\documentclass{article}
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\author{Laura \textsc{Gay}}
\include{preambule}
\usepackage{multirow}
\newboxedtheorem{defi}{Définition}{}
\newboxedtheorem{prop}{Proposition}{}
\newboxedtheorem{lem}{Lemme}{}
\newboxedtheorem{coro}{Corollaire}{}
\newboxedtheorem{thm}{Théorème}{}
\newboxedtheorem{appli}{Application}{}


\renewenvironment{proof}[1][]{{\underline{\bfseries \proofname #1 :}\\ }}{\hfill $\blacksquare$\\}

\newcommand{\Zi}{Z[\text{i}]}

\begin{document}
\renewcommand{\proofname}{Preuve}

\begin{spacing}{2}
\setlength {\shadowsize }{2pt}
\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{15cm}
\centering     \begin{huge} 
\textsc{{Action de Steinitz}}\end{huge}
\end{minipage}} \end{center}\end{spacing}
~\\



\underline{Référence :} H2G2 p.2 à 5 et 9 à 11.\\
\underline{Leçons :} 101,150,151,152. 

\begin{thm}
Soit $\K=\R$ ou $\C$. Posons $G=GL_m(\K)\times GL_n(\K)$. On considère l'action de Steinitz par équivalence définie par:
$$\fnc{}{G\times \mathcal{M}_{m,n}(\K)}{\mathcal{M}_{m,n}(\K)}{\left( (P,Q),M\right)}{PMQ^{-1}}$$
Alors:
\begin{enumerate}
\item Deux matrices $A$ et $B$ sont dans la même orbite ssi rg$(A)=\text{rg}(B)$.
\item On note $\mathcal{O}_r$ l'orbite des matrices de rang $r$ pour $r \in \llbracket 0, \min(m,n) \rrbracket$. Alors l'adhérence de $\mathcal{O}_r$ est donnée par $\overline{\mathcal{O}_r}=\bigsqcup_{k=0}^r \mathcal{O}_k$
\end{enumerate}
\end{thm}

\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item \begin{description}
\item[$\Rightarrow$] Soient $A$ et $B$ deux matrices équivalentes (ie dans la même orbite pour cette action). \\
Alors $\exists (P,Q) \in G$ tq $B=PAQ^{-1}$. Donc $A$ et $B$ expriment la même forme linéaire par changement de base. En effet:
\begin{pushright}
Soient $B_n$ une base de $\K^n$,$B_m$ une base de $\K^m$ et $\varphi : \K^n \rightarrow \K^m$ une application  linéaire telle que\footnote{Par ex, prendre les bases canoniques et $\varphi : X \in \K^n \mapsto AX\in \K^m$.} $A=\text{Mat}_{B_n,B_m}(\varphi)$ ie les colonnes de $A$ sont données par les vecteurs $\varphi(e_j)$ dans la base $B_m$.\\
Comme $(P,Q) \in G$, ce sont des matrices de changement de bases. Par exemple $P$ matrice de passage de $B_n$ à $B_n'$ et  $Q$ matrice de passage de $B_m$ à $B_m'$ avec $B_n'$ une base de $\K^n$ et $B_m'$ une base de $\K^m$.\\
Donc $B=PAQ^{-1}=\text{Mat}_{B_n',B_m'}(\varphi)$.
\end{pushright}
En particulier, rg$(A)=\dim \left(\text{Vect} (\text{ colonnes de }A) \right)=\dim (\text{Im}(\varphi))=\text{rg}(\varphi)$ et de même pour $B$. Donc rg$(A)=\text{rg}(B)$.
\item[$\Leftarrow$] Soit $A$ matrice de rang $r$. On garde les mêmes notations que précédemment ie $B_n$ une base de $\K^n$,$B_m$ une base de $\K^m$ et $\varphi : \K^n \rightarrow \K^m$ une application  linéaire telle que $A=\text{Mat}_{B_n,B_m}(\varphi)$. On note 
$$I_{m,n,r}=\begin{array}{cc} 
   \begin{pmatrix} 
I_r & 0\\
0& 0
   \end{pmatrix} 
&  \begin{array}{c} 
      \left. \rule{0pt}{1mm} \right\} \text{$r$ lignes} \\
      \left. \rule{0pt}{1mm} \right\} \text{$m-r$ lignes} 
   \end{array} 
\\ 
   \underbrace{\rule{1mm}{0pt}}_{\text{$r$ col.}} \underbrace{\rule{1mm}{0pt}}_{\text{$n-r$ col.}} 
& 
\end{array} \in \mathcal{M}_{m,n}(\K)$$
Il suffit de montrer que $A$ est équivalente à $I_{m,n,r}$. Alors $B$ le sera aussi donc $A$ et $B$ le seront. \\
Soit $(e_1'',\cdots,e_s'')$ une base de Ker$(\varphi)$ que l'on complète en une base de $\K^n$ notée $e'=(e_1',\cdots,e_t',e_1'',\cdots,e_s'')$ avec $t+s=n$ et $t$ est donc le rang de $\varphi$.  
\end{description}
\item 
\end{enumerate}
\end{proof}


\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\
\checkmark ~\textbf{A l'oral}, \\
$\clubsuit$ ~Ernst \textsc{Steinitz} (1871 – 1928) est un mathématicien allemand. La thèse de Steinitz portait sur les configurations projectives.



\end{document}