$ est racine de $\chi_u$ \item Prop : Si $F$ est $u$-stable alors $\chi_{u_{|F}} | \chi_u$ et $\pi_{u_{|F}} | \pi_u$ \item Appli : Démonstrations par récurrence possibles \item Théorème de décomposition des noyaux (expliquer que si on a un polynôme annulateur de $u$, on peut décomposer $E$ en somme directe de sous espaces $u$-stables et que si on concatène des bases de ces sous espaces, on obtient une base dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale par blocs cad simple) \end{itemize} \medskip II/Endomorphismes trigonalisables 1) Résultats classiques \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition matrice / endo trigonalisable \item Prop : $u$ est trigonalisable ssi $\chi_u$ est scindé ssi $\pi_u$ est scindé \item Csqc : Si $\mathbb{K}$ est algébriquement clos, tout le monde est trigonalisable + ct-ex : dans $\mathbb{R}$, $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{pmatrix}$ n'est pas trigonalisable \item Appli : $\forall A \in M_n(\mathbb{C})$, $\mathrm{det}(e^A) = \mathrm{exp(tr}A)$ \end{itemize} 2) Cotrigonalisbilité \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Si $u$ et $v$ commutent, les sous espaces caractéristiques de $u$ sont $v$-stables \item Prop : Si $u$ et $v$ commutent et sont trigonalisables, ils sont cotrigonalisables \item Prop : Même résultat pour une famille quelconque d'endomorphismes qui commutent entre eux \item Appli : Si $u$ et $v$ commutent et sont trigonalisables, $u+v$ est trigonalisable \end{itemize} \medskip III/Endomorphismes nilpotents 1) Définition et caractérisations \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition endo nilpotent + indice de nilpotence + ex \item Prop : $u$ est nilpotent ssi $\chi_u = (-1)^nX^n$ ssi il existe $p \in \mathbb{N}$ tel que $\pi_u = X^p$ ssi $u$ est trigonalisable avec des zéros sur sa diagonale ssi $u$ est trigonalisable et sa seule valeur propre est zéro \item Attention : 0 est la seule valeur propre de $u$ n'implique pas que $u$ est nilpotent : ct-ex dans $M_n(\mathbb{R})$ avec $\begin{pmatrix} 0&0&0 \\ 0&0&-1 \\ 0&1&0 \\ \end{pmatrix}$ dont le spectre est nul mais qui n'est pas nilpotente \item Prop : Si la caractéristique de $\mathbb{K}$ n'est pas nulle, $u$ est nilpotent ssi $\forall k \in \mathbb{N}^*$ on a $\mathrm{tr}(u^k) = 0$ \item Appli : Théorème de Burnside \fbox{DEV1} \end{itemize} 2) Structure \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : L'ensemble $N$ des nilpotents n'est pas un sev : $\begin{pmatrix} 0&0 \\ 1&0 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0&-1 \\ 0&0 \\ \end{pmatrix} \notin N$ \item Rq : En revanche si $u, v \in N$ commutent alors $u+v \in N$ \item Prop : $\mathrm{Vect}(N) = \mathrm{Ker(tr)}$ + structure de cône de $N$ \end{itemize} 3) Applications à la réduction \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Décomposition de Dunford \fbox{DEV2} \item Appli : Calcul de $e^A$ \item Théorème de Jordan \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} Gourdon algèbre [\hyperref[bib]{GouAl}], Grifone [\hyperref[bib]{Gri}] (pour quelques exemples), XENS algèbre 2 [\hyperref[bib]{FGNal2}] \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Théorème de Burnside [\hyperref[bib]{FGNal2} p 185] \item Réduction de Dunford [\hyperref[bib]{GouAl} p 193] \end{itemize} \newpage \section*{159. Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.} \textbf{Plan :} \medskip Cadre : $E$ est un $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ espace vectoriel de dimension $n$ \medskip I/Formes linéaires et hyperplans 1) Définition et exemples \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'une forme linéaire + de $E^*$ \item prop : Si $(e_1,...,e_n)$ est une base de $E$ une forme linéaire est du type $\varphi : \sum x_i e_i \longmapsto \sum a_i x_i$ où $a_i = \varphi(e_i) \in \mathbb{K}$ \item Exs : formes linéaires coordonnées, trace, différentielle d'un fonction \end{itemize} 2) Lien avec les hyperplans \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'un hyperplan par la dimension + ex \item Prop : $\varphi \in E^* \setminus \{0 \} \Rightarrow \mathrm{Ker}(\varphi)$ est un hyperplan \item Prop : Réciproquement, si $H$ est un hyperplan, il existe une forme linéaire non nulle de noyau $H$ \item Prop : $\varphi$ et $\psi$ sont deux formes linéaires non nulles de même noyau ssi elles sont proportionnelles \item Cor : $\{x | \sum x_i a_i \}$ avec $(a_1,...,a_n) \neq 0$ est un hyperplan. D'ailleurs, tout hyperplan est de cette forme \item Rq : Résoudre un système d'équations linéaires revient à calculer une intersection d'hyperplans \item Illustration : Méthode de Kaczmarz \fbox{DEV1} \end{itemize} \medskip II/Dualité 1) Dual \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'une base duale + notation $e_i^*$ + ex de calcul $(X^k)^* : P \longmapsto \frac{P^{(k)}(0)}{k!}$ [\hyperref[bib]{Gri}] \item Prop $E \simeq E^*$ via le choix d'une base \item Prop : Dans le cadre euclidien, le théorème de Riesz donne un isomorphisme entre $E$ et $E^*$ sans dépendance à une base \item Prop : Cas de $M_n(\mathbb{R})$ : $A \longmapsto \mathrm{tr}(AM)$ est un isomorphisme entre $M_n(\mathbb{R})$ et $M_n(\mathbb{R})^*)$ \fbox{DEV1} \item Applis : Prop sur les formes linéaires centrales + $GL_n(\mathbb{R})$ rencontre tout hyperplan de $M_n(\mathbb{R})$ \fbox{DEV1} \end{itemize} 2) Bidual \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition du bidual \item Prop : Isomorphisme canonique entre $E$ et $E^{**}$ \item Définition : bas antéduale \item Ex : La base des polynômes de Lagrange avec les $a_i$ comme points d'évaluation est la base antéduale de la base $(\varphi_i)$ pour $i=0..n$ où $\varphi_i : P \longmapsto P(a_i)$ \end{itemize} \medskip III/Applications 1) Orthogonalité \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition : $x \in E$ et $\varphi \in E^*$ sont orthogonaux si $\varphi(x) = 0$ \item Rq : Cette définition correspond à la définition classique dans le cadre euclidien (via Riesz) \item Définition des deux orthogonaux \end{itemize} 2) Formes linéaires indépendantes \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Réduction de Gauss des formes quadratiques \item Th des extrema liés + appli : diagonalisation des endomorphismes symétriques + appli : inégalité arithmético-géométrique \end{itemize} 3) On peut éventuellement parler de transposée [\hyperref[bib]{GouAl}] \bigskip \textbf{Références :} Gourdon algèbre [\hyperref[bib]{GouAl}], XENS algèbre 1 [\hyperref[bib]{FGNal1}], OA [\hyperref[bib]{OA}], Grifone [\hyperref[bib]{Gri}] (pour les calculs pratiques) \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Dual de $M_n(\mathbb{K})$ [\hyperref[bib]{FGNal1} p 329] \item Méthode de Kaczmarz [Sans ref, trouvé sur le site de Théo Pierron] \end{itemize} \newpage \section*{162. Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.} \textbf{Plan :} \medskip I/Théorie générale des systèmes linéaires [\hyperref[bib]{Gri} p 141-147] 1) Définition \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'un système linéaire + représentation matricielle $Ax=b$ \item Définition d'un système compatible + le rang d'un système + ex : un système homogène $AX = 0$ est compatible \item Prop : Un système est compatible ssi $b \in \mathrm{Im}(A)$ ssi $b$ est engendré par les vecteurs colonnes de $A$ \end{itemize} 2) Cramer \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'un système de Cramer (= $A \in GL_n(\mathbb{K})$) + prop : il admet une unique solution. Rq : on se place dans ce cas dans les parties II, III et IV \item Th : Cette solution est donnée par les déterminants de Cramer + ex + complexité naïve en $n!$ (mais si on calcule les déterminants avec Gauss, on descend à $n \times n^3 = n^4$ \end{itemize} 3) Rouché-Fontené \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item théorème de Rouché-Fontené + ex + cas particulier des systèmes homogènes \end{itemize} \medskip II/Opérations élémentaires et pivot de Gauss [\hyperref[bib]{OA}] 1) Opérations élémentaires \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition : matrices élémentaires = matrices de dilatation, de transvection et de permutation \item Prop : La multiplication à gauche (resp droite) de $A$ par une matrice élémentaire revient à effectuer une opération sur les lignes (resp colonnes) de $A$ \item Th : $SL_n(\mathbb{K})$ est engendré par les matrices de transvection et $GL_n(\mathbb{K})$ par celle de transvection et dilatation + appli connexité de $SL_n(\mathbb{ K})$ \fbox{DEV1} \end{itemize} 2) Méthode de Gauss \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : $A \in M_n(\mathbb{K})$ de première colonne non nulle peut être transformée en $\begin{pmatrix} \alpha & * ... * \\ 0 & A' \\ \end{pmatrix}$ par multiplication à gauche par des matrices élémentaires \item Algorithme de Gauss \item Rq : Complexité en $n^3$ + attention quand les pivots sont petits on peut faire des grosses erreurs d'arrondi [\hyperref[bib]{Gri}] \item Prop : Grâce à Gauss, le système $Ax = b$ devient $Tx = Mb$ avec $T$ triangulaire \item Prop : On peut maintenant utiliser la méthode de remontée (en $O(n^2)$) pour calculer la solution en $O(n^3)$ \item Appli de Gauss : calcul de rang, de l'inverse d'une matrice, recherche d'une base d'un sev, calcul de déterminant... \end{itemize} \medskip III/Autres méthodes de résolution directe [\hyperref[bib]{Gri} p 363] [\hyperref[bib]{Cia}] But : Se ramener à des systèmes triangulaires qui sont faciles à résoudre 1) Méthode LU \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Décomposition LU : existence et unicité sous conditions \item Calcul effectif avec Gauss + ex \item Expliquer comment on revient à résoudre deux systèmes triangulaires + complexité \item Rq : Si $A$ est tridiagonale, le calcul de LU se fait en $O(n)$ d'où calcul d'une solution en $O(n^2)$ + ex matrice du laplacien discret relève de ce cas \end{itemize} 2) Cholesky \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Décomposition de Cholesky \item Calcul explicite en $O(n^3)$ mais un peu mieux en mémoire que LU car on ne conserve qu'une seule matrice et pas deux \end{itemize} \medskip IV/ Méthodes itératives [\hyperref[bib]{Cia} p 95-103] But : Construire $(x_k)_k$ qui converge vers la solution \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Th : Si $A = M-N$ avec $M \in GL_n$ et $N \in M_n$ la suite définie par $x_0 \in \mathbb{K}^n$ et $x_{n+1} = M^{-1}(Nx_k + b)$ converge vers la solution de $Ax = b$ ssi $\rho(M^{-1}N) < 1$ \item Ex : méthode de Jacobi, de Gauss-Siedel, de relaxation : donner les matrices $M$ et $N$ et des exs \item Méthode de Kaczmarz \fbox{DEV2} \item Prop : Gradient à pas optimal [\hyperref[bib]{HU} p 53] \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} Grifone [\hyperref[bib]{Gri}], Ciarlet [\hyperref[bib]{Cia}], XENS algèbre 2 [\hyperref[bib]{FGNal2}] (pour le dev), [\hyperref[bib]{HU}] \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Générateurs de GL(E) et SL(E) et applications à la connexité [\hyperref[bib]{FGNal2} p 177] \item Méthode de Kaczmarz [Sans ref, trouvé sur le site de Théo Pierron] \end{itemize} \newpage \section*{170. Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications} \textbf{Plan :} \medskip Cadre : $\mathbb{K}$ est un corps de caractéristique différente de deux et $E$ un $\mathbb{K}$ ev de dimension $n$ \medskip I/Généralités 1) Définitions \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'une forme bilinéaire symétrique (= fbs) + ex, et d'une forme quadratique (= fq) comme polynôme homogène de degré deux \item Prop : Lien entre les deux, forme polaire \item Définitions : matrice d'une fbs $b$ et matrice d'une fq $q$ + expression de $b(x,y)$ et de $q(x)$ avec ces matrices \item Prop : Changement de base + définition de matrices congruentes \end{itemize} 2) Noyau et rang \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition du noyau et du rang d'une forme quadratique + ex + prop : c'est stable par congruence \item Définition d'une forme dégénérée / non dégénérée + caractérisation \end{itemize} 3) "Norme" \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'un fq définie et positive (= fqdp) \item Prop : Inégalité de Cauchy-Schwartz + csqc = \item Prop : Si $q$ est un fqdp alors $\sqrt{q}$ est une norme \item Théorème de Schwarz pour une fonction deux fois différentiable + $D^2f(a)$ est un exemple de fqdp + application à la recherche d'extremums \end{itemize} \medskip II/Orthogonalité et isotropie 1) Orthogonalité \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item définition de vecteurs orthogonaux, de l'orthogonal d'un sev \item Théorème de Pythagore \end{itemize} 2) Diagonalisation \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'une base orthogonale / base orthonormée (dans le cas d'une forme bilinéaire symétrique définie positive) \item Th : Pour toute fq $q$ il existe une base $q$ orthogonale + calcul effectif (et preuve) via la méthode de Gauss de réduction des formes quadratiques + ex + csqc : orthodiagonalisation des matrices symétriques \item Théorème de pseudo réduction simultanée \item Appli : John-Loewner \fbox{DEV1} \end{itemize} 3) Isotropie \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'un vecteur isotrope, du cône isotrope (ce n'est pas un sev !) + ex avec $(x,y) \longmapsto xy$ \item Prop : $\mathrm{Ker}(q) \subset $ cône isotrope de $q$ + réciproque fausse avec la forme associée à $\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&2 \\ \end{pmatrix}$ \end{itemize} \medskip III/Classification des formes quadratiques \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Rappel de la définition de congruence + notation $M$ et $M'$ sont congruentes = $M \equiv M'$ \item Prop : Si $\mathbb{K}$ est algébriquement clos, $M \equiv M'$ ssi elles ont même rang \item Prop : Dans le cas où $\mathbb{K} = \mathbb{R}$, théorème d'inertie de Sylvester = classification grâce à la signature \item Rq : Lien entre positivité de la forme et sa signature + calcul de la signature via la réduction de Gauss \item Appli : Lemme de Morse \fbox{DEV2} \item Prop : Classification lorsque le corps est fini = il y a deux classes de congruence \item Appli : Une démonstration de la réciprocité quadratique [\hyperref[bib]{H2G2}] \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} [\hyperref[bib]{dSP}] (principalement), Rouvière [\hyperref[bib]{Rou}] (pour l'analyse), XENS algèbre 3 [\hyperref[bib]{FGNal3}] (pour le dev), Gourdon algèbre [\hyperref[bib]{GouAl}] \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Ellipsoïde de John-Loewner [\hyperref[bib]{FGNal3} p 229] \item Lemme de Morse [\hyperref[bib]{Rou} p 209 et 354] \end{itemize} \newpage \section*{181. Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.} \textbf{Idée de défense de plan} : Le centre de gravité d'un ensemble de points pondérés est un barycentre $\rightarrow$ utile en physique \textbf{Plan :} \medskip Cadre : $E$ est un espace affine réel de dimension $n$ \medskip I/Barycentres [\hyperref[bib]{DJM}] 1) Définition \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition + expression \item Prop : homogénéité, commutativité et associativité du barycentre \item Appli (de l'associativité) : Suite de polygones \fbox{DEV1} \end{itemize} 2) Isobarycentre \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition isobarycentre + ex : pour un segment c'est son milieu \item Appli : Les médianes d'un triangle sont concourantes \end{itemize} \medskip II/Convexité [\hyperref[bib]{Tau} p 75-87] 1) La base \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'une combinaison convexe, d'une partie convexe, d'une partie étoilée \item Prop : Une intersection de convexe est convexe ; convexe implique connexe par arcs ; $A$ est convexe ssi toute combinaison convexe de points de $A$ reste dans $A$ ; si $A$ est convexe, $\overline{A}$ aussi ... \end{itemize} 2) Enveloppe convexe \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition de l'enveloppe convexe de $A$ = $\mathrm{cv}(A)$ \item Théorème de Carathéodory [\hyperref[bib]{Tau} p77] \item Théorème de projection sur un convexe fermé (+ réciproque = théorème de Motzkin) + appli : approximation par les moindres carrés \item Théorème de séparation (stricte) par un hyperplan \item Théorème de Hahn Banach géométrique [\hyperref[bib]{Bre}] + appli : calcul de l'enveloppe convexe de $O_n(\mathbb{R})$ pour la norme euclidienne \item Définition de point extrémal + ex pour un segment + caractérisation des points extrémaux \item Théorème de Krein-Milman \end{itemize} 3) Lien avec les fonctions convexes \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'une fonction convexe (stricte) via la convexité de son épigraphe \item Définition d'une fonction convexe (stricte) classique + ce sont les mêmes \item Prop : Si $f$ est strictement convexe et admet un minimum local il est unique \item Appli : Ellipsoïde de John-Loewner \fbox{DEV2} \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} Brézis [\hyperref[bib]{Bre}], [\hyperref[bib]{DJM}], [\hyperref[bib]{Tau}], XENS algèbre 3 [\hyperref[bib]{FGNal3}] (pour le dev) \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Suite de polygones [Sans ref, trouvé sur le site de Théo Pierron] \item Ellipsoïde de John-Loewner [\hyperref[bib]{FGNal3} p 229] \end{itemize} \newpage \section*{182. Applications des nombres complexes à la géométrie.} \textbf{Idée de défense de plan} : Définir le plan comme étant $\mathbb{C}$ peut être mieux que par $\mathbb{R}^2$ car $\mathbb{C}$ est un corps commutatif et ça c'est cool. D'ailleurs, on a essayé de faire pareil en dimension supérieure (3) ce qui a donné les quaternions mais là ça marche moins bien car ils ne forment pas un corps. \textbf{Plan :} \medskip I/Géométrie euclidienne 1) Lien $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{C}$ [\hyperref[bib]{Eid}] \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item On représente le plan euclidien $\mathbb{R}^2$ par $\mathbb{C}$ via $(x,y) \longmapsto x+iy$ \item Définition de l'affixe d'un point / d'un vecteur (+ par la suite point et affixe de ce point) \item Ex : Calcul de l'affixe de l'isobarycentre de $z_1,...z_n$ \item Appli : Suite de polygones \fbox{DEV1} \item Prop : Expression d'une longueur d'un segment, d'un produit scalaire, d'un produit mixte avec les affixes des points concernés \item Appli : CNS de colinéarité + équation d'une droite avec les affixes \end{itemize} 2) Angles [\hyperref[bib]{Aud} p 73-77] \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Si $u, v \in S^1$ (le cercle unité) il existe une unique rotation qui envoie $u$ sur $v$. \c Ca donne donc une relation d'équivalence $R$ sur $S^1 \times S^1$ : $(u,v)R(u',v')$ ssi il existe une rotation qui envoie $u$ sur $u'$ et $v$ sur $v'$ \item Définition : L'angle orienté de vecteur $(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ est la classe de $(u,v)$ modulo $R$ \item Prop : Relation de Chasles \item Def : On oriente le plan. On note $\varphi : (u,u') \longmapsto$ l'unique rotation de $SO_2(\mathbb{R})$ qui envoie $u$ sur $u'$, de matrice $\begin{pmatrix} \mathrm{cos}(\theta) & \mathrm{sin}(\theta) \\ \mathrm{sin}(\theta) & \mathrm{cos}(\theta) \\ \end{pmatrix}$. La mesure de l'angle $(u,u')$ est $\theta$ (bien définie modulo $2\pi$) \item Appli : Coordonnées polaires \end{itemize} 3) Transformations [\hyperref[bib]{Aud}] \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item définition d'une similitude directe, de son rapport, de son angle \item Prop : L'ensemble des similitudes directes est le groupe engendré par les translations, rotations et homothéties \item Csqc : Les similitudes directes préservent les angles orientés et les distance (+ réciproque) \item Définition de la conjugaison $z \longmapsto \overline{z}$ \item Définition des isométries affines + prop : elles sont engendrées par la conjugaison, et les similitudes directes dont le module du rapport vaut 1 \end{itemize} \medskip II/Droite projective complexe et homogrphies [\hyperref[bib]{Aud}] 1) Définitions \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition de $\mathbb{P}1(\mathbb{C})$ comme $\frac{\mathbb{C}^2 \setminus \{(0,0) \}}{\sim}$ où $\sim$ est la relation de colinéarité \item Prop : $\mathbb{P}_1(\mathbb{C})$ est homéomorphe à $\mathbb{C}\cup \{\infty \}$ ainsi qu'à la sphère de Riemann + dessins \end{itemize} 2) Homographies \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : $GL_2(\mathbb{C})$ préserve les droites ce qui donne une action de $GL_2(\mathbb{C})$ sur $\mathbb{P}_1(\mathbb{C})$ : $ \begin{pmatrix} a&b \\ c&d \\ \end{pmatrix}, [z:z'] \longmapsto [az + bz' : cz+dz']$ \item Définition du groupe linéaire projectif = $PGL_2(\mathbb{C}) = \frac{GL_2(\mathbb{C})}{\mathbb{C}I_2} \simeq \{f : \left\{ \begin{array}{lll} \mathbb{C}\cup \{\infty \} & \longrightarrow & \mathbb{C}\cup \{\infty \} \\ z & \longmapsto & \frac{az+b}{cz+d} \\ \end{array} \right. | ad-bc \neq 0 \}$. c'est le groupe des homographies \item Conventions : $0 \times \infty = 0$ et $\frac{1}{0} = \infty$ \item Prop : Une homographie est une bijection et l'inverse d'une homographie est une homographie (structure de groupe) \item Th : Si $a_1, a_2, a_3 \in \mathbb{P}_1(\mathbb{C})$ sont deux à deux distincts et $b_1, b_2, b_3 \in \mathbb{P}_1(\mathbb{C})$, il existe une unique homographie $h$ tel que $h(a_1) = b_1, h(a_2) = b_2$ et $h(a_3) = b_3$ \end{itemize} 3) Birapport \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition : Soit $(a,b,c,d)$ où $a,b,c$ sont deux à deux distincts. Alors il existe une unique homographie $h$ telle que $h(a) = \infty$, $h(b) = 0$ et $h(c) = 1$. Le birapport de $a,b,c,d$ est $[a,b,c,d] = h(d)$ + ex \item Prop : Calcul du birapport : $[a,b,c,d] = \frac{(c-a)/(c-b)}{(d-a)/(d-b)}$ d'où le nom \item Prop : Si $a,b,c \in \mathbb{P}_1(\mathbb{C})$ sont deux à deux distincts et $d \in \mathbb{P}_1(\mathbb{C})$, $[a,b,c,d] \in \overline{\mathbb{R}}$ ssi $a,b,c,d$ sont alignés ou cocycliques \item Définition d'une division harmonique \item Prop : Si $a,b,c$ sont deux à deux distincts, $[a,b,c,\infty] = -1$ ssi $c$ est le milieu de $[ab]$ \item Prop : Toute homographie préserve les birapports + cor : $\mathcal{C} = \{ \text{cercles et droites de } \mathbb{C} \} $ est préservé par toute homographie \end{itemize} 4) Groupe circulaire \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition : Le groupe circulaire $G$ est le groupe engendré par $z \longmapsto \overline{z}$ et les homographies \item Th : $G$ est l'ensemble des bijections de $\mathbb{P}_1(\mathbb{C})$ qui préservent $\mathcal{C}$ \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} Eiden [\hyperref[bib]{Eid}], Audin [\hyperref[bib]{Aud}] \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Suite de polygones [Sans ref, trouvé sur le site de Théo Pierron] \item Groupe circulaire [\hyperref[bib]{Aud} p 204] \end{itemize} \newpage \section*{183. Utilisation de nombres complexes en géométrie.} \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Groupe circulaire [\hyperref[bib]{Aud} p 204] \item Groupe des isométries du cube [\hyperref[bib]{H2G2} p 365] \end{itemize} \newpage \section*{190. Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.} \textbf{Plan :} \medskip I/Outils basiques [\hyperref[bib]{dB}] \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'un ensemble fini, cardinal, notation |\phantom{a}| \end{itemize} 1) Unions \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Formule du crible + cas disjoint \item Cor : Lemme des bergers = si $ \varphi : A \longmapsto B$ est telle que $A$ et $B$ sont finis et $\forall x \in B, |\varphi^{-1}(x)| = n$ alors $|A| = n|B|$ \item Appli : $\forall p \geq 3$ et premier, il y a $\frac{p-1}{2}$ carrés non nuls dans $\mathbb{F}_p$ \end{itemize} 2) Produits \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'un produit d'ensembles finis \item Prop : Cardinal d'un produit d'ensembles finis \item Appli : Il y a $p^n$ applications de $X$ de cardinal $n$ dans $Y$ de cardinal $p$ + nombre de parties d'un ensemble fini \end{itemize} 3) Permutations \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'un arrangement + leur nombre + appli : tiercé dans l'ordre \item Définition d'une permutation (= cas particulier d'un arrangement) + $|S_n| = n!