Agrégation de maths, Option D (Informatique)

Présentation rapide

Cette page s'adresse principalement aux étudiants préparant l'agrégation de maths en option informatique (option D). Les autres étudiants pourront y trouver quelques plans et développements intéressants, mais d'autres pages sont mieux fournies que la mienne.
Si vous préparez l'option D, et que comme moi, vous avez l'impression d'être un peu en retard en maths, et cherchez des plans qui soient acceptables pour un jury tout en étant abordables pour vous, vous êtes au bon endroit !
Je laisse ici les plans et développements que j'ai préparés (éventuellement avec des commentaires si j'y pense), avec quelques conseils, et des liens utiles. Beaucoup de ces plans et développements ont été inspirés de ceux présentés les années précédentes (les liens vers les pages de mes précédesseurs sont en bas).

• Mon mémoire
• Mes plans
• Mes développements d'info
• Mes développements de maths
• Liens utiles

Quelques conseils

• Les plans et développements que je vous présente ici ne sont pas nécessairement des références absolues. Beaucoup d'entre eux ont été bien accueillis par les encadrants, mais il y a toujours plusieurs manières de faire. N'hésitez pas à avoir un regard critique sur ce que vous allez voir ici (il peut y avoir des typos, ou des erreurs plus grossières ; si je les repère, je penserai à les mentionner en commentaire).
• Si certaines notions abordées dans les plans vous semblent inaccessibles, ne vous forcez pas à les mettre dans vos propres plans. Restez à votre niveau. De même pour les développements ; je vais mettre en couleur ceux qui m'échappent (parce que je n'ai pas le recul, parce qu'ils me semblent tordus, ou autre ; bref, ceux que je ne pense pas refaire, ou pas sous cette forme) au moment où je les uploade, si ça peut vous aider à vous rassurer.
• Le rapport du jury a TOUJOURS le dernier mot, alors lisez-le. Si le rapport du jury dit que quelque chose doit figurer dans le plan, mettez-le. S'il dit que quelque chose PEUT figurer dans le plan, il est mieux de le mettre si vous le maîtrisez, mais rien ne vous y oblige. Si vos encadrants vous disent de mettre quelque chose dans le plan sous prétexte que c'est absolument indispensable, vérifiez le rapport du jury d'abord (tout en usant de votre bon sens ; je parle bien sûr d'enlever des parties qu'on essaye de vous imposer, mais qui seraient hors de votre portée et hors du programme de l'agrég ;) ).
• Si vous avez une question, sur un plan, sur un développement, si vous avez besoin d'un conseil, ou de quoi que ce soit d'autre, n'hésitez pas à me contacter. ;) J'ai vu beaucoup de gens dire ça sur leur propre page et n'ai jamais pensé à les contacter, mais croyez-le bien, ça ne fait de mal à personne. Si on vous propose de nous contacter, c'est qu'on est prêt à vous répondre, alors n'hésitez pas. ;) Mes infos sont sur ma page d'accueil.

Mon Mémoire

Voici un lien vers mon mémoire mémoire sur la leçon 912 sur les fonctions primitives récursives et non primitives.

Mes plans

Vous pouvez trouver ici les plans que j'ai rédigés (ou auxquels j'ai contribués).
Attention aux leçons de maths : ici ne figurent que les leçons de maths pour l'informatique.

