\documentclass{article}
\usepackage{titling}
\author{Laura \textsc{Gay} d'apr\`es Pierre \textsc{Derennes}}
\include{preambule}


\newboxedtheorem{thm}{Théorème}{compteur4}
\newboxedtheorem{exe}{Exemple}{compteur5}


\renewenvironment{proof}[1][]{{\underline{\bfseries \proofname #1 :}\\~\\ }}{\hfill $\blacksquare$\\}

\begin{document}
\renewcommand{\proofname}{Preuve}

\begin{spacing}{2}
\setlength {\shadowsize }{2pt}
\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{15cm}
\centering     \begin{huge} 
\textsc{Théorèmes d'Abel angulaire et Taubérien faible}\end{huge}
\end{minipage}} \end{center}\end{spacing}
~\\


\underline{Référence :} \textsc{Gourdon} Analyse p. 252\\


\begin{thm}[Théorème d'Abel]
Soit $\sum{a_nz^n}$ une série entière de rayon de convergence\footnotemark $\geq 1$ telle que $\sum{a_n}$ converge.\\
 On note $f$ la somme de cette série entière sur le disque unité (ie $f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}{a_nz^n}$).\\
On fixe $\theta_0 \in [0,\frac{\pi}{2}[$ et on pose 
$$ \Delta_{\theta_0} = \left\{z \in \mathbb{C} ~\Big| ~ \abs{z}<1\;\; \text{et}\;\;\exists \rho > 0,\;\exists \theta \in [-\theta_0, \theta_0], z = 1-\rho \text{e}^{\text{i}\theta}\right\} $$
Alors on a:
\[ \lim_{ z \rightarrow 1 \atop{z \in \Delta_{\theta_0}}}f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty}{a_n} .\]
$$\includegraphics[scale=0.3]{images/abel.jpg}$$ 
\end{thm}
\footnotetext{redondant avec la suite}
~\\
\begin{proof}[ du Théorème 1] Notons $S = \sum_{n=0}^{+\infty}{a_n}$, $S_n = \sum_{k=0}^{n}{a_k}$ et $R_n = S-S_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.\\
Pour majorer $\abs{f(z)-S}$, on va effectuer une transformation d'Abel  en écrivant $a_n = R_{n-1}-R_n$ pour tout $n$. \\
Soit $z \in \mathbb{C}, \abs{z}<1$. Pour tout $N \in \mathbb{N}^*$, on a:
\begin{align*}
\left(\sum_{n=0}^N{a_nz^n}\right) - S_N &= \sum_{n=1}^{N}{(R_{n-1}-R_n)(z^n-1)} \\
&= \sum_{n=0}^{N-1}{R_n(z^{n+1}-1)} - \underbrace{\sum_{n=1}^{N}{R_n(z^n-1)}}_{=0 \text{ pour } n=0}\\
&= \sum_{n=0}^{N-1}{R_n(z^{n+1}-z^n)} - R_N(z^N-1) \\
&= (z-1)\sum_{n=0}^{N-1}{R_nz^n} - R_N(z^N-1)
\end{align*}
et en faisant tendre $N$ vers $+\infty$ on en déduit 
\begin{equation}
\underline{f(z) - S = (z-1)\sum_{n=0}^{+\infty}{R_nz^n} }
\label{1} \tag{$\star$} 
\end{equation} 
Fixons maintenant $\varepsilon > 0$, puis $N \in \mathbb{N}$ tel que $|R_n| < \varepsilon$ pour tout $n > N$ (possible car la série converge).\\
D'après \eqref{1}, on a pour tout $z \in \mathbb{C},\; \abs{z} < 1$,
\begin{equation*}
|f(z)-S| \leqslant \abs{z-1} \abs{\sum_{n=0}^N{R_nz^n}} + \varepsilon\abs{z-1}\left(\sum_{n=N+1}^{+\infty}{\abs{z}^n}\right) \leqslant \abs{z-1}\left(\sum_{n=0}^{N}{|R_n|}\right) + \varepsilon\frac{\abs{z-1}}{1-\abs{z}} \underbrace{\abs{z}^{N+1}}_{\leq 1}
\end{equation*} 
Soit $z \in \Delta_{\theta_0}$, de sorte que $z = 1-\rho \text{e}^{\text{i}\phi}$ avec $\rho > 0$ et $|\phi| \leqslant \theta_0$.\\
On a $\abs{z}^2 = (1-\rho \text{e}^{\text{i}\phi})(1-\rho \text{e}^{-\text{i}\phi})=1-2\rho \cos(\phi)+\rho^2$.\\
Comme on fait tendre $z$ vers 1, on peut prendre $\rho$ aussi petit qu'on veut, par exemple: $\rho \leqslant \cos(\theta_0)$. \\
On a  alors la majoration\footnote{en utilisant le fait que cos est décroissant sur $\left[ 0 , \frac{\pi}{2}\right]$}
\begin{align*}
\frac{\abs{z-1}}{1-\abs{z}} &= \frac{\abs{z-1}}{1-\abs{z}^2}(1+\abs{z}) \\
&= \frac{\rho}{2\rho \cos(\phi)-\rho^2}(1+\abs{z}) \\
&\leqslant \frac{2}{2\cos(\phi)-\rho} \\
&\leqslant \frac{2}{2\cos(\theta_0)-\cos(\theta_0)} = \frac{2}{\cos(\theta_0)}
\end{align*}
Choisissons maintenant $\alpha > 0$ tel que $\alpha\left(\sum_{n=0}^{N}{|R_n|}\right) < \varepsilon$. \\
D'après tout ce qui précède on a, $\forall z \in \Delta_{\theta_0},\;\abs{z-1} \leqslant \min(\alpha , \cos(\theta_0))$, \\
$$\abs{f(z)-S}\leqslant  \abs{z-1}\frac{\varepsilon}{\alpha} + \varepsilon\frac{2}{\cos(\theta_0)}  \leqslant \varepsilon + \varepsilon\frac{2}{\cos(\theta_0)} $$
\end{proof}