$ \item Définition d'une combinaison, des coeffs binomiaux + appli : tiercé dans le désordre \item Prop sur les coeffs binomiaux + triangle de Pascal + binôme de Newton \item Appli : inverse de la matrice de Pascal + nombre de dérangements \end{itemize} \medskip II/Utilisation de la théorie des groupes 1) Simple \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Théorème d'isomorphisme \item Prop : $|GL_n(\mathbb{F}_q)|$ + appli du th d'isomorphisme : calcul de $|SL_n(\mathbb{F}_q)|$ et recalcul du nombre de carrés de $\mathbb{F}_q$ \end{itemize} 2) Utilisation des actions de groupes \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition : $G$ agit sur $X$ ensemble fini + stabilisateur + orbite \item Th : $|X| = \sum\limits_{i} |\mathrm{orb}(x_i)|$ + appli : théorème de Lagrange \item Prop : Relation orbite-stabilisateur + appli : nombre de matrice de rang $r$ \fbox{DEV1} \end{itemize} 3) Double comptage et théorie des groupes \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Double comptage : $A,B$ sont finis, $P$ est un propriété sur $A\times B$. Alors $|\{(x,y) \in A \times B | (x,y) \text{ vérifie } P \}| = \sum\limits_{y \in B} |\{x \in A |(x,y) \text{ vérifie } P \}| = \sum\limits_{x \in A} |\{y \in B | (x,y) \text{ vérifie } P \}|$ \item Appli : Démonstration du théorème de Burnside \item Appli de Burnside : Nombre de coloriage du cube \end{itemize} \medskip III/Utilisation des séries génératrices \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'une série génératrice / série génératrice exponentielle \item Appli : Nombres d'involutions de $\llbracket 1,n \rrbracket$ \item Appli : Nombres de Catalan [\hyperref[bib]{Cormen} p 264] \item Appli : Nombres de Bell \fbox{DEV2} \end{itemize} \medskip IV/Fonctions arithmétiques [\hyperref[bib]{Per}] 1) Fonction d'Euler \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition de l'indicatrice d'Euler $\varphi$ + expression pour une puissance d'une nombre premier \item Prop : $\varphi(n) = |\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}^*| = |\text{générateurs de } \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}|$ \item Prop : Multiplicativité de $\varphi$ + expression de $\varphi(n)$ \item Prop : $\varphi(n)= \sum\limits_{d|n} \varphi(d)$ + csqc : cyclicité du groupe des inversibles d'un corps fini \end{itemize} 2) Fonction de Moebius \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition de la fonction de Moebius $\mu$ \item Prop : Toutes celles qui permettent de montrer la \item Prop : Formule d'inversion de Moebius \item Appli : Calcul du nombre de polynômes irréductibles sur $\mathbb{F}_q$ [\hyperref[bib]{FG}] \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} De Biasi [\hyperref[bib]{dB}], Ulmer [\hyperref[bib]{Ulm}] (pour la théorie des groupes), Cormen [\hyperref[bib]{Cor}], Perrin [\hyperref[bib]{Per}], [\hyperref[bib]{FG}], XENS algèbre 1 [\hyperref[bib]{FGNal1}] (pour le dev), [\hyperref[bib]{H2G2}] \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item[\textbullet] Nombres de Bell [\hyperref[bib]{FGNal1} p 14] \item[\textbullet] Nombre de matrices de rang $r$ [\hyperref[bib]{H2G2} p 251] \end{itemize} \newpage \section*{203. Utilisation de la notion de compacité.} \textbf{Plan :} Cadre : On se place dans un espace $E$ qui est au moins métrique (sinon les deux définitions de la compacité ne sont plus équivalentes) \medskip I/Généralités [\hyperref[bib]{GouAn}] 1) Version Borel-Lebesgue [\hyperref[bib]{GouAn} p 27-28] \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition de la compacité via Borel-Lebesgue + ex \item Prop : Une union finie ou une intersection quelconque de compacts reste compacte \end{itemize} 2) Version Bolzano Weierstrass \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition de la compacité séquentielle (= Bolzano-Weierstrass) \item Csqc : Les compacts de $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^n$ et $\mathbb{C}^n$ sont les fermés bornés \item Prop : $E$ est séquentiellement compact ssi il est compact selon Borel-Lebesgue (cad les deux définitions sont équivalentes) \end{itemize} 3) Quelques propriétés \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Un compact est fermé borné. Réciproque fausse en général \item Prop : Si $A$ est une partie fermée du compact $E$ alors $A$ est compact \item Prop : Une partie compacte est complète \item Prop : Tout intervalle de $\mathbb{R}$ est union croissante de compacts \item Appli : Une démonstration du théorème de Cauchy-Lipschitz \fbox{DEV1} \end{itemize} \medskip II/Compacité et fonctions continues 1) Extremums \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item prop : Si $f$ est continue, l'image d'un compact par $f$ est compacte \item Csqc : Si $f$ est continue sur un compact, elle est bornée et atteint ses bornes \item Appli 1 : Théorème de Rolle puis celui des accroissements finis \item Appli 2 : Equivalence des normes en dimension finie + csqc : en dimension finie, les fermés bornés sont les compacts + rq : théorème de Riesz : $\mathrm{dim}(E) < \infty$ ssi la boule unité fermée est compacte \item Appli 3 : Ellipsoïde de John-Loewner \fbox{DEV2} \item Définition d'une fonction coercive \item Prop : Une fonction continue et coercive est minorée et atteint sa borne inf \item Appli : Théorème de d'Alembert \end{itemize} 2) Utilisation de la compacité dans le calcul de limites \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Théorème de Heine = si $f$ est continue sur un compact elle y est uniformément continue \item Appli 1 : Densité des polynômes dans les fonctions continues sur un compact par les polynômes de Bernstein \item Appli 2 : Sommes de Riemann pour le calcul approché d'intégrales \end{itemize} 3) Théorèmes de points fixes [\hyperref[bib]{Rou}] \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Un théorème de point fixe lorsque $E$ est compact \item Th : Point fixe de Brouwer \end{itemize} \bigskip \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item On peut aussi parler d'uniforme équicontinuité, d'Ascoli + application au théorème de Montel \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} Gourdon analyse [\hyperref[bib]{GouAn}], XENs algèbre 3 [\hyperref[bib]{FGNal3}], Rouvière [\hyperref[bib]{Rou}], Testard [\hyperref[bib]{Tes}] \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Ellipsoïde de John-Loewner [\hyperref[bib]{FGNal3} p 229] \item Théorème de Cauchy-Lipschitz [\hyperref[bib]{Rou} p 180] \end{itemize} \newpage \section*{208. Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.} \textbf{Plan :} \medskip Cadre : $E$ est un $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ espace vectoriel \medskip I/Généralités 1) Normes \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'une norme et d'un espace vectoriel normé (= evn) + ex : les normes p sur $\mathbb{C}^n$ ou les $L^p$ + ct-ex [\hyperref[bib]{Hau} p 318] \item Rq : Une norme donne toujours une distance : $d(x,y) = ||x-y||$ \item Prop : Toute norme est 1-lipschitzienne donc continue \item Définition de normes équivalentes + rq : cela signifie qu'elles font converger les mêmes suites et donc les mêmes fermés, bornés, compacts... \item Théorème d'équivalence des normes pour les $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ev de dimension finie \item Ct-ex : Sur $C^0([0,1],\mathbb{R})$ les normes $|| \phantom{a} ||_1$ et $|| \phantom{a} ||_{\infty}$ ne sont pas équivalentes (considérer $x \longmapsto x^n$) \end{itemize} 2) Applications linéaires \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'une application linéaire continue \item Ex : $\varphi_1 : f \in C^0([0,1],\mathbb{R}) \longmapsto f(0)$ et $\varphi_2 : f \in C^0([0,1],\mathbb{R}) \longmapsto \int_0^1 f(t) \mathrm{d}t - f(0)$ sont continues pour $|| \phantom{a} ||_{\infty}$ \item Attention : La continuité dépend des normes qu'on a choisies ! Par exemple, $\varphi_1$ n'est plus continue avec $|| \phantom{a} ||_1$ \item Définition de $L_c(E,F)$ + norme triple $||| \phantom{a} |||$ + ça donne un evn \item Ex de calcul de normes d'applications linéaires : $|||\varphi_1||| = 1$ (avec atteinte) et $|||\varphi_2||| = 2$ (sans atteinte) \item Prop : Sous multiplicativité de la norme triple + csqc : ça fait que $L_c(E)$ est une algèbre normée \end{itemize} 3) Cas de la dimension finie \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Toute application linéaire définie sur un ev de dimension finie est continue (quelle que soit la norme dessus) \item Prop : En dimension finie, les fermés bornés sont les compacts \item Th de Riesz : $(E, ||\phantom{a}||)$ est de dimension finie ssi $\overline{B}_{||\phantom{a} ||}(0,1)$ est compacte \end{itemize} \medskip II/Banachs 1) Définitions et propriétés \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition : Un Banach est un evn complet + ex : tout evn de dimension finie est un Banach + ex : les $(L^p, ||\phantom{a}||_p)$ pour $p \in [1, \infty]$ sont des Banachs + ex : $(C^0(K = \text{ compact}, \mathbb{R}^m), || \phantom{a}||_{\infty})$ est un Banach \item Appli : Cauchy-Lipschitz \fbox{DEV1} \item Prop : Si $F$ est un Banach alors $L_c(E,F)$ aussi + csqc $E'$ est donc un Banach \item Th : $E$ = Banach, $(u_n)_n \in E^{\mathbb{N}}$. Si $\sum ||u_n||_E$ converge alors $\sum u_n$ converge dans E \item Appli : Si $E$ est un Banach, $GL_c(E)$ est un ouvert de $L_c(E)$ \end{itemize} 2) Baire et applications [\hyperref[bib]{GouAn} p 397 et suivantes] \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Lemme de Baire \item Appli 1 : Théorème de l'application ouverte puis théorème d'isomorphisme de Banach \item Appli 2 : Théorème de Banach-Steinhaus + appli : si $E$ et $F$ sont des Banachs et $(f_n)_n \in L_c(E,F)$ cvs vers $f$ alors $f$ est continue + autre appli : il existe une fonction continue qui diffère de sa série de Fourier \fbox{DEV2} \end{itemize} \medskip III/Hilberts 1) Définitions \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'un espace préhilbertien + ex $l^2$ et $L^2$ \item Prop : Inégalité de Cauchy-Schwartz + csqc : le produit scalaire donne une norme \item Définition : Un Hilbert est un préhilbertien complet pour cette fameuse norme \item Définition d'éléments orthogonaux + théorème de Pythagore \item Prop : identité du parallélogramme \end{itemize} 2) Projection sur un convexe fermé \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Théorème de projection sur un convexe fermé dans un Hilbert puis cas particulier des sev fermés (de dimension finie par exemple) \item Appli 1 : Moindres carrés [\hyperref[bib]{Rou} p 385] \item Appli 2 : Théorème de représentation de Riesz + appli : existence de l'opérateur adjoint dans un Hilbert \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} Gourdon analyse [\hyperref[bib]{GouAn}], Hauchecorne [\hyperref[bib]{Hau}], [\hyperref[bib]{OA}], Rouvière [\hyperref[bib]{Rou}] \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Théorème de Cauchy-Lipschitz [\hyperref[bib]{Rou} p 180] \item Théorème de Banach-Steinhaus [\hyperref[bib]{GouAn} p 404-405] \end{itemize} \newpage \section*{214. Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.