• 123 : Corps finis. Exemples et applications.
  Ce plan est en anglais (lors de notre année, et probablement lors de la vôtre aussi, ceux qui ont le TOEIC présentent une leçon de maths en anglais en trinôme, pour avoir une note d'anglais sur l'année) ; il n'a pas été rédigé dans les mêmes conditions que les autres et est moins fourni ; j'essayerai de rédiger un autre plan plus détaillé quand j'aurai le temps, mais celui-ci donne déjà une base.
• 150 : Exemples d'actions de groupes sur des espaces de matrice.
  Le résultat sur la classification des formes quadratiques est sans doute trop court pour faire un développement. Lorsque nous l'avons présentés, il tenait en 15 minutes, mais en allant très lentement. Toutefois, il constitue un résultat essentiel du plan. Soyez au point sur les preuves d'invariance.
• 157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
  Ce plan est exactement celui que j'ai rédigé lorsque j'ai présenté cette leçon à mon premier oral blanc ; donc il pourrait être plus étoffé, mais cela vous donne une idée de ce que vous pouvez être capable de faire le jour de l'oral (à comparer avec les autres plans, rédigés quand on a tout notre temps). On m'a justement dit qu'il était bien et qu'il pouvait être plus étoffé. Attention, j'ai écrit une grosse bourde sur la forme en blocs de Jordan des matrices nilpotentes : les lambda_i représentent le nombre de blocs de Jordan de taille au moins i, et pas la taille des blocs eux-même comme je l'ai écrit.
• 224 : Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.
  (Attention, il y a plusieurs typos. En bas de la première demi-page, on devrait écrire g_{i+1} = o(g_i), et non l'inverse. Dans la méthode de la phase stationnaire, sur le premier résultat, au dénominateur, remplacez les lambdas par des x. Et dans l'exemple 32, pour la deuxième suite, il manque un facteur 2 au numérateur du deuxième terme.)
• 902 : Diviser pour régner. Exemples et applications.
  (Soyez au point sur la preuve du Master Theorem. Ne reprenez surtout pas celle du Cormen qui est lourde. Regardez dans Papadimitriou, ou dans Beauquier.)
• 906 : Programmation dynamique : exemple et applications.
  Attention : il peut-être difficile de faire autre chose qu'un catalogue, mais ça peut être bien de relier un peu plus certains problèmes à d'autres notions du programme, par exemple de relier ça à la NP-complétude par le sac à dos, ou l'ensemble de sommets indépendants dans un graphe. Concernant sac à dos, vous pouvez traiter la version avec répétition des objets ou sans. Préférez peut-être la version sans répétition, ou vous ne pouvez prendre qu'un seul exemplaire de chaque objet. Les sous-problèmes sont plus difficiles à définir (en l'occurrence, vous aurez des valeurs K(W,j), où W est une borne de poids et j l'indice maximal d'objets que vous pouvez prendre, si vous les numérotez de 1 à n. Et là : soit vous le prenez, et K(W,j) = valeur de l'objet j + K(W - poids de j, j-1), soit vous ne le prenez pas, et là, K(W,j) = K(W,j-1) ).
• 912 : Fonctions primitives récursives et non primitives. Exemples.
  Pour cette leçon, j'ai l'impression qu'il y a essentiellement un seul plan possible (avec des variations très mineures) que vous obtenez assez facilement en suivant le Wolper. Attention toutefois : le lambda-calcul est rentré dans le programme l'année où j'ai passé l'agrég, j'aurais donc dû essayer de l'inclure dans cette leçon (mais les conditions dans lesquelles je l'ai rédigées font que je n'ai pas pu). Cela dit, ce blanc donne déjà une très bonne base. En y incluant du lambda-calcul, vous devriez tenir les 3 pages. Pensez à chercher des développements qui pourraient se caser ici et dans le lambda-calcul.
• 913 : Machines de Turing. Applications.
  Attention : dans la définition 1, préciser que Q et les alphabets sont finis. Et dans le théorème de Savitch, prenez plutôt f à valeurs dans N.
• 914 : Décidabilité et indécidabilité. Exemples
• 915 : Classes de complexités. Exemples.
  
