\documentclass{article}
\usepackage{titling}
\author{Laura \textsc{Gay}}
\include{preambule}

\newboxedtheorem{thm}{Théorème}{}
\newboxedtheorem{defi}{Définition}{}
\newboxedtheorem{lem}{Lemme}{compteur1}
\newboxedtheorem{prop}{Proposition}{compteur2}
\newcommand{\IN}{\N}


\renewenvironment{proof}[1][]{{\underline{\bfseries \proofname #1 :}\\~\\ }}{\hfill $\blacksquare$\\}

\begin{document}
\renewcommand{\proofname}{Preuve}

\begin{textblock*}{3cm}(40mm,10mm) 
\includegraphics[scale=0.15]{images/burn.jpg} 
\end{textblock*} 

\begin{spacing}{2}
\setlength {\shadowsize }{2pt}
\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{15cm}
\centering     \begin{huge} 
\textsc{Théorème de Burnside}\end{huge}
\end{minipage}} \end{center}\end{spacing}
~\\


\underline{Référence :} \textsc{FGNal2} p. 185 exercices 3.8 et 2.28 (mais ça change...)\\

\begin{defi}
Un sous-groupe $G$ de $GL_n(\C)$ est d'exposant fini $N \in \N$ si $\forall A \in G~,~ A^N=I$.
\end{defi}
\begin{thm}[Théorème de Burnside - 1905]
~\hspace{-4.5mm} Tout sous-groupe de ${GL}_n(\mathbb{C})$ d'exposant fini est fini.
\end{thm}
~\\
\begin{proof}[ du Théorème]
Soit $G$ un sous-groupe de $GL_n(\mathbb{C})$ d'exposant fini $N$. \\
Soit $(M_i)_{1\leqslant i\leqslant m} \in G^m$ une base de $\text{Vect}(G)$. Cela est bien possible car Vect$(G)$ est le sous-espace de $\MnC$ engendré par $G$ qui est en particulier un $\C$-espace vectoriel de dimension finie, comme sous-espace vectoriel de $\MnC$.\\
Enfin, soit
\[ f: \begin{array}{ll} G \longrightarrow \mathbb{C}^m \\
                   A \longmapsto (\tr(AM_i))_{1\leq i\leq m}
									\end{array} \]
\begin{description}
\item[Préliminaire] Toutes les matrices de $G$ sont diagonalisables.\\
En effet, toute matrice de $G$ est annulée par le polynôme $X^N - 1$ qui est scindé à racines simples dans $\C$. Donc toute matrice de $G$ est diagonalisable (dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$). \\
\item[Etape 1] On montre que si $f(A)=f(B)$ pour $A,B\in G$, alors $AB^{-1}-I$ est nilpotente.\\
Par linéarité de la trace, on a $\tr(AM) = \tr(BM)$ pour tout matrice $M \in \text{Vect}(G)$ et en particulier pour toute matrice de $G$.\\
Soient $D=AB^{-1}$ et $k \in \mathbb{N}^*$. On a: 
\[\tr(D^k) = \tr(A\underbrace{B^{-1}D^{k-1}}_{\in G}) = \tr(BB^{-1}D^{k-1}) = \tr(D^{k-1})\]
Il en résulte que pour tout $k \in \mathbb{N}$ ($k=0$ est évident), $\tr(D^k) = \tr(I) = n$.\\
Donc, pour tout $k \geqslant 1$,
\[ \tr((D-I_n)^k) = \tr\left(\sum_{j=0}^{k}{\binom{k}{j}(-1)^jD^{k-j}}\right) =\sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j}(-1)^j \tr\left({D^{k-j}}\right) = n\sum_{j=0}^{k}{\binom{k}{j}(-1)^j} =(1-1)^k = 0\]
Ainsi, par la \textbf{Proposition 1}, $D-I$ est nilpotente.\\
\item[Etape 2] Montrons que $f$ est injective.\\
D'après les préliminaires, comme $D \in G$, $D$ est diagonalisable. Donc $D-I$ est aussi diagonalisable. Comme elle est nilpotente d'après l'étape 1, elle est nécessairement nulle ie $D=I$ i.e $A = B$ ce qui montre l'injectivité de $f$.\\
\item[Etape 3] Conclusion \\
Il reste à montrer que l'image de $f$ est finie, et par injectivité de $f$, $G$ sera fini.\\
Or Im$(f) \subset \mathcal{X}^m$ où $\mathcal{X}$ est l'ensemble des traces des éléments de $G$. \\
Mais $\mathcal{X}$ est fini. En effet, vu ce qui précède, les valeurs propres des éléments de $G$ appartiennent à l'ensemble fini des racines $N$-ièmes de l'unité (et la trace c'est la somme des v.p comptées avec multiplicités)\footnote{voir la note sur les cardinaux pour s'en convaincre}.
\end{description}
\end{proof}
~\\