} \textbf{Plan :} \medskip Cadre : On reste en dimension finie. Prérequis : Définition d'un $C^k$-difféomorphisme \medskip I/Théorème d'inversion locale (TIL) [\hyperref[bib]{Rou}] 1) Théorème et variantes \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Théorème d'inversion locale version $C^1$ + ça donne la différentielle de l'inverse + un dessin \item Ex : $f_0 : (x,y) \longmapsto (x^2-y^2, 2xy)$ est un difféomorphisme local en tout point de $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0) \}$ \item Ct-ex : Il faut vraiment une fonction $C^1$ ; $D^1$ ne suffit pas : $f : x \longmapsto x^2 \mathrm{sin} \left( \frac{\pi}{x} \right)$ vérifie $f'(0) = 0$ et n'est pas injective \item Variantes du TIL : version $C^k$ et version holomorphe \item Théorème d'inversion globale + ct-ex : $f_0$ est un difféomorphisme local en tout point de $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0) \}$ mais pas global car pas injective \item Rq : Montrer l'injectivité revient souvent à calculer directement l'inverse (auquel cas, plus besoin du théorème) \end{itemize} 2) Applications \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Appli 1 : Racine k-ème d'une matrice proche de $I_n$ [\hyperref[bib]{OA} p 11] \item Appli 2 : Une application $C^1$ et $k$-dilatante est un $C^1$ difféomorphisme global [\hyperref[bib]{Rou} p 221] \item Appli 3 : Lemme de Morse \fbox{DEV1} + csqc : condition suffisante de minimalité [\hyperref[bib]{OA} p 15] \item Appli 4 : L'exponentielle est un difféomorphisme local au voisinage de $0 \in M_n(\mathbb{K})$. D'où surjectivité de l'exponentielle matricielle complexe \fbox{DEV2} \end{itemize} \medskip II/Théorème des fonctions implicites (TFI) 1) Théorème et variantes [\hyperref[bib]{Rou}] \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item TFI + schéma + ex avec le cercle $x^2 + y^2 - 1 =0$ \item Rq : On peut calculer la différentielle de la fonction implicite + ex avec le cercle \item Variantes du TFI : version $C^k$ et version holomorphe \item Rq : Le TIL implique le TFI et réciproquement \end{itemize} 2) Applications \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Appli : Polynôme scindé à racines simples [\hyperref[bib]{OA} p 11-12] \item Théorème des extrema liés + applis : inégalité arithmético-géométrique [\hyperref[bib]{GouAn}], inégalité de Hadamard [\hyperref[bib]{Rou} p 409] et diagonalisation des matrices symétriques [\hyperref[bib]{OA} p 21] \end{itemize} \medskip III/Sous-variétés [\hyperref[bib]{Rou}] \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'une sous-variété de dimension $k$ + ex : sphère + ct-ex : cône \item Théorème des sous-variétés + préciser ce qu'on utilise (TIL/TFI) pour le montrer \item Définition d'un vecteur tangent \item Prop : $\{\text{vecteurs tangents} \}$ est un ev + expression selon la façon dont on définit une sous variété \item Rq : Interprétation géométrique des extrema liés \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} Rouvière [\hyperref[bib]{Rou}] (principalement), Gourdon analyse [\hyperref[bib]{GouAn}] (pour extrema liés), [\hyperref[bib]{OA}] (pour les applis), Zavidovique [\hyperref[bib]{Zav}] (pour le développement) \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Lemme de Morse [\hyperref[bib]{Rou} p 354 et 209] \item Surjectivité de l'exponentielle [\hyperref[bib]{Zav} p 49] \end{itemize} \newpage \section*{215. Applications différentiables définies sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$. Exemples et applications.} \textbf{Plan :} \medskip Cadre : Les fonctions vont de $U$, ouvert de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}^p$ \medskip I/Généralités (ordre 1) 1) Différentielles [\hyperref[bib]{Rou} p 45-50] \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition de la différentielle + unicité \item Ex : Cas d'une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ + lien avec la dérivée \item Ex : Différentielle d'une fonction linéaire \item Ex : Différentielle d'une fonction de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$ et définition du gradient \item Prop : La différentiabilité en $a$ implique la continuité à $a$ \item Prop : Différentielle de la somme, produit, composée \item Appli : Calcul de la différentielle de la norme euclidienne \end{itemize} 2) Lien avec les dérivées partielles [\hyperref[bib]{Rou}] [\hyperref[bib]{Gou} p 304-313] \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Déf : Dérivée selon un vecteur + cas particulier quand on dérive selon un vecteur de la base canonique = dérivée partielle \item Prop : Différentiable implique avoir des dérivées selon tout vecteur \item Rq : la réciproque est fausse : ct ex [\hyperref[bib]{Rou} p 49] \item Prop : En revanche, si les dérivées selon tout vecteur sont continues, la fonction est différentiable \item Appli : Calcul de la différentielle du déterminant \end{itemize} \medskip II/Fonctions $C^1$ 1) Inégalité des accroissements finis (IAF) \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition : fonction $C^1$ \item Prop : IAF [\hyperref[bib]{Rou} p 104] \item Cor : $f$ est $C^1$ ssi $f$ admet des dérivées partielles continues \item Appli : Si $U$ est connexe et $Df \equiv 0$ alors $f=0$ \end{itemize} 2) TIL et TFI \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition $C^1$ difféomorphisme \item Théorème d'inversion locale \item Appli : Surjectivité de l'exponentielle \fbox{DEV1} \item Théorème d'inversion globale \item Théorème des fonctions implicites \item Ex : On peut paramétrer le cercle unité \end{itemize} \medskip III/Différentielles d'ordre supérieur 1) Définition [\hyperref[bib]{Rou} p 293-296] \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item définition différentielle seconde, hessienne + ex \item Théorème de Schwarz \item Prop : Si $f \in C^2$ alors $D^2f$ existe mais l'existence des dérivées partielles secondes n'impliquent pas que $D^2f$ existe (ct-ex) \item Définition différentielle d'ordre $k$ par récurrence \end{itemize} 2) Formule de Taylor \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item prop : Formule de Taylor avec reste intégral [\hyperref[bib]{Rou} p 298] \item Appli : Lemme de Morse \fbox{DEV2} \end{itemize} \medskip IV/Applications à l'optimisation Mettre la partie correspondante de la leçons sur les extremums \bigskip \textbf{Références :} Gourdon analyse [\hyperref[bib]{GouAn}], Rouvière [\hyperref[bib]{Rou}], [\hyperref[bib]{OA}] \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Lemme de Morse [\hyperref[bib]{Rou} p 354 et 209] \item Surjectivité de l'exponentielle [\hyperref[bib]{Zav} p 49] \end{itemize} \newpage \section*{218. Applications des formules de Taylor.} \textbf{Plan :} \medskip I/Diverses formules de Taylor 1) Pour une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ [\hyperref[bib]{GouAn} p 73-75] \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Théorème de Rolle \item Th : Formule de Taylor-Lagrange (se déduit de Rolle avec la bonne fonction) \item Rq : \c Ca redonne le théorème des accroissements finis + appli encadrement [\hyperref[bib]{GouAn} p 75] \item Th : Inégalité de Taylor-Lagrange + ex avec sinus (se déduit de la formule de Taylor-Lagrange) \item Th : Formule de Taylor-Young ( = TY) (se montre par récurrence) \item Th : Formule de Taylor avec reste intégral (= FTRI) (se montre par récurrence ; on peut en déduire l'inégalité de Taylor-Lagrange) \end{itemize} 2) Pour une fonction de $\mathbb{R}$ dans un $\mathbb{R}$ espace vectoriel de dimension $d$ \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Rq : En dimension $d$, Rolle et l'égalité des accroissements finis (donc l'égalité de Taylor-Lagrange aussi) sont faux : ct-ex = $f : t \longmapsto e^{it}$ \item Prop : L'inégalité de Taylor-Lagrange reste vraie [\hyperref[bib]{GouAn} p 73] \item Prop : TY et FTRI restent vraies aussi \end{itemize} \medskip II/Applications en analyse 1) Développements limités (dl) et équivalents \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : TY donne les dl usuels + ex \item Appli : Démonstration du théorème central limite \item Prop : L'existence d'un dl$_1$ équivaut à la dérivabilité mais ce n'est plus vrai pour les ordre supérieurs \item Prop : TY donne aussi des équivalents + appli : calcul de limites indéterminées + ex \item Appli : Théorème de Darboux \end{itemize} 2) Séries entières \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition : La série de Taylor de $f$ en $a$ est $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$ \item Rq : $f$ ne correspond pas toujours à sa série de Taylor : ct-ex avec $x \longmapsto e^{\frac{-1}{x}}$ si $x>0$ et 0 sinon \item Prop : La FTRI donne certains développements en série entière (il suffit de montrer qu le reste tend vers 0) + ex \item Théorème de Bernstein pour les séries entières +ex [\hyperref[bib]{GouAn} p 250] \end{itemize} 3) Recherche d'extremums \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Conditions nécessaires / suffisantes à l'ordre 1 ou 2 pour avoir un extremum (elles viennent de Taylor-Young) : s'inspirer de la partie correspondante de la leçon sur les extremums \item Lemme de Morse + appli extremum \fbox{DEV2} \end{itemize} \medskip III/Analyse numérique 1) Optimisation \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Newton + dessin \fbox{DEV1} \item Appli : méthode de Héron pour approximer $\sqrt{2}$ \end{itemize} 2) Calcul d'intégrales [\hyperref[bib]{De}] \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'une méthode d'ordre $n$ \item Comparaison des méthodes (avec la FTRI) rectangle à gauche, à droite, méthode des trapèzes, de Simpson pour le calcul approché d'intégrales \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} Gourdon analyse [\hyperref[bib]{GouAn}], Rouvière [\hyperref[bib]{Rou}], [\hyperref[bib]{OA}], Demailly [\hyperref[bib]{De}] \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Lemme de Morse [\hyperref[bib]{Rou} p 354 et 209] \item Méthode de Newton [\hyperref[bib]{Rou} p 152] \end{itemize} \newpage \section*{219. Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.} \textbf{Plan :} \medskip I/Définitions et cadre de travail [\hyperref[bib]{Rou}] \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Cadre : $E$ est un $\mathbb{R}$ espace vectoriel de dimension finie muni de la norme euclidienne ; $U \subset E$ ; $f : U \longmapsto \mathbb{R}$ \item Définitions : Minimum global, local, strict (global ou local) + rq : pareil pour les max \item Ex : Sinus admet un minimum global non strict (qui est un minimum local strict) en $\frac{-\pi}{2}$ \end{itemize} \medskip II/Compacité et existence d'extremums [\hyperref[bib]{Tes} p 44-48] \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Si $f$ est continue sur un compact, elle est bornée et atteint ses bornes \item Ex : La norme $N : (\mathbb{R}^n, ||\phantom{a}||_{\infty} \longmapsto \mathbb{R}$ est continue sur le compact $S_{\infty}(0,1)$ donc y atteint son minimum \item Appli : Equivalence des normes pour les $\mathbb{R}$ espaces vectoriels de dimension finie \item Déf : Fonction coercive + cas où $U = E$ \item Prop : Si $f$ est continue et coercive, elle est minorée et atteint son min \item Ex : $(x,y) \longmapsto x^2+y^2$ est continue et coercive. Et, en effet, elle admet un min en $(0,0)$ \item Appli : Théorème de d'Alembert \end{itemize} \medskip III/Extremums et calcul différentiel Ici, $U$ est un ouvert 1) Ordre 1 \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'un point critique \item Prop : Si y a un extremum local en $a$, il y a un point critique en $a$ \item Rq : La condition précédente est nécessaire mais pas suffisante : $\left\{ \begin{array}{lll} ]-1,1[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & x^3 \\ \end{array} \right. $ vérifie $Df(0) = 0$ mais $0$ n'est pas un extremum de cette fonction \item Appli : Théorème de Rolle puis des accroissements finis \end{itemize} 2) Ordre 2 \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Si $a$ est un minimum local et $D^2f(a)$ existe, alors $Df(a) = 0$ et $D^2f(a)$ est une forme quadratique positive \item Ex : $(x,y) \longmapsto x^2+y^4$ a un minimum local en $(0,0)$ et en effet, $Df(0,0) = 0$ et $D^2f(0,0) = \begin{pmatrix} 2&0 \\ 0&0 \\ \end{pmatrix}$ est positive \item Ct-ex : Ce n'est pas suffisant pour avoir un minimum : $(x,y) \longmapsto x^2 - y^3$ admet $(0,0)$ comme point critique et $D^2f(0,0) = \begin{pmatrix} 2&0 \\ 0&0 \\ \end{pmatrix}$ est positive mais $(0,0)$ n'est pas un minimum