  • Seules sont au programme les classes de complexité P, NP, PSPACE, et NPSPACE. Si vous voulez parler d'autres classes (comme L, NL, EXPTIME, EXPSPACE, k-EXP, etc...), ce sera valorisé, mais assurez vous de connaître à peu près les preuves de réductions ou d'appartenance à ces classes (dans ce plan, on a failli rajouter L et NL à la fin, mais on s'est rendu compte qu'on ne connaissait pas assez bien les preuves.)
  • En particulier, si vous parlez de L et NL, assurez vous de prendre la bonne définition pour la réduction.
  • Le certificat de Pratt, dont on parle dans le plan, fait aussi un développement sympa, réutilisable en maths.
• 916 : Formules du calcul propositionnel. Représentations, formes normales, satisfiabilité.
  On a passé beaucoup de temps sur les représentations dans ce plan (essentiellement la partie sur les formes équivalentes). Il peut-être plus intéressant d'en dire un peu moins (quitte à laisser le jury nous demander si on connaît d'autres formes pour les représenter) et de passer un peu plus de temps sur la satisfiabilité, sur comment est-ce qu'on la vérifie en pratique, etc... L'encadrant nous avait (re)parlé de l'algorithme DPLL, qui a toute sa place là-dedans.
• 918 : Systèmes formels de preuve en logique du premier ordre. Exemples.
  
  • Dans ce plan, on a passé BEAUCOUP de temps et de place sur des rappels de logique du premier ordre. Mais il est quand même nécessaire d'en faire, surtout qu'on utilise beaucoup d'objets. Dans l'idéal, essayez de ne pas dépasser une page pour ces rappels (détaillez peut-être moins certaines définitions, comme j'ai fait dans la Déf 12 avec les occurrences ; au besoin, le jury vous demandera de préciser la définition et vous saurez le faire).
  • Ne détaillez pas tous les systèmes de preuves que vous connaissez, c'est long. Il est bien de parler de déduction naturelle ou de calcul des séquents, mais je suggérerais de n'en garder qu'un seul, et de garder de la place pour la résolution.
  • Les règles de déductions ne peuvent pas aller en annexe. Par contre, vous devriez avoir le droit de mettre en annexe des petits exemples d'arbres de preuve (d'ailleurs, le jury vous demandera presque toujours de faire une ou deux preuves avec l'un ou l'autre des systèmes proposés).
  • Si vous développez la complétude de la résolution, parlez déjà des modèles de Herbrand dans le plan. Je ne l'ai pas fait ici pour raison de place, mais si vous devez les présenter pendant le développement, vous pouvez perdre jusqu'à 2 minutes, qui manqueront dans la preuve du lemme de relèvement.
  • PROLOG n'est pas indispensable dans le plan, mais ça fait un bonus sympa. Vous pouvez être presque sûr que le jury le connaît, mais il est assez peu évoqué dans les plans, il sera content de le voir ; et le fonctionnement du langage n'est pas très compliqué ; d'ailleurs, expliquer son fonctionnement, puis en faire un exemple, ça peut constituer un développement (voir la page de Théo Pierron).
• 921 : Algorithmes de recherche et structures de données associées.
  Attention : dans la définition du hachage universel, il manque une hypothèse. La probabilité qu'une paire de clés donnée soit en collision est au plus 1/m SI on choisit une fonction de hachage avec une loi uniforme dans la famille universelle.
  Le conseil de l'encadrant : ne prenez pas Union Find en développement, c'est trop long.
• 926 : Analyse des algorithmes, complexité. Exemples.
  
  • Cette leçon n'est pas la plus facile dans sa forme. De ce que j'ai compris, dans l'idée, il s'agit de définir les différents types de complexité (spatiale/temporelle, pire cas/en moyenne, etc...), et de donner des méthodes pour les calculer et pour les améliorer. Mais il n'est pas facile d'être bien formel dans ce cadre. Certains bouquins comme le Froidevaux tentent une formalisation de la notion de complexité, mais pour les calculs, c'est autre chose. Dans les faits, lorsque vous écrirez les méthodes dans le plan, vous risquez de beaucoup bricoler et faire les choses avec les mains. C'est ce que font beaucoup de plans que j'ai lus sur cette leçon. Mais le rapport du jury précise qu'il s'agit d'une leçon d'exemples, alors n'oubliez pas d'en mettre autant que possible.
  • Après présentation, finalement, je peux dire qu'il est bon de mettre des exemples, mais pas autant. Essayez de détailler un peu la théorie (par exemple, dans les méthodes d'analyse amortie, nous ne détaillons que la méthode de l'agrégat, et on parle vaguement de la méthode du potentiel et de la méthode comptable ; vous pourriez essayer de les détailler un peu). Attention aux formulations : vous pouvez parler de beaucoup de choses sans les formaliser (ce qui est normal pour cette leçon), mais dans ce cas, n'appelez pas ça des propositions ou des théorèmes comme nous avons parfois fait.
• 930 : Sémantique des langages de programmation. Exemples.
  