\begin{prop}Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telle que $\forall k \in \mathbb{N}^*,\;\;\tr(A^k) = 0$. Alors A est nilpotente.\end{prop}
~\\
\begin{proof}[ de la Proposition 1]
Le polynôme caractéristique de $A$ est scindé sur $\mathbb{C}$ (d'Alembert-Gauss). \\
Raisonnons par l'absurde et supposons que $A$ n'est pas nilpotente. Alors $A$ admet des valeurs propres (complexes) non nulles (car si toutes les vp de $A$ étaient nulles, elle serait nilpotente).\\
On note $\lambda_1,...,\lambda_r$ ces valeurs propres distinctes non nulles de $A$ ($r \geq 1$) et $n_1,...,n_r$ leur multiplicités respectives (non nulles) .

On sait donc que $A$ est semblable à $T \in \mathcal{M}_n(\C)$ triangulaire de diagonale $(\underbrace{\lambda_1,\ldots,\lambda_1}_{n_1},\ldots,\underbrace{\lambda_r,\ldots,\lambda_r}_{n_r},0,\ldots,0)$.\\
Ainsi, pour tout $k \geq 1$, on a
\[0 = \tr(A^k) = n_1\lambda_1^k + ... + n_r\lambda_r^k\]
Si on écrit ces relations pour $k$ variant de 1 à $r$, on obtient que $(n_1,...,n_r)$ est solution du système linéaire suivant:
\[ \underbrace{\begin{pmatrix}
\lambda_1 & \lambda_2 & \cdots & \lambda_r\\
\lambda_1^2 & \lambda_2^2 & \cdots & \lambda_r^2\\
\vdots & & & \vdots \\
\lambda_1^r & \lambda_2^r & \cdots & \lambda_r^r
\end{pmatrix}}_{M}\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
\vdots \\
x_r
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0\\
0\\
\vdots \\
0
\end{pmatrix}.\]
Or, $M$ est inversible car son déterminant vaut (avec la \textbf{Proposition 2}):
\[ \lambda_1\cdots\lambda_r\prod_{1\leq i<j \leq r}(\lambda_j - \lambda_i) \neq 0\]
car les $\lambda_i$ sont non nuls et tous distincts.\\
Nécessairement $n_1 = ... = n_r = 0$ ce qui est absurde.
\end{proof}

\begin{prop}[Déterminant de Vandermonde]
Soit $x_1, \dots, x_n$ des scalaires.\\
On a, pour $n \geqslant 2$, $V (x_1, \dots, x_n) = \begin{vmatrix}
  1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-2} & x_1^{n-1} \\
  1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-2} & x_2^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
  1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-2} & x_n^{n-1}
\end{vmatrix}= \prod_{1 \mathop \leqslant i \mathop < j \mathop \leqslant n} \left({x_j - x_i}\right)$
\end{prop}
~\\
\begin{proof}[ de la Proposition 2]
(exercice 1.10)\\
Si deux des $x_i$ sont égaux, $V (x_1, \dots, x_n)=0$ (deux lignes égales). Le résultat est clair.\\
Supposons donc les $x_i$ deux à deux distincts et posons
$$P(X)=V (x_1, \dots, x_{n-1},X)=\begin{vmatrix}
  1 & x_1 & x_1^2 & \cdots  & x_1^{n-1} \\
  1 & x_2 & x_2^2 & \cdots  & x_2^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots \\
  1 & X & X^2 & \cdots  & X^{n-1}
\end{vmatrix}$$
C'est un polynôme de degré au plus $n-1$ (degré en $X$ qui sera au maximum à la puissance $n-1$). En développant, par rapport à la dernière ligne, on remarque que le coefficient devant $X^{n-1}$ est $V (x_1, \dots, x_{n-1})$. \\
De plus, si on substitue l'un des $x_i$ à $X$ pour $1 \leqslant i \leqslant n-1$, deux lignes sont identiques et $P(x_i)=0$. \\
Ainsi, les $x_i$ étant 2 à 2 distincts, on a que $P$ est divisible par $\prod_{i=1}^{n-1} \left({X - x_i}\right)$, polynôme unitaire de degré $n-1$.\\
Cela nous donne
$$ P(X)=V (x_1, \dots, x_{n-1})\prod_{i=1}^{n-1} \left({X - x_i}\right)$$
et en particulier
$$ V (x_1, \dots, x_n)=P(x_n)=V (x_1, \dots, x_{n-1})\prod_{i=1}^{n-1} \left({x_n - x_i}\right)$$
La formule s'en déduit par récurrence évidente:\\
- $n=2$: $V(x_1)=x_2-x_1$\\
- Supposons la formule vraie en $n-1$ ie $V (x_1, \dots, x_{n-1})= \prod_{1 \mathop \leqslant i \mathop < j \mathop \leqslant n-1} \left({x_j - x_i}\right)$\\
Alors, par ce que l'on vient de montrer, 
\begin{eqnarray*}
V (x_1, \dots, x_n) &=& V (x_1, \dots, x_{n-1})\prod_{i=1}^{n-1} \left({x_n - x_i}\right)\\
&=& \prod_{1 \mathop \leqslant i \mathop < j \mathop \leqslant n-1} \left({x_j - x_i}\right) \prod_{i=1}^{n-1} \left({x_n - x_i}\right)\\
&=& \prod_{1 \mathop \leqslant i \mathop < j \mathop \leqslant n} \left({x_j - x_i}\right)
\end{eqnarray*}
Ce que l'on voulait démontrer. \end{proof}