local \item Prop : Si $Df(a) = 0$ et $D^2f(a)$ est \textit{définie} positive alors $f$ admet un minimum local strict en $a$ \item Ex : $(x,y) \longmapsto x^2 - y^2 + \frac{y^4}{4}$ vérifie ces hypothèses en $(0, \sqrt{2})$ qui est donc un minimum local strict \item Ct-ex : Ce n'est pas nécessaire pour avoir un minimum : $(x,y) \longmapsto x^2 + y^4$ admet un minimum local strict en $(0,0)$ sans que $D^2f(0,0)$ ne soit définie \item Rq : Cas de dimension 2 [\hyperref[bib]{GouAn} p 317] \item Appli : Maximum harmonique [\hyperref[bib]{GouAn} p 318] \end{itemize} 3) Problèmes sous contraintes \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Théorème des extrema liés + interprétation géométrique \item Applis : Inégalité arithmético-géométrique + diagonalisation des endomorphismes symétriques \end{itemize} \medskip IV/Extremums et convexité Ici, $U$ est convexe et non vide \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'une fonction (strictement) convexe + ex \item Prop : Si $f$ est convexe et que $U$ est ouvert, si $a$ est un max global de $f$ alors $f$ est constante \item Prop : Si $f$ est convexe et que $U$ est ouvert, si $a$ est un min local de $f$ alors $a$ est un min global \item Prop : Si $f$ est convexe et différentiable, ($a$ est un extremum local) ssi ($Df(a) = 0$) \item Ex : exp n'a pas de min (ni local, ni global) \item Th : Si $f$ est strictement convexe et a un minimum alors il est unique \item Appli : Ellipsoïde de John-Loewner \fbox{DEV1} \item Théorème de projection sur un convexe fermé + appli : moindres carré [\hyperref[bib]{Rou} p 384] \end{itemize} \medskip V/Deux algos de recherche \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Algo de Newton \fbox{DEV2} + dessin \item Cor : Si $f \in C^3$ est strictement convexe, on peut appliquer Newton à $f'$ pour connaître les points critiques \item Algo : Gradient à pas optimal + dessin [\hyperref[bib]{HU} p 53] \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} Testard [\hyperref[bib]{Tes}], Gourdon analyse [\hyperref[bib]{GouAn}], Rouvière [\hyperref[bib]{Rou}], [\hyperref[bib]{OA}] (pour les exs et ct-exs), [\hyperref[bib]{HU}], XENS algèbre 3 [\hyperref[bib]{FGNal3}] \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Ellipsoïde de John-Loewner [\hyperref[bib]{FGNal3} p 229] \item Méthode de Newton [\hyperref[bib]{Rou} p 152] \end{itemize} \newpage \section*{220. Equations différentielles $X' = f(X,t)$. Exemples d'étude des solutions en dimension 1 et 2.} \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Théorème de Cauchy-Lipschitz [\hyperref[bib]{Rou} p 180] \item Liapunov [\hyperref[bib]{Rou} p 143] \end{itemize} \bigskip \section*{221. Equations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.} \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Equation de Bessel [\hyperref[bib]{FGNan4} p 101] \item Liapunov [\hyperref[bib]{Rou} p 143] \end{itemize} \newpage \section*{223. Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.} \textbf{Plan :} \medskip Intro : Une suite numérique est à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Dans la suite on considère qu'elles sont à valeurs dans $\mathbb{R}$ mais les résultats s'adaptent. \medskip I/Convergence : définitions 1) Définitions \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition de la convergence (vers une limite finie) + unicité quand elle existe + notation + ex \item Prop : Caractérisation séquentielle de la continuité d'une fonction \item Définition de la divergence vers $\pm \infty$ + notation \item Rq : On dit qu'une suite diverge si elle tend vers $\pm \infty$ ou n'a pas de limite \item Définition de $O$, $o$, $\sim$ à l'aide des limites \end{itemize} 2) Premières propriétés \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Compatibilité de la limite avec plus, fois, inégalités \item Prop : Converger implique être bornée + pas de réciproque (penser à $(-1)^n$) \item Prop : Si $u$ est majorée et croît ou est minorée et décroît elle converge + ce n'est pas nécessaire : $\frac{(-1)^n}{n} \rightarrow 0$ mais n'est pas monotone \end{itemize} 3) Valeurs d'adhérence \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'une sous suite, d'une valeur d'adhérence (comme $\{l \in \overline{\mathbb{R}} | \exists \varphi \text{ strictement croissante telle que } u_{\varphi(n)} \rightarrow l \}$) \item Prop : $\mathrm{Adh}(u) = \bigcap\limits_{N \in \mathbb{N}} \overline{\{u_n|n \geq N \}}$. D'où $\mathrm{Adh}(u)$ est fermée \item Prop : Si $u$ converge, elle admet une valeur d'adhérence (sa limite) + Si $u$ a au moins deux valeurs d'adhérence, $u$ diverge + ex : $\left( \mathrm{cos}(\frac{n \pi}{2}) \right)$ \item Théorème de Bolzano-Weierstrass \item Prop : Si une suite admet une unique valeur d'adhérence dans $\overline{\mathbb{R}}$ elle converge dans $\overline{\mathbb{R}}$ \end{itemize} 4) Limites inférieure et supérieure \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition limsup et liminf \item Prop : La limsup (resp liminf) de $u$ est la plus grande (resp petite) valeur d'adhérence de $u$ \item Prop : Si limsup $u$ = liminf $u$ alors $u$ converge \end{itemize} \medskip II/Convergence : suites particulières \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition de suites adjacentes \item Prop : Deux suites adjacentes convergent vers la même limite \item Appli : TVI, approximation décimale, critère de convergence des séries alternées \item Théorème des gendarmes \item Appli : Comparaison série-intégrale + ex avec les séries de Riemann \item Définition suite de Cauchy \item prop : Dans notre contexte, être de Cauchy équivaut à converger \item Appli : Les séries absolument convergentes convergent \end{itemize} \medskip III/Suites récurrentes \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'une suite récurrente d'ordre $k$ \item Ex : Cas linéaire à coefficients constants + Fibonacci \item Cadre : $I$ est un intervalle fermé, $f : I \longrightarrow I$, $u_0 \in I$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ \item Prop : Si $f$ est croissante, $(u_n)$ est monotone ; si $f$ est décroissante, $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont monotones de sens contraire \item Prop : Si $(u_n)$ converge vers $l$, $l$ est un point fixe de $f$ + ct-ex : $x \longmapsto -x$ a un point fixe sans que $u_{n+1} = -u_n$ ne converge \item Prop : Théorèmes de points fixe \item Appli : Méthode de Newton \fbox{DEV1} \end{itemize} \medskip IV/Comportement asymptotique de suites / séries \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Sommation des relations de comparaison + ct-ex quand les termes généraux ne sont pas positifs : $\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \sim \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}$ mais l'une des séries converge et pas l'autre \item Appli : Stirling ou développement de la série harmonique \item Appli : Lemme de Cesàro \item Appli de Cesàro : Suite à convergence lente \fbox{DEV2} \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} Gourdon analyse [\hyperref[bib]{GouAn}], El Amrani [\hyperref[bib]{ElA}], XENS analyse 1 [\hyperref[bib]{FGNan1}] \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Méthode de Newton [\hyperref[bib]{Rou} p 152] \item Convergence lente [\hyperref[bib]{FGNan1} p 99] \end{itemize} \newpage \section*{224. Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.} \textbf{Idée de défense de plan :} Un développement asymptotique c'est utile en physique par exemple pour calculer le potentiel créé par un dipôle électrostatique (loin des sources). Pour motiver les échelle de comparaison on peut souligner le fait qu'elles permettent de réduire des fonctions compliquées à des combinaisons linéaires de fonctions modèles plus simples. \medskip \textbf{Plan :} \medskip Cadre de la plupart des parties : $f$ est définie sur un intervalle $I$ différent d'un point à valeurs dans $\mathbb{R}$, $a \in \overline{I}$ et $n \in \mathbb{N}$ \medskip I/Notations [\hyperref[bib]{GouAn} p86] \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition et notation $O$, $o$, $\sim$ + rq : $f = O(g)$ est une écriture impropre \item Rq : Quand $f$ ne s'annule pas, on peut exprimer $O$, $o$ et $\sim$ par le caractère borné ou la limite de $\frac{g}{f}$ \end{itemize} \medskip II/Développements asymptotiques de fonction [\hyperref[bib]{GouAn} p 86 et suivantes] 1) Développements asymptotiques \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'une échelle de comparaison + exs classiques \item Définition d'un développement asymptotique (DA) par rapport à une échelle de comparaison \item Prop : Unicité du DA + ex du DA de $x^{\frac{1}{x}}$ \end{itemize} 2) Développements limités \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'un $DL_n(a)$ \item Rq : On peut faire un changement de variable dans un DL du coup on ne donne que ceux en 0 \item Rq : Un DL est un DA avec l'échelle de comparaison $(x^n)_n$ d'où l'unicité du $DL_n(a)$ \item Prop : Taylor-Young (la régularité donne des DL) + ex DL de exp ou de $(1+x)^{\alpha}$ \item Appli 1 : Calcul de limites indéterminées \item Appli 2 : Démonstration du théorème central limite \item Prop : ("réciproque" de Taylor-Young) : $f$ est continue (resp dérivable) en $a$ ssi $f$ admet un $DL_0(a)$ (resp $DL_1(a)$) mais ça devient faux pour $n \geq 2$ + ct-ex \end{itemize} 3) Opérations sur les DL \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : DL d'une somme + ex : DL de ch et sh : DL d'un produit \item Prop : DL d'une composée + appli : Dl d'un quotient \end{itemize} \medskip III/Développements asymptotiques et intégration 1) Intégration d'un DL \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Intégration d'un $DL_n(a)$ \item Appli : Calcul du DL(0) de $ln(1+x)$ et de $\mathrm{arctan}(x)$ \end{itemize} 2) Intégration des relations de comparaison \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Intégration des relations de comparaison [\hyperref[bib]{GouAn} p 159] \item Ex : On retrouve $ln(x) = o(x^{\alpha})$ en $\infty$ pour $\alpha > 0$ \item Appli : DA du logarithme intégral [\hyperref[bib]{GouAn} p 169] \end{itemize} \medskip IV/Développements asymptotiques de suites et de de séries 1) Suites récurrentes \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Théorème de Cesàro \item Appli : Converge lente \fbox{DEV1} + ex avec sinus \item Appli : Méthode de Newton \fbox{DEV2} \end{itemize} 2) Sommation des relations de comparaison \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Sommation des relations de comparaison \item Attention les termes généraux doivent être positifs + ct-ex [\hyperref[bib]{Hau}] \item Appli : $H_n \sim ln(n)$ en $+\infty$ \end{itemize} 3) Comparaison série-intégrale \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Comparaison série-intégrale \item Appli : Etude des séries de Bertrand \item Appli : Equivalent des sommes de Riemann, d'où le développement asymptotique de $H_n$ (série harmonique) \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} Gourdon analyse [\hyperref[bib]{GouAn}], Rouvière [\hyperref[bib]{Rou}], Hauchecorne [\hyperref[bib]{Hau}] (pour le ct-exs), XENS analyse 1 [\hyperref[bib]{FGNan1}] \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Méthode de Newton [\hyperref[bib]{Rou} p 152] \item Converge lente [\hyperref[bib]{FGNan1} p 99] \end{itemize} \newpage \section*{226. Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.