<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass{article}
\setlength{\parindent}{0cm}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{color}
\usepackage{dsfont}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[absolute]{textpos} 
\usepackage{amssymb}
\usepackage{array}
\everymath{\displaystyle}
\usepackage[nocut, leftmargin=0.5cm]{thmbox}
\makeatletter
\def\newboxtheorem{%
  \@ifstar\thmbox@new@star\newboxtheorem@nostar}%
\def\newboxtheorem@nostar{%
  \@ifnextchar[{\thmbox@newA}{\thmbox@newA[]}}%
\def\thmbox@new@star{%
  \@ifnextchar[{\thmbox@new@star@A}{\thmbox@new@star@A[]}}%
\def\thmbox@new@star@A[#1,#2]#3#4{%
  \expandafter\def\csname#3\endcsname{%
    \setkeys{thmbox}{#1,#2}%
    \@ifnextchar[{\thmbox@star@beginA{#4}{}}{%
      \thmbox@star@begin{#4}{\unskip}{}}}%
  \expandafter\def\csname end#3\endcsname{%
    \endthmbox\smallbreak}}
\def\thmbox@star@beginA#1#2[#3]{%
   \thmbox@star@begin{#1}{#2}{\thmbox@titlestyle{#3}}{}}
\def\thmbox@star@begin#1#2#3{% 
  \medbreak
  \thmbox{\thmbox@headstyle{#1}{\unskip}#3}%
  ~
  \thmbox@bodystyle{#2}{\unskip}\ignorespaces}
\let\newtheorem\newboxtheorem
\makeatother

\newtheorem*[bodystyle=\upshape, M]{thm}{ThÃ©orÃ¨me}
\newtheorem*[bodystyle=\upshape, S]{defi}{DÃ©finition}
\newtheorem[bodystyle=\upshape, S]{lem}{Lemme}
\newtheorem*[bodystyle=\upshape, S]{coro}{Corollaire}


\makeatletter
\renewcommand\theequation{\thesection.\arabic{equation}}
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother

\topmargin-1.5cm
\textheight25cm
\textwidth17.6cm
\oddsidemargin-1cm
\evensidemargin0cm
\pagestyle{plain}



\newcommand*{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand*{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand*{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand*{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand*{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand*{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand*{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand*{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand*{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand*{\e}{\text{e}}
\newcommand*{\tr}{\text{tr}}
\newcommand*{\MnR}{\mathcal M_n(\R)}
\newcommand*{\MnC}{\mathcal M_n(\C)}
\newcommand*{\GlnR}{Gl_n(\R)}
\newcommand*{\GlnC}{Gl_n(\C)}
\newcommand*{\T}[1]{\text{#1}}
\newcommand*{\SnR}{S_n(\R)}
\newcommand*{\SnppR}{S_n^{++}(\R)}
\newcommand*{\OnR}{\mathcal O_n(\R)}
\newcommand*{\HnC}{\mathcal H_n(\R)}
\newcommand*{\HnppC}{\mathcal H_n^{++}(\R)}
\newcommand*{\UnC}{U_n(\C)}
\newcommand*{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} %norme
\newcommand*{\abs}[1]{\vert#1\vert} %valeur absolue
\newcommand{\Acal}{\mathcal{A}} 

\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}

\begin{document}

\begin{textblock*}{3cm}(25mm,10mm) 
\includegraphics[scale=0.25]{images/shannon.jpg} 
\end{textblock*} 

\begin{center}
\begin{huge}
Echantillonnage de Shannon\\
\end{huge}
\vspace{0.5cm}
Laura \textsc{Gay}\\
\vspace{1cm}
\end{center}



\underline{RÃ©fÃ©rence :} \textsc{Willem} : Analyse harmonique rÃ©elle p. 126-128\\
~\\
\underline{Introduction :} Les fonctions de $L^2(\R)$ dont la transformÃ©e de Fourier s'annule en dehors d'un intervalle compact $[-c,c]$ correspondent aux signaux Ã&nbsp; spectre bornÃ©. Ces fonctions jouent un rÃ´le important dans les applications et possÃ¨dent des propriÃ©tÃ©s remarquables. Par dilatation, nous pouvons toujours nous ramener au cas oÃ¹ $c=\frac12$. \\
~\\

\begin{defi}[p. 51]
$\mathcal C_0(\mathbb R)=\{u \in \mathcal C_b(\mathbb R) \text{ telles que } \lim_{\abs{x} \rightarrow \infty} \abs{u(x)}=0\}$ ``vanishing at infinity".\\
Cet ensemble est muni de $\norm{\cdot}_{\infty}$. On montre (exercice p. 62) que $\mathcal C_0(\mathbb R)$ est fermÃ© dans $\mathcal C_b(\mathbb R)$.\\
On a $\mathcal S(\R)\subset \mathcal C_0(\mathbb R)$ (par la deuxiÃ¨me dÃ©finition).
\end{defi}

\begin{lem}[p. 120]
Si $u\in L^1(\mathbb R)$, alors $\hat u\in \mathcal C_0(\mathbb R)$ et :
\[\norm{\hat u}_\infty \leqslant \norm{u}_1\] \end{lem}

\textbf{\underline{Preuve du Lemme 1}}\\
~\\
Soit $u\in L^1(\mathbb R)$. Pour $y\in \R$, on a :
\[\abs{\hat u(y)} \leqslant \int_{\R} \abs{u(x)}\mathrm dx=\norm{u}_1\]
donc $\norm{\hat u}_\infty \le \norm{u}_1$.