  • Cette leçon est apparue au programme pour la première fois lors de mon année. Nous avons donc dû rédiger ce plan (et les développements qui allaient avec) sans aucune annale pour nous assurer que c'était accepté, que c'était quelque chose qui marchait. Mais nous sommes assez confiant dans le fait que ce plan est bon, après confirmation par notre encadrant.
  • Pour la partie sur la sémantique dénotationnelle, on passe un certain temps à parler d'ordre partiel complet pour finir par le théorème de point fixe de Kleene. Si vous n'êtes pas au point dessus, vous pouvez vous référer au Winskel, qui ne présente pas la sémantique dénotationnelle explicitement comme des fonctions, mais qui décrit les fonctions partielles comme des ensembles de paires. Il faut par contre faire attention, il fait rarement la vérification du fait que ses ensembles de paires représentent bien des fonctions (i.e. que si (x,y) et (x,z) sont dans E, alors y = z).
  • Il semblerait que notre définition 39 soit redondante, ainsi que le montre l'exercice 5.34 du Nielson et Nielson. Toutefois, cette précision est systématiquement faite dans la définition de fonction Scott-continues, alors j'ai fait le choix de la faire aussi. D'ailleurs, beaucoup d'ouvrages anglophones disent juste "continuous" pour parler de la continuité au sens de Scott. Ce n'est pas spécialement un abus, au sens où elles sont effectivement continues pour une topologie bien choisie. Plus de détails ici.
  • Attention avec la logique de Hoare, le théorème 23 est faux sous cette forme. Ce système est relativement complet.
  • Il faudrait rajouter dans ce plan un théorème et un lemme pour préparer le terrain pour le deuxième développement. Vous pouvez le trouver plus bas sur cette page, j'ai précisé à l'intérieur ce qui aurait dû être dans le plan.

Mes développements d'info

Vous trouverez ici mes développements (ainsi que d'autres que j'ai travaillés, mais que je n'ai pas encore rédigés, et pour lesquels j'ai honteusement pompé les pdf d'autres gens en attendant).