} \textbf{Plan :} \medskip Cadre : $(E, ||\phantom{a}||)$ est un evn de dimension finie, $f : I \longrightarrow E$ tel que $f(I) \subset I$, $u_0 \in I$ et $\forall n \geq 0, u_{n+1} = f(u_n)$ \medskip I/Généralités : l'étude de $f$ donne des infos sur $(u_n)$ 1) Monotonie et convergence \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Si $f$ est croissante, $(u_n)$ est monotone +ex \item Prop : Si $f$ est décroissante, $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont monotones de sens contraire +ex \item Si $(u_n)$ converge vers $l$ et $f$ est continue, $l$ est un point fixe de $u$ + csqc : si $f$ est continue, $u$ ne peut converger que vers un point fixe \item Ex d'étude : [\hyperref[bib]{GouAn} p 194] \end{itemize} 2) Suites particulières \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Cas des suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques \item Cas des suites homographiques \item Cas des suites récurrentes à coeffs constants + ex Fibonacci \end{itemize} \medskip II/Points fixes et limites 1) Théorème de point fixe \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Théorème de point fixe \item Attention, il faut bien toutes les hypothèses [\hyperref[bib]{Rou}] \item Variantes du théorème du point fixe lorsque $f^p$ est contractante ou lorsqu'elle contracte strictement les distances et qu'on est sur un compact à la place d'un complet + ex \item Rq : pour aller plus loin que la convergence : Suite à convergence lente \fbox{DEV1} \end{itemize} 2) Classification des points fixes [\hyperref[bib]{De} p 95-97 et 106-109] \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Déf : Points fixes attractifs, super attractifs, répulsifs + dessins dans le cas $E = \mathbb{R}$ \item Déf : Rayon spectral + point fixe attractif lorsque $E = \mathbb{R}^n$ \end{itemize} \medskip III/Résolution approchée de systèmes 1) Systèmes linéaires [\hyperref[bib]{Cia}] \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'une méthode itérative \item Théorème : Une méthode itérative converge ssi le rayon spectral d'une certaine matrice est < 1 \item Exs : Méthodes de Jacobi, Gauss-Siedel, de relaxation \end{itemize} 2) Systèmes non linéaires \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Méthode de dichotomie \item Méthode de Newton + dessin \fbox{DEV2} \item Rq : On peut lui préférer la méthode de la sécante quand la dérivée de la fonction considérée est dure à calculer \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} Gourdon analyse [\hyperref[bib]{GouAn}], Demailly [\hyperref[bib]{De}], Rouvière [\hyperref[bib]{Rou}], Ciarlet [\hyperref[bib]{Cia}], XENS analyse 1 [\hyperref[bib]{FGNan1}] \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Méthode de Newton [\hyperref[bib]{Rou} p 152] \item Converge lente [\hyperref[bib]{FGNan1} p 99] \end{itemize} \newpage \section*{228. Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et applications.} \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Polynômes de Bernstein [\hyperref[bib]{BL} p 59] \item Un calcul de l'intégral de Gauss [\hyperref[bib]{GouAn} p 163] \end{itemize} \bigskip \section*{229. Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.} \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Méthode de Newton [\hyperref[bib]{Rou} p 152] \item Ellipsoïde de John-Loewner [\hyperref[bib]{FGNal3} p229] \end{itemize} \newpage \section*{230. Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des suites numériques. Exemples.} \textbf{Plan :} \medskip I/Vocabulaire 1) Convergence \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Défs : terme général (= TG) de série, série, série convergente et dans ce cas définition du reste \item Ex : Série géométrique : selon sa raison elle converge (et dans ce cas on donne sa somme) ou non \item Prop : Si $\sum u_n$ converge, le reste tend vers 0 et $(u_n$ aussi + réciproque fausse avec le ct-ex de la série harmonique \item Rq : Ce fait peut permettre de montrer la convergence vers 0 de certaines suites \end{itemize} 2) Absolue convergence \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'une suite absolument convergente \item Prop : L'absolue convergence implique la convergence + la réciproque est faussu (ct-ex avec la série harmonique alternée) \end{itemize} \medskip II/Convergence des séries à TG positif 1) Convergence \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'un TG positif (= ultimement positif) + ex : $u_0 = -2$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2^n}$ est un TG positif \item Prop : Comparaison : $0 \leq u_n \leq v_n$ et $\sum v_n$ converge implique $\sum u_n$ converge + ct-ex quand les termes ne sont pas positifs \item Appli : Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \rightarrow l <1$ alors $\sum u_n$ converge et si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \rightarrow l >1$, $\sum u_n$ diverge (comparaison avec une série géométrique) \end{itemize} 2) Comparaison série-intégrale \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Comparaison série-intégrale + encadrement du reste dans le cas convergent \item Rq : Attention, cet encadrement ne donne pas forcément un équivalent du reste (considérer $x \longmapsto e^{-x^2}$ \item Appli : Etude des séries de Riemann et de Bertrand (+ ici on peut déduire un équivalent des restes avec la comparaison série-intégrale) \item Appli : Régle $(n^{\alpha}u_n)$ \end{itemize} \medskip III/Comparaison et TG positifs 1) Comparaison \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Théorème de comparaison \item Appli : Théorème de Cesàro \item Appli : Calcul d'un équivalent de $u$ avec $u_{n+1} = \mathrm{sin}(u_n)$ en cherchant $\alpha$ tel que $(u_{n+1}^{\alpha} - u_n^{\alpha})$ converge + généralisation : th de convergence lente \end{itemize} 2) Le point de vue des séries \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Méthode : Pour montrer que $(u_n)$ converge, montrer que $u_{n+1} - u_n$ est un TG de série convergente \item Appli : $H_n = ln(n) + \gamma + o(1)$ + on peut continuer ce développement asymptotique \item Appli : Une démonstration de la formule de Stirling \end{itemize} \medskip IV/Convergence pour un TG quelconque 1) Montrer une convergence \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item On peut observer $|u_n|$ et lui appliquer toute la partie précédente \item définition d'une série alternée \item Prop : Critère spécial pour les séries alternées \item Ex : \c Ca marche pour $\frac{(-1)^n}{n}$ + ct-ex \item Généralisation : critère d'Abel + appli : $\sum \frac{\mathrm{sin}(nx)}{n}$ converge \end{itemize} 2) Produit de Cauchy \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition produit de Cauchy \item Prop : Si $u, v \in l^1$, le produit de Cauchy de $u$ et $v$ appartient à $l^1$ et on a égalité des sommes \item Appli : $e^{z+z'} = e^z \times e^{z'}$ \end{itemize} \medskip V/Séries de Fourier, séries entières 1) Séries entières \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'un SE, rayon de convergence \item Prop : Unicité du DES, caractère $C^{\infty}$ de la somme sur le disque ouvert de convergence \item Appli : Nombres de Bell \fbox{DEV1} \end{itemize} 2) Séries de Fourier \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition coeffs et série de Fourier \item Prop :formule de Parseval + appli : calcul de $\zeta(2)$ \item Prop : Formule de Poisson + appli \fbox{DEV2} \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} Gourdon analyse [\hyperref[bib]{GouAn}], XENS algèbre 1 [\hyperref[bib]{FGNal1}], El Amrani [\hyperref[bib]{ElA}] (surtout) \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Nombres de Bell [\hyperref[bib]{FGNal1} p 14] \item Formule sommatoire de Poisson [\hyperref[bib]{GouAn} p 272 et 164] \end{itemize} \newpage \section*{233. Méthodes itératives en analyse numérique matricielle} \textbf{Idée de défense de plan} : Pourquoi peut on préférer les méthodes itératives aux méthodes exactes ? Un : si on a un gros système linéaire, on va faire beaucoup d'opérations donc potentiellement beaucoup d'erreurs. Deux : les méthodes exactes exigent parfois des calculs exacts ce qui est impossible à faire informatiquement. \medskip \textbf{Plan :} \medskip I/Outils 1) Normes matricielles \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item définition d'une norme matricielle (= sous multiplicative) + rq pour une telle norme, $||A^k|| \leq ||A||^k$ ce qui permet d'établir des convergences \item Définition d'une norme subordonnée + prop : elles sont matricielles \item Ex : $|||A|||_1 = \max\limits_{j} \sum\limits_{i} |a_{i,j}|$ \end{itemize} 2) Rayon spectral \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition du rayon spectral d'une matrice $\rho$ \item Ex : Le rayon spectral d'une matrice orthogonale vaut 1 \item Th : Pour tout norme matricielle $|||\phantom{a}|||$, $\rho(A) \leq |||A|||$ et $\forall \varepsilon > 0$, il existe une norme subordonnée $|||\phantom{a}|||$ telle que $|||A||| \leq \rho(A) + \varepsilon$ \fbox{DEV1} \item Th : Conditions de convergence : $A^k \rightarrow 0$ ssi $\rho(A) < 1$ ssi $\exists ||\phantom{a}||$ tel que $||A|| < 1$ \end{itemize} 3) Conditionnement \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Ex : [\hyperref[bib]{Cia} p 27] : Une petite erreur peut se répercuter beaucoup \item Définition du conditionnement + ex : $\mathrm{cond}_2(O \in O_n(\mathbb{R})) = 1$ + prop de base \item Th : Les deux théorèmes reliant erreur relative et conditionnement [\hyperref[bib]{Cia} p 28-29] \item Interprétation : Un conditionnement petit c'est bien car ça permet de ne pas amplifier les erreurs \item Rq : ($\mathrm{cond}_2(O \in O_n(\mathbb{R})) = 1$ + sous multiplicativité + interprétation) $\Rightarrow $ les changements de base orthogonaux n'amplifient pas les erreurs ! \end{itemize} \medskip II/Résolution de systèmes linéaires Cadre : $A \in GL_n(\mathbb{K})$. On veut résoudre $Ax = b$. Dessin de la décomposition E/D/F de $A$. On décompose $A = M-N$ avec $M$ inversible 1) Description et théorème de convergence \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'une méthode itérative, de la matrice d'itération (= $M^{-1}N$), du fait qu'une méthode itérative converge \item Th : La méthode est convergente ssi $\rho(M^{-1}N) <1$ \fbox{DEV1} \item Co : Si $A$ est hermitienne définie positive et $M^* + N$ aussi, la méthode converge \end{itemize} 2) Exemples de méthodes itératives \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition : Méthode de Jacobi + matrice d'itération = J \item Prop : Si $A$ est à diagonale strictement dominante, la méthode de Jacobi converge + ex \item Définiton : Méthode de Gauss-Siedel (= GS) + matrice d'itération = $L_1$ + rq : c'est un cas particulier de la méthode de relaxation \item Prop : Si $A$ est tridiagonale, $\rho(L_1) = \rho(J)^2$ donc Jacobi converge dès que GS converge et GS est meilleure \item Définitin : Méthode de relaxation + matrice d'itération = $L_{\omega}$ \item Prop : Si la relaxation converge, $\omega \in]0,2[$ et c'est même une équivalence si $A \in H_n^{++}$ \item Ex : La matrice du Laplacien discret est hermitienne définie positive donc fait converger toutes les méthodes \item Rq : Le but avec la relaxation, c'est de trouver le $\omega$ optimal (celui pour lequel $\rho(L_{\omega})$ est le plus petit possible) \item Méthode de Kaczmarz \fbox{DEV2} \end{itemize} 3) Méthodes variationnelles [\hyperref[bib]{HU}] Ici, $A \in S_n^{++}(\mathbb{R})$ \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Gradient à pas fixe \item Gradient à pas optimal + dessin \end{itemize} \medskip III/Recherche de valeurs propres \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item On recherche les valeurs propres dans $D(0,|||A|||)$ où $|||\phantom{a}|||$ est subordonnée \item Prop : On recherche les valeurs propres dans les disques de Gershgörin \item Méthode de la puissance pour la recherche de valeurs propres \item Rq : On applique cette méthode à $A^{-1}$ pour avoir la plus petite valeur propre de $A$ \item Rq : On applique cette méthode à $A-\alpha I_n$ pour avoir les autres \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} Ciarlet [\hyperref[bib]{Cia}] (principalement), [\hyperref[bib]{HU}] \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Méthode de Kaczmarz [Sans ref, trouvé sur le site de Théo Pierron] \item Convergence des méthodes itératives [\hyperref[bib]{Cia} p 96] \end{itemize} \newpage \section*{236. Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.