\textbf{Remarque:} La réciproque de ce théorème est fausse. \\
Par exemple, on a $\lim_{z\rightarrow 1 \atop{\abs{z}< 1}} \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^nz^n = \lim_{z\rightarrow 1 \atop{\abs{z}< 1}}\frac{1}{1+z} = \frac{1}{2}$ et pourtant $\sum{(-1)^n}$ diverge. \\
Cependant, le théorème suivant donne une réciproque affaiblie si $a_n = o \left( \frac{1}{n} \right)$.\\

\begin{thm}[Théorème Taubérien faible - 1897] 
Soit $\sum{a_nz^n}$ une série entière de rayon de convergence 1 et $f$ la somme de cette série entière sur le disque unité. On suppose que 
\[ \exists S \in \mathbb{C},\;\;\;\; \lim_{x\rightarrow 1 \atop{|x|< 1}} f(x) = S.\]
Si $a_n = o \left(\frac{1}{n} \right)$, alors $\sum{a_n}$ converge et $S = \sum_{n=0}^{+\infty}{a_n}$.
\end{thm}
~\\
\begin{proof}[ du Théorème 2] Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on note $S_n = \sum_{k=0}^na_k$. On a :
\[ \forall n \in \mathbb{N}^*,\;\forall x \in ]0,1[, \;\; S_n - f(x) = \sum_{k=1}^{n}{a_k \underbrace{(1-x^k)}_{>0}} - \sum_{k=n+1}^{+\infty}{a_kx^k} \]
De plus, \\
\begin{tabular}{rl} 
$\bullet$ &pour $x \in ]0,1[$, $(1-x^k) = (1-x)\underbrace{(1+x+\dots+x^{k-1})}_{ \leqslant k \times 1} \leqslant k(1-x)$ \\
$\bullet$ &lorsque $k \geqslant n+1$, $\frac{k}{n} \geqslant 1$, et donc $\abs{a_k} \leqslant \frac{k}{n} \abs{a_k}$
\end{tabular}  \\
Donc :
\[\abs{S_n - f(x)}\leqslant (1-x)\sum_{k=1}^{n}{k\abs{a_k}} + \sum_{k=n+1}^{+\infty}{\frac{k\abs{a_k}}{n}x^k} \leqslant (1-x)Mn + \frac{\underset{k>n}{\sup}~k\abs{a_k}}{n(1-x)} \]
où $M$ désigne un majorant de la suite $(k\abs{a_k})$ \footnote{Elle est bien majorée car tend vers 0 par hypothèse car $na_n \rightarrow 0$ donc $n \abs{a_n} \rightarrow 0$}. \\
Fixons maintenant $\varepsilon \in ]0,1[$. Par ce qui précède on a
\[ \forall n \in \mathbb{N}^*,  \abs{S_n - f(1-\frac{\varepsilon}{n})} \leqslant M\varepsilon + \frac{\underset{k>n}{\sup}~k\abs{a_k}}{\varepsilon} \]
donc si $N_0$ est choisi tel que $\underset{k>N_0}{\sup}~k\abs{a_k} < \varepsilon^2$ (on peut car $k\abs{a_k} \rightarrow 0$), on en déduit 
\[ \forall n \geqslant N_0,\;\;\; \abs{S_n - f(1-\frac{\varepsilon}{n})} \leqslant (M+1)\varepsilon \]
Or $f(x) \underset{x\rightarrow 1^-}{\longrightarrow} S$ donc il existe $N_1 \geqslant N_0$ tel que pour tout $n \geqslant N_1$, $\abs{f(1-\frac{\varepsilon}{n}) - S} < \varepsilon $. Ainsi,
\[ \forall n \geq N_1,\;\;\; \abs{S_n - S}\leqslant \abs{S_n - f(1-\frac{\varepsilon}{n})} + \abs{f(1-\frac{\varepsilon}{n}) - S} \leqslant (M+1)\varepsilon + \varepsilon = (M+2)\varepsilon \]
ie $S_n \rightarrow S$ \end{proof}