• Ackermann n'est pas primitive récursive
• Algorithme de Cocke-Younger-Kasami (CYK)
  Je n'ai pas encore répété ce développement au moment où je le poste ici. Peut-être un peu court, vous pouvez songer s'il vous reste du temps à expliquer le passage en forme normale de Chomsky, ou à appliquer CYK sur un exemple, voire les deux.
• Algorithme de Bellman-Ford
• Attention, le Cormen ne donne pas exactement cette forme pour l'algorithme. Je l'ai écrit sous cette forme pour le montrer comme étant un algorithme de programmation dynamique. Mais dans les faits, vous pouvez vous en sortir avec un seul tableau. Pour résumer, dans la version programmation dynamique, on crée la nouvelle ligne à partir des valeurs de la ligne précédente. Avec un seul tableau, on devrait mettre un tableau à jour à partir de valeurs qu'on a déjà calculées à l'étape k. Mais ces valeurs sont justement plus petites que celles qui étaient au même emplacement à l'étape k-1. Donc ce n'est pas dramatique. Mais je trouve la preuve de correction plus simple à justifier dans la version programmation dynamique, à l'aide de la formule de récurrence.
• Algorithme d'unification
• Automate des occurrences
• Sûrement un peu court, pensez à faire un exemple.
• Il me semble que le Cormen ne fait pas la preuve de minimalité à la fin, mais ça reste intéressant à mentionner.
• Arbres binaires de recherche optimaux
• Ne vous laissez pas décourager par la longueur de mon pdf, ce développement est largement faisable, et peut se rédiger en utilisant moins de place. J'y ai mis beaucoup de sucre formel autour de cette histoire de variable aléatoire, mais vous pouvez vous passer de ça et écrire la relation de récurrence directement (après avoir présenté l'astuce des clés factices, formalisé le problème et fait un dessin). Toutefois, je trouvais que c'était intéressant et que ça méritait d'être mentionné. Et comme certains jurys peuvent être pointilleux sur la formalisation autour des probas, ça peut servir de lire ça une fois.
• Certificat de Pratt
• Encore une fois, le pdf est un peu long, mais parce que j'y ai inséré plein de remarques qui me paraissent essentielles à dire à l'oral, mais que vous n'aurez pas forcément besoin d'écrire. Notez que ce développement peut se réutiliser en maths dans la leçon sur les nombres premiers.
• Comparaison tri fusion et tri rapide
• Développement très facile et très classique. Mais il peut toujours vous dépanner si vous ne trouvez rien d'autre ; mais si vous le prenez, assurez vous de ne RIEN rater. Mon pdf semble un peu long, parce que j'ai pris le temps d'écrire les algorithmes en détails. En oral, je vous conseille d'écrire les algorithmes, mais allez peut-être un peu plus vite sur certains points dedans si vous avez peur de déborder au niveau du temps (du moment que vous laissez une trace écrite de la manière dont ils fonctionnent).
• Complétude de la résolution en logique du premier ordre
• Correction de la logique de Hoare
• Pas très difficile si vous aimez bien la sémantique. Attention, dans le Winskel, il y a une couche supplémentaire de formalisme avec des interprétations (on y détaille ce que veut dire le fait qu'un état satisfasse une formule). On n'en a normalement pas besoin dans la preuve. Mais je vous conseille de vous renseigner dessus quand même au cas où le jury vous demande ce que veut ça veut dire pour un état de satisfaire une formule arithmétique, et ce qu'est une formule arithmétique
• Dans la dernière règle, on fait intervenir des preuves de déduction naturelle ; pensez à différencier les symboles.
• Décidabilité de l'arithmétique de Presburger
  
  • Attention : soyez au point sur la complexité de l'algorithme que vous présentez.
• Distance d'édition
  
  • Attention : sur la fin, j'ai tenu à expliquer la reconstruction d'un alignement optimal à partir des valeurs calculées, mais mon tableau était un peu brouillon parce que je manquais de temps pour le faire. Une fois que vous avez détaillé les calculs des E[i,j] et la complexité, expliquez des optimisations possibles (par exemple, vous pouvez ne garder que 2 lignes de E pour gagner de la place, mais vous ne pouvez plus reconstruire l'alignement si vous faites ça), puis mentionnez qu'on peut reconstruire l'alignement, laissez le jury vous demander comment on fait (ce qu'il fera presque sûrement si vous ne le faites pas vous-même), et là, expliquez.
  • Ce que j'ai présenté ici est en fait un cas particulier de la distance de Levenstein (où la fonction de coût n'est pas explicitée, mais respecte certaines propriétés évidentes ; il faut juste remplacer certains 1 par des c(x_i,y_j)). La plus longue sous-séquence commune est aussi un cas particulier de la distance de Levenstein.
• Equivalence entre sémantiques "petit pas" et dénotationnelle
  
