\documentclass{article}
\usepackage{titling}
\author{Laura \textsc{Gay} d'apr\`es Florian \textsc{Lemonnier} }
\include{preambule}
\include{preambuleflo}

\newboxedtheorem{defi}{Définition}{}
\newboxedtheorem{prop}{Proposition}{compteur2}
\newboxedtheorem{lem}{Lemme}{}
\newboxedtheorem{coro}{Corollaire}{compteur3}
\newboxedtheorem{thm}{Théorème}{}
\newboxedtheorem{exe}{Exemple}{compteur5}

\newcommand{\diff}{\mathrm{d}}
\renewenvironment{proof}[1][]{{\underline{\bfseries \proofname #1 :}\\ }}{\hfill $\blacksquare$\\}

\begin{document}
\renewcommand{\proofname}{Preuve}
\begin{spacing}{2}
\setlength {\shadowsize }{2pt}
\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{15cm}
\centering     \begin{huge} 
\textsc{Sous-groupes distingués et caractères}\end{huge}
\end{minipage}} \end{center}\end{spacing}
~\\



\underline{Référence :} \textsc{Ulmer} p.158+ \textsc{Peyré} p.227\\

\begin{lem}
Soit $\rho : G \rightarrow GL(V)$ une représentation de $G$ de caractère $\chi$.\\
Alors $\Ker\ \chi = \Ker\ \rho$.
\end{lem}

\begin{proof}~\\
Soit $g \in G$, par Lagrange, $g^{\#G}=\erm$ donc $\rho(g)^{\#G}=\rho(g^{\#G})=\rho(\erm)=\erm$ donc $\rho(g)$ est d'ordre fini divisant $\# G$, donc est diagonalisable ; on peut même dire que ses valeurs propres, qu'on nomme $\lambda_j$, où $j \in [\![1, \dim V]\!]$, sont des racines de l'unité et donc de module 1.\\
On en déduit $\dst \chi(g) = \sum_{i=1}^{\dim V}{\lambda_j}$, ce qui fournit : $\dst |\chi(g)| \leq \sum_{j=1}^{\dim V}{\left|\lambda_j\right|} = \dim V = \chi(\erm)$.\\
Mais le cas d'égalité dans cette inégalité triangulaire est $\lambda_1 = \ldots = \lambda_{\dim V}$.\\
Ainsi : $\chi(g) = \chi(\erm) \Leftrightarrow \lambda_1 = \ldots = \lambda_{\dim V} = 1 \Leftrightarrow \rho(g) = \Id_V \Leftrightarrow g \in \Ker\ \rho$.
\end{proof}

\begin{thm}
Soit $G$ un groupe fini de caractères irréductibles $\chi_1, \ldots, \chi_m$.\\
Alors les sous-groupes distingués de $G$ sont les $\dst \bigcap_{j \in J}{\Ker\ \chi_j}$, où $J \subset [\![1,m]\!]$.
\end{thm}


\begin{proof}
\begin{description}
\item[Étape 1 :] Soit $H \triangleleft G$.\\
      On considère l'action par translation à gauche de $G$ sur $\sfrac{G}{H}$ dont on note $\fnc{\varphi}{G}{\Sfrak_{ \sfrac{G}{H}}}{g}{(xH\mapsto gxH)} $ le morphisme structurel.\\
			Soit alors $\chi$ le caractère associé à la représentation par permutations $\fnc{\rho_{\text{p},\varphi}}{G}{GL_{\abs{G/H}}(\C)}{g}{\big(v_i \mapsto v_{\varphi(g)(i)}\big)}$\\
			Le \textbf{Lemme} nous donne que : $\Ker\ \chi = \Ker \rho_{\text{p},\varphi} = \Ker \varphi =\footnote{Si on a du mal à le voir on l'écrit $\Ker \varphi = \{ g \in G / \varphi(g) =Id\}=\{ g \in G / \forall xH \in \sfrac{G}{H} gxH=xH\}=\{ g \in G / \forall xH \in \sfrac{G}{H}, g=xHx^-1\}=H$ en utilisant le fait que $H$ est distingué } H$.\\
			Les sous-groupes distingués de $G$ sont donc les noyaux des caractères de $G$. 
\item[Étape 2 :] On va exprimer les noyaux des caractères de $G$ en fonction des noyaux des caractères irréductibles de $G$.\\
      Soit $\chi$ un caractère de $G$, associé à la représentation $\rho : G \rightarrow \GL(V)$.\\
			On décompose alors $V$ en somme directe de sous-représentations irréductibles : $\dst V = \bigoplus_{i=1}^s{\underbrace{V_i \oplus \ldots \oplus V_i}_{a_i \text{ fois}}}$, avec $V_1, \ldots, V_s$ représentations irréductibles ``distinctes'' de $G$, de caractères associés $\chi_1, \ldots, \chi_s$.\\
			On a alors, en réutilisant le \textbf{Lemme} : $g \in \Ker\ \chi \Leftrightarrow g \in \Ker\ \rho \Leftrightarrow \forall i \in [\![1,s]\!], g \in \Ker\ {\rho}|_{V_i} \Leftrightarrow \forall i \in [\![1,s]\!], g \in \Ker\ \chi_i$.\\
			Donc $\dst \Ker\ \chi = \bigcap_{i=1}^s{\Ker\ \chi_i}$.
\end{description}
\end{proof}