} \textbf{Plan :} \medskip I/Méthodes directes 1) Par connaissance d'une primitive \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition primitive + ex \item Ex : Calcul d'intégrale d'une fraction rationnelle = décomposition en éléments simples \item Ex : Calcul d'intégrale en sinus et cosinus = linéariser \end{itemize} 2) Intégration par parties \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Th : Intégration partie \item Ex : Calcul d'une intégrale dont l'intégrande est le produit d'une exponentielle et d'un polynôme \item Appli : Calcul de la formule de récurrence pour les intégrales de Wallis + csqc : $\Gamma(n+1) = n \Gamma(n)$ \end{itemize} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Théorème de Fubini + appli : dans la partie suivante \end{itemize} 3) Changement de variables \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Changement de variables (cas à une variable puis à plusieurs variables) \item Ex : Changement de coordonnées polaire / sphérique \item Appli : Un calcul de l'intégrale de Gauss + volume de la boule euclidienne dans $\mathbb{R}^n$ [\hyperref[bib]{BP} p 246] \end{itemize} \medskip II/Méthodes utilisant une convergence 1) Convergence uniforme sur un compact \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Si $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur le compact $[a,b]$ alors $\int_a^b f(t) \mathrm{d}t = \mathrm{lim} \int_a^b f_n(t) \mathrm{d}t$ \item Appli 1 : Sommes de Riemann [\hyperref[bib]{GouAn} p 124] + calcul de sommes [\hyperref[bib]{GouAn} p 129] \item Appli 2 : Formule sommatoire de Poisson + appli \fbox{DEV1} \end{itemize} 2) Convergence dominée \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Théorème de convergence dominée [\hyperref[bib]{BP} p 134] ou [\hyperref[bib]{GouAn} pour une version plus facile] \item Ex : Calcul de l'intégrale de Fresnel \item Csqc : Inversion somme et intégrale sous hypothèses \end{itemize} \medskip 3) Passage par les fonctions définies par une intégrale à paramètre \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Théorème de continuité / dérivabilité d'une fonction définie par une intégrale à paramètre \item Appli : Un autre calcul de l'intégrale de Gauss \fbox{DEV2} \item Appli : Calcul de $\int_0^{\infty} \frac{\mathrm{sin}(xt)}{t} e^{-t} \mathrm{d}t$ [\hyperref[bib]{GouAn}] \end{itemize} III/Calcul approché \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition de l'ordre d'une méthode d'approximation \item Méthode des rectangles, des trapèzes... + comparaison \item Méthode de Monte Carlo \end{itemize} \medskip On peut aussi parler de l'utilisation de l'analyse complexe, mentionner le théorème des résidus qui permet de calculer pas mal de types d'intégrales. \bigskip \textbf{Références :} Gourdon analyse [\hyperref[bib]{GouAn}], [\hyperref[bib]{BP}], Demailly [\hyperref[bib]{De}] \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Un calcul de l'intégrale de Gauss [\hyperref[bib]{GouAn} p 163] \item Formule sommatoire de Poisson [\hyperref[bib]{GouAn} p 272 et 164] \end{itemize} \newpage \section*{239. Fonctions définies par une intégrale dépendant paramètre. Exemples et applications.} \textbf{Plan :} \medskip I/Régularité [\hyperref[bib]{ZQ}] 1) Continuité \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Th : Continuité sous l'intégrale \item Ex : La fonction $\Gamma$ d'Euler est continue \item Ct-ex : $x \longmapsto \in_0^{+\infty} x e^{-xt} \mathrm{d}t$ n'est pas continue en 0 alors que l'intégrande l'est (il manque la domination) + ct-ex quand il manque la continuité [\hyperref[bib]{Hau}] \end{itemize} 2) Régularité d'ordre supérieure \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Th : Dérivabilité sous l'intégrale + extension à $C^k$ sous l'intégrale \item Ex : $\Gamma$ est de classe $C^{\infty}$ \item Appli : Un calcul de l'intégrale de Gauss \fbox{DEV1} \end{itemize} \medskip II/Convolution 1) Définition + props \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition de la convolution (cas $L^1$) + commutativité \item Prop : Comportement de la convolution para rapport aux normes p \item prop : Comportement de la convolution par rapport à la dérivation \item Appli : Régularisation de $f$ en convolant avec une fonction $C^{\infty}$ à support compact (+ ex d'une telle fonction) \end{itemize} 2) Approximation de l'unité \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'une approximation de l'unité + ex \item Prop : Construction approximation de l'unité \item Appli : Densité des fonctions $C^{\infty}$ à support compact dans $L^p$ (pour $1 \leq p < \infty$ (résultat difficile et faux pour $p = \infty$) \end{itemize} \medskip III/Deux intégrales à paramètre célèbres (qui sont en fait les mêmes) 1) Transformation de Fourier \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition de la transformation de Fourier (TF) + TF de la gaussienne \item Prop : La TF est continue, linéaire, tend vers 0 à l'infini \item Prop : Lien dérivation et TF / convolution et TF \item Prop : Injectivité et inversion de Fourier \item Appli : Formule de Poisson + appli \fbox{DEV2} \end{itemize} 2) Fonction caractéristique \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition de la fonction caractéristique \item Prop : Elle caractérise la loi d'une variable aléatoire \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} [\hyperref[bib]{OA}], [\hyperref[bib]{ZQ}], Gourdon analyse [\hyperref[bib]{GouAn}], Hauchecorne [\hyperref[bib]{Hau}] \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Un calcul de l'intégrale de Gauss [\hyperref[bib]{GouAn} p 163] \item Formule sommatoire de Poisson [\hyperref[bib]{GouAn} p 272 et 164] \end{itemize} \newpage \section*{243. Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.} \textbf{Plan :} \medskip Cadre : Les coefficients ici considérés sont a priori complexes même si on se concentrera surtout sur ceux réels \medskip I/Rayon de convergence Dans la suite $(a_n)_n$ et $(b_n)_n$ $\in \mathbb{C}^n$ 1) Définition \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition : La série entière associée à $(a_n)_n$ est la série des fonctions $\left\{ \begin{array}{lll} \mathbb{C} & \longrightarrow & \mathbb{C} \\ z & \longmapsto & a_n z \\ \end{array} \right. $ \item Lemme d'Abel \item Définition du rayon de convergence $R$ + dessin rappelant les diverses propriétés de la somme selon l'endroit où on se trouve par rapport au disque de convergence + rappeler qu'on ne peut rien dire sur ce qui se passe sur le cercle de convergence \item Ex : Pour $\sum \frac{z^n}{n!}$, $R = +\infty$ ; pour $\sum \frac{z^n}{n}$, $R = 1$ ; pour $\sum n! z^n$, $R = 0$ \item Prop : Le domaine de définition de $\sum a_n z^n$, $U$, est tel que $\stackrel{D}(0,1) \subset U \subset \overline{D}(0,1)$ \item Rq : On peut avoir inclusion stricte des deux côtés ($\sum \frac{z^n}{n}$), égalité à gauche ($\sum z^n$) ou égalité à droite ($\sum \frac{z^n}{n^2}$) \end{itemize} 2) Calcul de rayons de convergence \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Si $\sum a_n z_0^n$ converge alors $R \geq |z_0|$ et si $\sum a_n z_0^n$ diverge alors $R \leq |z_0|$ \item Prop : Règle de d'Alembert + ex + attention elle ne s'applique pas toujours (séries lacunaires) \item Prop : Règle de Hadamard + ex \item Prop : Dans le cas général, considérer la suite sumérique $\sum a_n z^n$ et lui appliquer tous les critères qu'on connaît pour les séries numériques \item Prop : Comparaison : Si $a_n = O(n^{\alpha}b_n)$ alors $R_b \leq R_a$ \end{itemize} 3) Opérations sur les séries entières \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Rayon de convergence d'une somme de séries entières en fonction des rayons de convergence des deux séries impliquées \item Prop : Produit de Cauchy de séries entières + rayon de convergence de ce produit \end{itemize} \medskip II/Propriété de la somme On note $s$ la somme de la série entière $\sum a_n z^n$ de rayon $R > 0$ donc définie au moins sur $D(0,R)$ 1) Régularité \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Convergence normale de la série sur tout compact inclus dans $D(0,R)$ \item Csqc : $s$ est continue sur $D(0,R)$ + appli : principe des zéros isolés \item Prop : $s$ est $C^{\infty}$ sur $]-R,R[$ + expressions des dérivées + les dérivées successives ont même rayon de convergence que $s$ \item Rq : On en déduit par récurrence que $a_n = \frac{s^{(n)}(0)}{n!}$ $(\star)$ \item Appli : On en déduit le DSE de $\frac{1}{(1-x)^p}$ par dérivation \end{itemize} 2) Intégration \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Intégration d'une série entière \item Appli : Calcul du DSE de $ln(1+x)$ et de $\mathrm{arctan}(x)$ \end{itemize} 3) Le problème général du DSE \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item définition d'une fonction DSE en $z_0$ + définition fonction analytique = DSE en tout point \item Prop : Si $f$ est DSE en $a$, $f$ est $C^{\infty}$ sur $]-R,R[$ et égale à sa série de Taylor par $(\star)$ \item Rq : La réciproque est fausse : $x \longmapsto e^{\frac{-1}{x^2}}$ prolongée en 0 par 0 est de classe $C^{\infty}$ mais est différente de sa série de Taylor \item Rq : \c Ca donne l'unicité du DSE \item Appli 1 : Nombres de Bell \fbox{DEV1} \item Appli 2 : Equation de Bessel \fbox{DEV2} \item Th : Les fonctions analytiques sur un ouvert $\Omega$ sont exactement les fonctions holomorphes sur $\Omega$ \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} El Amrani [\hyperref[bib]{ElA}], Gourdon analyse [\hyperref[bib]{GouAn}], XENS algèbre 1 [\hyperref[bib]{FGNal1}], XENS analyse 4 [\hyperref[bib]{FGNan4}] \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Nombres de Bell [\hyperref[bib]{FGNal1} p 14] \item Equation de Bessel [\hyperref[bib]{FGNan4} p 101] \end{itemize} \newpage \section*{246. Séries de Fourier. Exemples et applications.} \textbf{Idée de défense de plan :} Les séries de Fourier ont été introduites pour résoudre des équations aux dérivées partielles (équation de la chaleur). L'avantage c'est que cette théorie transforme les équations différentielles en équations polynomiales. \medskip \textbf{Plan :} \medskip Cadre : $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{C}$, $2 \pi$ périodique + rappel de la définition d'une fonction de classe $C^k$ par morceaux [\hyperref[bib]{GouAn} p 258] \medskip I/Coefficients de Fourier 1) Définitions [\hyperref[bib]{GouAn}] \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition des $a_n, b_n, c_n$ dès que $f \in L^1$ \item Définition des séries de Fourier (version complexe et version réelle) $S_n(f)$ \item Prop : Relation entre les $a_n / b_n$ et les $c_n$ \item Rq : Si $f$ est paire, les $b_n$ sont nuls et si $f$ est impaire, les $a_n$ sont nuls \item Ex : Calcul des coeffs de Fourier de $f_0: \left\{ \begin{array}{lll} ]-\pi, \pi] & \longrightarrow & \mathbb{C} \\ x & \longmapsto & |x| \\ \end{array} \right. $ prolongée $2 \pi$ périodiquement (faire un dessin de la fonction) \end{itemize} 2) Propriétés \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Calcul des $c_n(\overline{f})$, de $c_n(t \mapsto f(-t))$... en fonction de $c_n(f)$ \item Prop : Lemme de Riemann-Lebesgue \item Csqc : $F: \left\{ \begin{array}{lll} (L^1([0,2\pi]), ||\phantom{a}||_1) & \longrightarrow & (c_0(\mathbb{Z}),||\phantom{a}||_{\infty}) \\ f & \longmapsto & (c_n(f))_{n \in \mathbb{Z}} \\ \end{array} \right. $ est bien définie, linéaire, continue et de norme 1 \item Prop : Si $f$ est $C^{k-1}$ et $C^k$ par morceaux, $c_n(f^{(k)} = (in)^k c_n(f)$ d'où $c_n(f^{(k) }) = o(\frac{1}{n^k})$ donc lus $f$ est régulière plus ses coefficient de Fourier sont petits \end{itemize} \medskip II/Convergences 1) Un cas de divergence \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Théorème de Banach Steinhaus + appli : il existe une fonction continue différente de sa série de Fourier \fbox{DEV1} \end{itemize} 2) Convergence au sens de Cesàro [\hyperref[bib]{OA}] \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition noyau de Dirichlet $D_n(t)$ et noyau de Féjer et $K_n(t)$ \item