  • Ce pdf est un peu brouillon, mais j'ai précisé mon code couleur en haut. Je ne l'ai pas encore répété sous cette forme (en mettant dans le plan ce qui doit y être, etc...), donc je ne sais pas encore à ce stade si ça passe.
  • Si vous ne comprenez rien, pas de panique, prenez le temps de lire le Nielson & Nielson, et au besoin, restez plus proche des règles utilisées dans le bouquin pour faire leurs preuves. Sinon, vous pouvez aussi prouver d'autres équivalences, comme entre "grand pas" et dénotationelle.
• Indécidabilité de problèmes sur les langages algébriques
  
  • Attention : ce développement est tiré du Carton, mais la version du Carton n'est pas rigoureuse du tout (pour prouver que 3 et 4 sont indécidables, on fait une réduction de Post à 3 et 4 (ou leur complémentaire), et pas de 1 à 3 et 4 comme il le prétend.
• Hachage parfait
  
  • Attention : les calculs d'espérance ne sont pas détaillés, on se contente de majorer comme des gros sacs parce qu'on n'a pas le temps. Pensez à expliquer (si on vous le demande comme ça m'est arrivé) que les événements sur lesquels on somme sont des fonctions de hachage prises dans une famille universelle. Notez que ce développement peut se réutiliser en maths dans les leçons de proba, ça fait une application sympa.
• Parenthésage optimal de produit matriciel
  
  • Attention : sur ma version, j'ai préféré ne pas écrire l'algorithme, mais l'appliquer sur un exemple en me disant que ce serait plus simple à exposer. Apparemment, le jury préférerait qu'on écrive l'algorithme, et qu'il nous propose éventuellement lui-même de l'appliquer sur un exemple simple.
  • Evitez de dire "plus cher" sans avoir précisé ce que vous comptiez avant (ici, le nombre de multiplications scalaires). Je l'ai fait correctement à l'oral, mais sur ce document, j'ai parlé d'être cher sans d'abord définir ce qu'on compte.
  • Développement facile, mais se recase difficilement. Privilégiez plutôt les arbres binaires de recherche optimaux, ou la distance de Levenstein.
• Récursivité des fonctions calculables
• Théorème de compacité
• Théorème de Cook (915,916,928)
  
  • Ne détaillez pas toutes les sous-formules de la grosse formule finale, cela prendrait du temps. Certaines d'entre elles se ressemblent, écrivez-en une et dites que les autres s'obtiennent de la même manière.
• Théorème de Savitch (902,913,915,926)
  
  • Attention : prenez plutôt f à valeurs dans N pour que 2^(A*f(n)) soit bien un entier
• Tri par tas
  Faire un dessin pour représenter le fonctionnement des algorithmes.
• Tri topologique

Mes développements de maths

Vous pouvez trouver ici les développements que j'ai préparés moi-même, et j'indique également les leçons où vous pouvez les utiliser.
Légende :

Attention : je n'indique que les leçons de maths de l'option D.

• Algorithme de Berlekamp (123,141,151 ; peut-être 121)
• Automorphismes intérieurs dans S_n
• Certificat de Pratt
• Encore une fois, le pdf est un peu long, mais parce que j'y ai inséré plein de remarques qui me paraissent essentielles à dire à l'oral, mais que vous n'aurez pas forcément besoin d'écrire. Notez que ce développement peut se réutiliser en info.
• Ellipsoïde de John-Loewner
• Equation de Bessel
• Formule sommatoire de Poisson (246,250)
  
  • Vous pouvez chercher d'autres applications si vous en trouvez des plus intéressantes. J'y ai mis celle-là parce que c'est ce qui suit directement la formule dans le Gourdon (attention d'ailleurs, celui-ci est plein de typo à cet endroit), mais j'avoue ne pas trop voir à quoi l'application que je propose peut bien servir.
  • Soyez bien au point sur les hypothèses des théorèmes classiques (dérivation terme à terme, interversion série intégrale) et sur les notions de convergence. Même quand on a passé du temps dessus en prépa (même avec une 5/2), on a tendance à les oublier si on n'en fait pas assez, je sais de quoi je parle.
• Hachage parfait
  