\noindent
On va appliquer ce résultat à $\Dcal_6$. Commençons par déterminer sa table de caractères.

\begin{description}
\item[Étape 1 :] On va chercher d'abord tous ses caractères irréductibles de degré 1 ; ce sont les morphismes de groupes de $\Dcal_6 \rightarrow \IC^*$.\\
      Nécessairement, si $\chi$ est un caractère de degré 1 de $\Dcal_6$, on a : $\chi(s)^2 = \chi(\erm) = 1$ et donc $\chi(s) = \pm 1$.\\
			Mais aussi, $\chi(sr)^2 = 1$ et donc $\chi(s) \chi(r) \chi(s) \chi(r) = 1$, d'où $\chi(r) = \pm 1$.\\
			Il y a donc 4 candidats possibles pour être une représentation parmi ces applications, il resterait à vérifier que ce sont bien des morphismes de groupes de $\Dcal_6 \rightarrow \IC^*$. \\
\item[Étape 2 :] Les autres caractères de $\Dcal_6$ sont nécessairement de degré supérieur ou égal à 2.\\
      La relation reliant degrés des caractères irréductibles et cardinal du groupe, $\dst \sum_{i \in I}{n_i^2} = \# G$, nous indique qu'il nous reste à trouver 2 caractères irréductibles de degré 2.\\
			On aura alors la table de $\Dcal_6$.
\item[Étape 3 :] On pose $\dst \omega = \erm^{\frac{\irm \pi}{3}}$, autrement dit $\omega^2=\jrm$ et pour $h \in \{1,2\}$ : 
      $$\rho_h\left(r^k\right) = \left(\begin{array}{cc} \omega^{hk} & 0 \\ 0 & \omega^{-hk} \end{array} \right)\text{~~~et~~~}\rho_h\left(sr^k\right) = \left(\begin{array}{cc} 0 & \omega^{-hk} \\ \omega^{hk} & 0 \end{array} \right)$$
			On devrait vérifier que $\rho_h : \Dcal_6 \rightarrow GL\left(\IC^2\right)$ est bien un morphisme de groupes, ie, une représentation.\\
			On note alors $\chi_h$, pour $h \in \{1,2\}$, le caractère de $\rho_h$.\\
			$\begin{aligned} \dst \text{On a : } \# \Dcal_6 \langle \chi_h, \chi_h \rangle
			         &= \sum_{k=0}^5{\left(\chi_h\left(r^k\right)^2 + \chi_h\left(sr^k\right)^2\right)}
							 = \sum_{k=0}^5{\left(\omega^{hk}+\omega^{-hk}\right)^2}
							 = \sum_{k=0}^5{\omega^{2hk}} + 2 \times 6 + \sum_{k=0}^5{\omega^{-2hk}}\\
							 &= 12 + 4 \left(1+\jrm+\jrm^2\right) = 12. \end{aligned}$\\
							 L'avant dernière égalité se voit sur un dessin mais sinon on peut l'écrire en détaillant tout.
			Donc $\chi_1$ et $\chi_2$ sont bien irréductibles.\\
			Voici la table des caractères irréductibles de $\Dcal_6$.
			\begin{center}
			\begin{tabular}{>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{4cm}}
	&\fbox{1}		& \fbox{5} & \fbox{6} \tabularnewline
			                 &    e$=r^0$    & $r^k$                                 & $sr^k$  & \text{Ker}     \tabularnewline \hline
										$\psi_1$ & 1&1                                     & 1        &  $\Dcal_6$   \tabularnewline \hline
						          $\psi_2$ & 1  &1                                   & $-1$      & $\langle r \rangle$  \tabularnewline \hline
											$\psi_3$&1 & $(-1)^k$                              & $(-1)^k$  &  $\langle r^2, sr^2 \rangle=\langle r^2, s \rangle$ \tabularnewline \hline
											$\psi_4$&1 & $(-1)^k$                              & $(-1)^{k+1}$ & $\langle r^2, sr\rangle$ \tabularnewline \hline
                      $\chi_1$ &2& $2 \cos \left(\frac{k\pi}{3}\right)$  & 0          &  $k=6$ donc  $\{\erm\}$ \tabularnewline \hline
											$\chi_2$ &2& $2 \cos \left(\frac{2k\pi}{3}\right)$ & 0	      &  $k=3$\text{ donc } $\langle r^3 \rangle = \{\erm,r^3\} $  \end{tabular}
			\end{center}
\end{description}

\fbox{\begin{minipage}{17cm}Les sous-groupes distingués de $\Dcal_6$ sont donc : $\Dcal_6$, $\langle r \rangle$, $\langle sr^2,r^2 \rangle$, $\langle sr,r^2 \rangle$, $\{\erm\}$, $\langle r^3 \rangle$ et $\langle r^2 \rangle$ (ce dernier étant l'intersection des noyaux de $\psi_2$ et $\psi_3$ par exemple).\end{minipage}}

\vspace{1cm}

\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\
\checkmark ~\textbf{A l'oral}, on voit ce qu'on détaille de la table selon le temps qu'il reste. 14'03 vite.



\end{document}