| Clémentine Laurens Ancienne étudiante en Mathématiques fondamentales (2014-2019) |
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ENS Rennes - Lecture dirigée de recherche L3 Ce travail a été réalisé pendant ma première année dans le département de Mathématiques de l'ENS de Rennes, en binôme avec Magali JAY et sous la direction de Frank LORAY. Mené de Janvier à Avril 2018, il a consisté en l'étude d'un article de recherche portant sur un sujet proposé par l'enseignant chercheur encadrant le groupe. Ce travail a donné lieu à la rédaction d'un rapport sur le sujet choisi, ainsi qu'à une présentation orale d'une vingtaine de minutes. Il nous a valu la note de 16/20. Titre : Itération de polynômes et ensembles de Julia Résumé : Dans ce travail, on s'intéresse à des questions de dynamique complexe : on classifie les points de la sphère de Riemann en fonction de leur comportement sous l’action d’itérées de transformations holomorphes. Plus précisément, étant donnée une transformation holomorphe R, cette étude sépare la sphère de Riemann en deux ensembles disjoints : l’ensemble de Fatou F(R), qui correspond à l’ensemble des points "stables" (en un sens que l’on définira) sous l’action des itérées de R, et l’ensemble de Julia J(R), défini comme le complémentaire de l’ensemble de Fatou, sur lequel la dynamique de R est plus difficile à appréhender. C’est sur ce dernier ensemble que nous nous concentrerons : nous montrerons un certain nombre de ses propriétés, parmi lesquelles le théorème fondamental affirmant que "l’ensemble de Julia J(R) est l’adhérence des points périodiques répulsifs pour R". Enfin, à l’aide de ces diverses caractéristiques, nous tâcherons d’expliquer le caractère "fractal" que présentent les ensembles de Julia. Support d'étude : Paul Blanchard, Complex analytic dynamics on the Riemann sphere, Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society, July 1984 |
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