  • Attention : les calculs d'espérance ne sont pas détaillés, on se contente de majorer comme des gros sacs parce qu'on n'a pas le temps. Pensez à expliquer (si on vous le demande comme ça m'est arrivé) que les événements sur lesquels on somme sont des fonctions de hachage prises dans une famille universelle. Notez que ce développement peut se réutiliser en info dans les leçons sur les structures de données.
• Invariants de similitude/Décomposition de Frobenius
  
  • Développement bien recasable, mais à adapter. Par exemple, vous pouvez l'utiliser dans la leçon sur les polynômes irréductibles en montrant le lemme et en ne faisant pas l'unicité de la décomposition. A l'inverse, pour les autres leçons, préférez admettre le lemme (mais ayez au moins une idée de la preuve) et faites l'existence ET l'unicité.
• Lemme de Morse
  
  • Attention, les notations utilisées dans le Rouvière ne sont pas toujours très claires, notamment au moment d'utiliser la formule de Taylor avec reste intégral au début de la preuve du lemme de Morse lui-même. Je SUPPOSE que la différentielle seconde qu'il met dans l'intégrale est en fait une hessienne (puisqu'il prétend que Q(x) est une matrice) ; ça a du sens, mais les notations utilisées ne le laissent pas transparaître... Quitte à annoncer qu'on utilise des matrices, je préfère parler de hessienne.
• Loi de réciprocité quadratique (preuve par les formes quadratiques)
• Méthode de gradient à pas optimal
  
  • Faites un dessin. Je n'en ai pas fait sur mon pdf parce que je n'ai pas eu le courage d'apprendre à faire ce genre de dessins en LaTeX.
  • Les preuves sont finalement très calculatoires ; cela rend le développement modulable, vous pouvez vite passer sur certains calculs si vous vous rendez compte que vous prenez trop de temps. Pris séparément, ils ne sont pas compliqués, donc si le jury vous demande de détailler une ou deux lignes, vous saurez le faire.
  • Vous pouvez aussi regarder le pdf d'Adrien Laurent, trouvable sur agreg-maths.fr, qui est bien fait.
  • Adaptez-vous en fonction de la leçon où vous l'utilisez. Si vous en parlez pour donner une application de la convexité, détaillez plutôt Kantorovitch. Sinon, détaillez plutôt le gradient à pas optimal.
• Méthode de Laplace (218,224,228,239)
  
  • Sachez démontrer la formule de Stirling (au même endroit dans le Rouvière), qui en fait un bon corollaire, on peut vous le demander en exercice (ça m'a été demandé lorsque j'ai présenté ce développement).
  • Autre possibilité : ne prouvez que le deuxième cas de la méthode de Laplace (le premier cas se prouve de la même manière, en plus facile ; mais mettez le tout de même dans votre plan) et intégrez la formule de Stirling au développement. Je n'ai pas testé si ça rentre en 15 minutes, mais je sais que d'autres procèdent ainsi.
• Nombre d'automorphismes diagonalisables sur F_q (106,123,153,190)
  
  • Attention : le bouquin ne donne pas exactement cette preuve là, mais un cas particulier. Mais la généralisation n'est pas difficile (il faut juste se souvenir de l'idée qu'on ne passe pas par les sous-espaces propres de A, mais qu'on décompose X^(q-1)-1 avec une racine primitive.
  • Si on vous le demande, expliquez que les n_i peuvent être nuls, la convention étant dans ce cas que GL_{n_i}(F_q) ait pour cardinal 1.
• Nombres de Bell
• Simplicité de A_n
  
  • Au moment où je mets ce développement en ligne, je ne l'ai pas du tout répété, donc je ne sais pas s'il tient les 15 minutes, il me paraît un peu court. Mais je pense qu'on peut meubler en détaillant un peu plus quelques passages, voire en montrant préalablement que les 3-cycles sont conjugués dans A_n (qui est un lemme qui revient un poil fréquemment dans cette preuve). A part ça, je trouve qu'il est assez facile (même quand on n'est pas habitué à la théorie des groupes ; j'ai eu peur pendant longtemps de regarder les développements qu'on y faisait, mais celui-là est particulièrement simple, je trouve).
• Suite de polygones
• Suites récurrentes (224)
  