\vspace{2cm}

\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\
\checkmark ~\textbf{A l'oral}, on fait Vandermonde s'il reste du temps.\\
\checkmark ~$\det(A)=\det({~^tA})$ (se montre avec la formule avec les permutations).\\
\checkmark ~La démonstration nous donne par ailleurs une majoration sur l'ordre de $G$. En effet, on a :\\
– $\abs{G}\leqslant \abs{\mathcal{X}}^m$\\
– $m \leqslant n^2$\\
– $|\mathcal{X}| \leqslant N^n$ ($N$ choix pour chaque vp - $n$ vp)\\
D'où, $\abs{G} \leqslant N^{n^3}$\\
$\clubsuit$ William \textsc{Burnside} (1852 - 1927) est un mathématicien anglais. Ses premiers travaux en hydrodynamique le conduisent à étudier les fonctions elliptiques, et de là, à se consacrer à partir de 1894 à la théorie des groupes : son livre de 1897 sur la théorie des groupes finis est toujours un classique.\\
\checkmark ~[Merci Floflo] En 1902, William Burnside pose le problème suivant ``Est-ce que les groupes de torsion de type fini sont tous finis ?'' (c'est le problème de Burnside). Un rappel : un groupe de torsion est un groupe dont tous les éléments sont d'ordre fini. Par Lagrange, les groupes finis sont de torsion ; mais il existe des groupes infinis qui soient de torsion, comme $\sfrac{\Q}{\Z}$ par exemple. La question de Burnside se réécrit alors ``Est ce que les groupes possédant un nombre fini de générateurs et dont tous les éléments sont d'ordre fini sont tous finis ?'' Conscient de la difficulté de sa conjecture, il en émet une plus faible, dite ``bornée'' : ``Est-ce que les groupes d'exposant fini possédant un nombre fini de générateurs sont tous finis ?'' Remarque : $\sfrac{\Q}{\Z}$ est de torsion, mais il n'est pas d'exposant fini.
En 1905, il démontre que tout sous-groupe d'exposant fini de $GL_n(\C)$ est fini, sans supposer qu'il soit de type fini (c'est ce développement). Un énoncé équivalent est que toute représentation d'un groupe d'exposant fini dans un espace vectoriel complexe de dimension finie est d'image finie. Ceci met en évidence la difficulté de construire un contre-exemple à sa conjecture : il faut, d'après son théorème, qu'un tel groupe n'ait aucune représentation fidèle de degré fini. En 1911, Issai Schur va même plus loin en montrant que tout sous-groupe de torsion de type fini de $GL_n(\C)$ est fini, donnant un résultat analogue à celui de 1905 pour la version ``non-bornée'' de la conjecture. C'est en 1964 que la conjecture de Burnside est réfutée pour sa version ``non-bornée'', puis en 1968 pour la version ``bornée''. Ces résultats des années 1960 ont apporté des contre-exemples uniquement pour des groupes d'exposant impair ; c'est en 1992 qu'un contre-exemple d'exposant pair a été construit. On sait aujourd'hui construire pour tout entier $n$ impair supérieur ou égal à 665 un groupe infini de type fini et d'exposant $n$, et on sait qu'il existe un entier $n$ supérieur ou égal à $2^{48}$ et divisible par $2^9$, tel qu'il existe un groupe infini de type fini et d'exposant $n$. D'autres résultats ont été montré à propos de cette conjecture, mais il reste encore aujourd'hui des problèmes ouverts à ce sujet. En conclusion, l'intérêt du théorème de 1905 est d'avoir apporté une condition nécessaire que doit vérifier un contre-exemple à la conjecture bornée de 1902.

\end{document}