Définition sommes de Cesàro $\sigma_n(f)$ \item Prop : $S_n(f)$ est la convolution de $f$ et $D_n$ et $\sigma_n(f)$ est la convolution de $f$ et de $K_n$ \item Théorème de Féjer : Si $f$ est continue, $\sigma_n(f)$ converge uniformément vers $f$ \item Appli : Densité des polynômes trigonométriques + infectivité de $F$ \end{itemize} 3) Convergence de la série de Fourier \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Théorème de Dirichlet \item Ex : $S_n(f_0)(0) = f(0)$ d'où un calcul de $\sum \frac{1}{(2n+1)^2}$ puis de $\zeta(2)$ \item Théorème de Dirichlet uniforme \item Appli : Formule sommatoire de Poisson + appli \fbox{DEV2} \item Appli : Utilisation dans la résolution d'équations différentielles + ex : $y^{(4)} + 5y'' + 4y = sin(t)$ devient une équation polynomiale : $n^4c_n(f) + 5n^2 c_n(f) + 4 c_n(f) = c_n(t \mapsto \mathrm{sin}(t))$ d'où les $c_n$ puis une solution $f$ si $f$ est suffisamment régulière pour être égale à sa série de Fourier \end{itemize} 4) Convergence dans $L^2$ [\hyperref[bib]{OA}] \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition du produit scalaire sur $L^2$ + rq : $c_n(f) = $ et $S_n(f)$ est la projection de $f$ sur le sous espace $\{e_k | k \leq |n| \}$ où $e_n : t \longmapsto e^{int}$ \item Th : Si $f \in L^2$, $S_n(f)$ converge vers $f$ pour la norme 2 \item Prop : Formule de Parseval \item Appl : Exo [\hyperref[bib]{GouAn} p 262] \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} [\hyperref[bib]{OA}] (principalement), Gourdon analyse [\hyperref[bib]{GouAn}] \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Théorème de Banach-Steinhaus [\hyperref[bib]{GouAn} p 404-405] \item Formule sommatoire de Poisson [\hyperref[bib]{GouAn} p 272 et 164] \end{itemize} \newpage \section*{250. Transformation de Fourier. Applications.} IMPASSE \newpage \section*{260. Espérance, variance et moments d'une variable aléatoire.} \textbf{Plan :} \medskip Cadre : $X$ est une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ \medskip I/Espérance 1) Définition \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition de l'espérance de $X$ et d'un vecteur aléatoire \item Rq : Définition d'une variable centrée \item Ex : Espérance d'une variable presque constante, espérance d'une indicatrice \item Théorème de transfert \end{itemize} 2) Exemples de calcul \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Si $X$ est discrète, $\mathbb{E}(X) = \sum\limits_{x \in V} x \mathbb{P}(X=x)$ où $V = \{x \in \mathbb{R} | \mathbb{P}(X=x) >0 \}$ \item Ex : Espérance d'une Bernoulli, binomiale, Poisson, géométrique \item Prop : Si $X$ est à densité $f$, $\mathbb{E}(X) = \int_{\mathbb{R}} x f(x) \mathrm{d}x$ \item Ex : Espérance d'un loi normale, exponentielle, uniforme \item Ex : Une loi de Cauchy n'a pas d'espérance \end{itemize} 3) Propriétés \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : L'espérance est linéaire \item Prop : Inégalité de Jensen \item Prop : Inégalité de Markov + appli : hachage parfait \fbox{DEV1} \item Définition de variables mutuellement indépendantes via l'espérance \item Prop : Si les variables sont indépendantes, $\mathbb{E}(\prod X_i) = \prod \mathbb{E}(X_i)$ + réciproque fausse \end{itemize} \medskip II/Moment d'ordre 2, variance 1) Variance \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définitions : moment d'ordre 2, variance, variable réduite, écart type \item Prop : Expression de la variance + la variance est positive \item Ex : Variance d'une binomiale / loi normale \item Prop : Calcul de $\mathrm{Var}(X+a)$ et $\mathrm{Var}(aX)$ \item Prop : Inégalité de Tchebychev + appli : Stone-Weierstrass par les polynômes de Bernstein \end{itemize} 2) Covariance [\hyperref[bib]{Ouv}] \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Inégalité de Cauchy-Schwartz (ce qui permet de définir la covariance) \item Définition covariance + rq : généralisation avec la matrice de covariance pour les vecteurs aléatoires \end{itemize} 3) Lien avec l'indépendance \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition : Variables non corrélées \item Prop : L'indépendance implique la non corrélation + la réciproque est fausse (sauf pour des vecteurs gaussiens) \item Prop : Identité de Bienaymé + Inégalité de Bienaymé-Tchebychev \end{itemize} \medskip III/Moments d'ordre $p$ 1) Définition \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition + ex pour la loi normale \item Prop : Inégalité de Hölder + implique les inclusion des $L^p$ \item Prop : Inégalité de Minkowski + ça implique que $||\phantom{a}||_p = (\mathbb{E}| \phantom{a}|^p)^{\frac{1}{p}}$ est une norme \end{itemize} 2) Fonction caractéristique \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition fonction caractéristique \item Prop : $\varphi_X = \varphi_Y$ implique $X$ et $Y$ ont même loi (+ appli : démo du TCL) \item Prop : $\varphi_X$ caractérise la loi de $X$ \item Prop : Lien entre $\varphi_X$ et moment s de $X$ [\hyperref[bib]{BL} p 64] \item Prop : Si $\varphi_X$ est analytique, la loi de $X$ est caractérisée par ses moments + attention ce n'est pas le cas en général \end{itemize} \medskip IV/Moments et théorèmes limites \begin{itemize}[label = $\rightarrow$] \item Th : Loi faible des grands nombres, loi forte des grands nombres (admis) \item Appli : Méthode de Monte Carlo pour le calcul approché d'intégrale \item Théorème central limite (TCL) \fbox{DEV2} \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} Barbe-Ledoux [\hyperref[bib]{BL}], Ouvrard [\hyperref[bib]{Ouv}], Cormen [\hyperref[bib]{Cor}] (pour le développement), Zuily-Queffélec [\hyperref[bib]{ZQ}] (pour le développement) \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Hachage parfait [\hyperref[bib]{Cor} p 258-262] \item Théorème central limite [\hyperref[bib]{ZQ} p 540] \end{itemize} \newpage \section*{264. Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.} \textbf{Plan :} \medskip Cadre : $(\Omega, \mathcal{F})$ est un espace probabilisé \medskip I/Variables aléatoires (= va) et lois discrètes 1) Définitions \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition d'un va discrète = une fonction $X : \Omega \longrightarrow E$ mesurable et telle que $X(\Omega)$ est dénombrable \item Rq : Souvent, $E = \mathbb{N} / \mathbb{Z} / \mathbb{N}^n$ \item Définition d'un loi d'une va discrète + il suffit de connaître $\mathbb{P}(X=x)$ pour $x \in X(\Omega)$ pour la connaître \end{itemize} 2) Exemples \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Déf : Loi uniforme + ex $X$ = chiffre obtenu en lançant un dé 6 suit une loi uniforme sur $\llbracket 1,6 \rrbracket$ \item Déf : Loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ + ex $X : \Omega \longrightarrow \{P,F \}$ donnant le lancer d'une pièce suit une binomiale de paramètre $\frac{1}{2}$ \item Déf : Loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ = nombre de succès dans une suite de $n$ Bernoulli indépendantes de paramètre $p$ + ex : Si on a $n$ boules dont $p$ noirs et qu'on les tire avec remise, $X$ = nombre de boules noires suit un binomiale de paramètres $n$ et $p$ \item Déf : Loi géométrique $\mathcal{G}(p)$ : compte le nombre d'échec avec succès dans une répétition de Bernoulli indépendantes + ex : on lance une pièce jusqu'à avoir un pile et on gagne $X$ = le nombre de lancers euros ; alors $X \sim \mathcal{G}(p)$ \item Déf : Loi de Poisson + ex : décrit le nombre d'événements rares qui arrivent dans un intervalle de temps donné (nombre d'accidents / erreurs de fabrication) \end{itemize} \medskip II/Moments d'un va discrète 1) Espérance \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition de l'espérance + quelques prop \item Lemme de transfert + appli : polynômes de Bernstein et théorème de Weierstrass \item Ex : Calcul des espérances des loi du I/ \item Prop : Inégalité de Markov + appli : hachage parfait \fbox{DEV1} \end{itemize} 2) Fonction caractéristique \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition variance, expression + moments d'ordre $p$ \item Définition fonction caractéristique $\varphi$ + prop : elle caractérise la loi \end{itemize} \medskip III/Indépendance et sommes de va \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Définition de va indépendantes dans le cas discret \item Csqc : Si les $X_i$ sont indépendantes, $\mathbb{E}(\prod X_i) = \prod \mathbb{E}(X_i)$ et $\varphi_{(X_1,...,X_n)} = \prod \varphi_{X_i}$ \item Prop : Loi d'une somme de va discrètes indépendantes [\hyperref[bib]{Ouv} p 61 et suivantes] \item Ex : Somme de va de Bernoulli indépendant = une binomiale \end{itemize} \medskip IV/ Théorèmes limites \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Prop : Approximation loi de Poisson par une suit de géométriques + ex paradoxe des anniversaires [\hyperref[bib]{Ouv} p 220] \item Prop : Loi des grands nombres faible puis forte (admise) \item Appli 1 : Méthode de Monte Carlo \item Appli 2 : Calcul d'une proba du nombre de pièces défectueuses à partir d'un échantillon \item Théorème central limite \fbox{DEV2} \end{itemize} \bigskip \textbf{Références :} Barbe-Ledoux [\hyperref[bib]{BL}], Ouvrard [\hyperref[bib]{Ouv}], Cormen [\hyperref[bib]{Cor}] (pour le développement), Zuily-Queffélec [\hyperref[bib]{ZQ}] (pour le développement) \bigskip \textbf{Développements :} \begin{itemize}[label=$\rightarrow$] \item Hachage parfait [\hyperref[bib]{Cor} p 258-262] \item Théorème central limite [\hyperref[bib]{ZQ} p 540] \end{itemize} \newpage \section*{Bibliographie} \label{bib} \tiny{ [Aud] Audin, \textit{Géométrie} [BL] Barbe et Ledoux, \textit{Probabilité} [BP] Briane et Pagès, \textit{Théorie de l'intégration} [Bre] Brézis, \textit{Analyse fonctionnelle} [Cia] Ciarlet, \textit{Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation} [Com] Combes, \textit{Algèbre et géométrie} [Cor] Cormen et alii, \textit{Algorithmique} [dB] De Biasi, \textit{Mathématiques pour le CAPES et l'agrégation interne} [De] Demailly, \textit{Elements d'analyse réelle} [Dem] Demazure, \textit{Cours d'algèbre} [DJM] Dany-Jack Mercier, \textit{Cours de géométrie, préparation au CAPES et à l'agrégation} [dSP] de Seguin Pazzis, \textit{Invitation aux formes quadratiques} [Eid] Eiden, \textit{Géométrie analytique classique} [ElA] El Amrani, \textit{Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions} [FG] Francinou, Gianella, \textit{Exercices de mathématiques pour l'agrégation, algèbre 1} [FGNal1] Francinou, Gianella, Nicolas, \textit{Oraux XENS algèbre 1} [FGNal2] Francinou, Gianella, Nicolas, \textit{Oraux XENS algèbre 2} [FGNal3] Francinou, Gianella, Nicolas, \textit{Oraux XENS algèbre 3} [FGNan1] Francinou, Gianella, Nicolas, \textit{Oraux XENS analyse 1} [FGNan4] Francinou, Gianella, Nicolas, \textit{Oraux XENS analyse 4} [GouAl] Gourdon, \textit{Algèbre} [GouAn] Gourdon, \textit{Analyse} [Goz] Gozard, \textit{Théorie de Galois} [Gri] Grifone, \textit{Algèbre linéaire} [Hau] Hauchecorne, \textit{Les contre exemples en mathématiques} [HU] Hiriart et Urruty, \textit{Optimisation et analyse convexe} [H2G2] Caldero et Germoni, \textit{Histoire hédoniste de groupes et de géométrie} [MT] Mneimné et Testard \textit{Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques} [OA] Beck, Malick et Peyré, \textit{Objectif agrégation} [Ouv] Ouvrard, \textit{Probabilités : tome 1} [Per] Perrin, \textit{Cours d'algèbre} [RB] Risler et Boyer, \textit{Algèbre pour la licence 3, groupes, anneaux, corps} [Rou] Rouvière, \textit{Petit guide de calcul différentiel à l'usage de la licence et de l'agrégation} [Ser] Serre, \textit{Cours d'arithmétique} [Szp] Szpirglas, \textit{Mathématiques Algèbre L3} [Tau] Tauvel, \textit{Géométrie} [Tes] Testard, \textit{Analyse mathématique : la maîtrise de l'implicite} [Ulm] Ulmer, \textit{Théorie des groupes : Cours et exercices} [Zav] Zavidovique, \textit{Un max de maths : problèmes pour agrégatifs et mathématiciens, en herbe ou confirmés} [ZQ] Zuily et Queffélec, \textit{Analyse pour l'agrégation} } \end{document}