  • (Attention, plusieurs typos : dans le calcul juste après l'énoncé de l'application 1, à la 4ème ligne, il manque un carré sur la deuxième occurrence de (x/2 - x^2 / 3 + o(x^2)) Puis, lorsqu'on donne l'expression de 1/u_n, le terme en ln(n) doit être multiplié par 2, et ceci dans toute la suite du calcul)
  • J'avais choisi ce développement pour ne pas proposer la méthode de Newton devant la promo, qui l'avait déjà vue et revue. Mais le jour de l'oral, il vaut peut-être mieux préférer la méthode de Newton : c'est classique, mais elle se recase mieux, vous y penserez plus facilement.)
• Théorème de Burnside (104,106,157)
  
  • Attention, sachez bien justifier que vous pouvez prendre une base de Vect(G) formée d'éléments de G (ce n'est pas très compliqué, construisez la : prenez un élément de G, si vous engendrez Vect(G), c'est gagné ; sinon, rajoutez un élément de G qui n'est pas engendré par la base déjà formée ; comme Vect(G) est de dimension finie, vous allez réussir à tout engendrer au bout d'un certain temps).
  • J'ai pu présenter ce développement lors de mon oral blanc de janvier, et à cette occasion, le jury m'a dit que je l'avais bien mené, et que c'était un bon point parce qu'il est assez technique. Personnellement, je trouve qu'il est presque gratuit ; si vous êtes en info, statistiquement, vous aimez bien l'algèbre aussi, donc je pense qu'il vous sera accessible sans problème.
• Théorème de Frobenius-Zolotarev
  
  • Se recase beaucoup.
  • Pas si difficile pour peu que vous soyez au point sur les structures quotients (surtout les groupes, en fait) et la factorisation de morphisme. Si ce n'est pas le cas, comme pour moi avant de travailler ce développement, courez lire Objectif Agrégation, il y a un chapitre entier dédié à ça qui se termine justement sur ce théorème.
• Théorème de Ляпунов (Liapounov)
• Théorème de Weierstraß (par les probabilités)
• Théorème des extrema liés (version algébrique) (214,219,peut-être 159 et 215 ?)
  
  • Soyez au point sur les hypothèses du théorème des fonctions implicites.
  • Il existe plusieurs preuves du théorèmes des extrema liés, et il semblerait que celle-ci ne soit pas la favorite du jury, le rapport précise qu'elle est souvent mal maîtrisée. J'ai travaillé celle-ci parce que c'est la première que j'ai vue, mais vous pouvez en chercher d'autres).

Liens utiles

• agreg-maths.fr, où vous trouverez une grande variétés de plans et de développements, pour vous donner des idées
• Le wiki de l'agrég de l'ENS Rennes, aussi appelé la Minerve, sur laquelle vous trouverez ce que certains de vos prédécesseurs et prédecesseresses ont rédigé, ainsi que les liens vers leurs pages personnelles.
• La page d'Emily Clement, où vous pouvez trouver quelques documents utiles pour l'agrégation, mais surtout, certains polys pour vous aider à rattraper des cours sur lesquels vous auriez du retard ; attention, il faut tout de même apprendre à travailler avec les livres, mais certains, bien qu'ils soient intéressants, peuvent être très indigestes (je pense au Perrin, notamment), donc regarder les polys en parallèle n'est pas une mauvaise idée. Je recommande particulièrement le poly de théorie des groupes (sans lequel j'aurais eu un peu plus de mal à me lancer dans le Perrin), ainsi que celui de théorie des nombres (peut-être moins important, mais utile aussi).
• La page d'Aude Le Gluher
• La page d'Théo Pierron