\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\
\checkmark ~\textbf{A l'oral}, il faut aller un peu vite, notamment sur l'énoncé des théorèmes. 14'38 allure normale). \\
\checkmark ~En appliquant le \textbf{Théorème 1} à $\sum \frac{(-1)^n}{2n+1}$ (qui vérifie bien les hypothèses), on en déduit:
$$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}= \lim_{x\rightarrow 1 \atop{x< 1}}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^n= \lim_{x\rightarrow 1 \atop{x< 1}} \arctan x= \arctan 1 = \frac{\pi}{4}$$\\
On peut également montrer par exemple$\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n}= \log 2$\\
\checkmark ~Si la série $\sum a_n$ CVA, le résultat du \textbf{Théorème 1} est évident. En effet, on a alors $\sum a_n z^n$ CVN (CV pour la norme infinie) sur $\abs{z} \leqslant 1$, donc par théorème est continue sur $\abs{z} \leqslant 1$, donc en 1.\\
\checkmark ~On peut généraliser le théorème Taubérien: théorème Taubérien fort ou théorème de Hardy-Littlewood.
\begin{thm}
Soit $(a_{n})$ une suite de réels vérifiant $\displaystyle a_{n}=O\left(\frac{1}{n}\right)$ en $+\infty$, telle que la série entière $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_{n}x^{n}$ ait un rayon de convergence $\geq 1$, et sa somme $F(x)$ vérifie $\displaystyle \lim_{x\to 1^{-}} F(x) = s$. Alors la série $\sum a_{n}$ converge et vaut $s$.
\end{thm}
$\clubsuit$ Niels \textsc{Abel} (1802 - 1829) -tuberculose- est un mathématicien norvégien. Il est connu pour ses travaux en analyse mathématique sur la semi-convergence des séries numériques, des suites et séries de fonctions, les critères de convergence d'intégrale généralisée, sur la notion d'intégrale elliptique ; et en algèbre, sur la résolution des équations. \\
$\clubsuit$ Alfred \textsc{Tauber} (1866 - 1942) -victime des exactions nazies, déporté en 1942- est un mathématicien slovaque. Professeur (assistant) d'analyse à Vienne, il se tourna vers la physique mathématique issue des travaux de \textsc{Poisson} sur la théorie du potentiel et fut par ailleurs recruté en tant que mathématicien par les assurances Phoenix (fondées en 1829).  Le nom de \textsc{Tauber} est principalement attaché à la mise en place de réciproques de divers critères de convergence d'intégrales et de séries, critère d'Abel.



\end{document}