Par densitÃ© de $\mathcal D(\R)\subset L^1(\R)$ dans $L^1(\R)$, il existe une suite $(u_n)$ de $\mathcal D(\R)$ convergeant vers $u$ dans $L^1(\R)$. Donc $u-u_n \in L^1(\R)$ et, en appliquant l'inÃ©galitÃ© qu'on vient d'obtenir, on a:
\[\norm{\hat u-\widehat{u_n}}_\infty \leqslant  \norm{u-u_n}_1 \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} 0\]
De plus, $u_n\in \mathcal S(\R)$ donc $\widehat{u_n}\in \mathcal S(\R) \subseteq \mathcal C_0(\R)$. Or $\mathcal C_0(\R)$ est fermÃ© dans $\mathcal C_b(\R)$ (pour la $\norm{\cdot}_{\infty}$) donc $\hat u\in \mathcal C_0(\R)$. \hfill $\blacksquare$ 

\vspace{1cm}

\begin{defi}
On dÃ©finit :
\[BL^2:=\left\{u\in L^2(\mathbb R)\ /\ \text{supp } \hat u \subseteq \mathbb I\right\} \text{ oÃ¹ } \mathbb I:=\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]\]
Il est muni du produit scalaire usuel $\langle  u, v \rangle = \int_{\R} u \bar{v}$.
\end{defi}

\begin{lem} $BL^2$ est un espace de Hilbert.\end{lem}

\textbf{\underline{Preuve du Lemme 2}}\\
~\\
Pour montrer que $BL^2$ est complet, il suffit de prouver que c'est un sous-espace fermÃ© de $L^2(\R)$.\\
Soit $(u_n)_n$ une suite de $BL^2$ convergeant vers $u$ dans $L^2(\R)$.\\
Par continuitÃ© de la transformATION de Fourier dans $L^2(\R)$, $\widehat{u_n} \rightarrow \hat u$ dans $L^2(\R)$, donc en particulier dans $L^2(\Omega)$ oÃ¹ $\Omega:=\R \setminus \mathbb I$.\\
Par dÃ©finition de $BL^2$, $\widehat {u_n}_{|\Omega}=0$, donc $\hat u_{|\Omega}=0$ et $u\in BL^2$. \hfill $\blacksquare$

\begin{defi}
On dÃ©finit aussi le sinus-cardinal, fonction paire sur $\mathbb R$ par     $\text{sinc }x:=\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\sin \pi x}{\pi x} \text{ si } x\neq 0\\
1 \text{ sinon}
\end{array}
\right.$ \\
\end{defi}
\vspace{0.5cm}
\begin{thm}[ThÃ©orÃ¨me d'Ã©chantillonnage - 1949]
$BL^2$ vÃ©rifie les propriÃ©tÃ©s suivantes :
\begin{enumerate}
\item Tout $u\in BL^2$ possÃ¨de un reprÃ©sentant dans $\mathcal C_0(\mathbb R)$ (i.e. $u$ est p.p. Ã©gale Ã&nbsp; une fonction de $\mathcal C_0(\R)$) et $\norm{u}_\infty \leqslant \norm{u}_2$.
\item La suite $(\text{sinc}(\cdot-k))_{k\in \mathbb Z}$ est une base hilbertienne de $BL^2$.
\item ~[ThÃ©orÃ¨me d'Ã©chantillonnage de Shannon] Pour $u\in BL^2$,
\[u(x)=\sum_{k\in \mathbb Z} u(k)\text{sinc}(x-k),\]
la sÃ©rie convergeant uniformÃ©ment et dans $L^2(\mathbb R)$.
\end{enumerate}
\end{thm}
\vspace{1cm}


\textbf{\underline{Preuve du ThÃ©orÃ¨me}}\\
\begin{enumerate}
\item Soit $u\in BL^2$. Par dÃ©finition, $\hat u\in L^2(\mathbb I)$ donc $\hat u\in L^1(\mathbb I)$ ($\mathbb I$ de mesure finie donc on a inclusion dans les $L$). $\hat u=0$ en dehors de $\mathbb I$ donc $\hat u\in L^1(\R)$.\\
Par le \textbf{Lemme 1}, $\hat{\hat u}=u(- \cdot) \in \mathcal C_0(\R)$ donc $u$ a un reprÃ©sentant dans $\mathcal C_0(\R)$.\\
Par inversion de Fourier dans $L^2$, on a aussi :
$$u(x)=\int_{\R}\hat u(y)\T{e}^{2\T{i}\pi xy}\mathrm dy =\int_{\mathbb I}\hat u(y)\T{e}^{2\T{i}\pi xy}\mathrm dy \qquad \text{p.p.}$$


On dÃ©duit aussi de l'inÃ©galitÃ© de Cauchy-Schwarz et de l'Ã©galitÃ© de Plancherel que, pour $x\in \R$,
\[\abs{u(x)} \leqslant \norm{\hat u}_{L^2(\mathbb I)} \times \lambda(\mathbb{I})=\norm{\hat u}_{L^2(\mathbb I)}=\norm{\hat u}_{L^2(\R)}=\norm{u}_{L^2(\R)}\]
donc
\[\norm{u}_\infty \leqslant \norm{u}_2\]

\bigskip
\item Posons $e_k(x):=\e^{2\T{i}\pi kx}\mathds{1}_{\mathbb{I}}(x) \in L^2(\R)$ \\

On remarque que $\widehat{e_k}=\T{sinc}(\cdot-k)$.\\
En effet, $ \widehat{e_k}(k)=\int_{\R} e_k(x)\e^{-2\T{i}\pi xk} \mathrm dx =\int_{\mathbb{I}} \e^{0} \mathrm dx=1=\T{sinc}(0)$\\
Et, si $y \neq k$: 
$$\begin{array}{ll}
\widehat{e_k}(y)&amp;=\int_{\R} e_k(x)\e^{-2\T{i}\pi xy} \mathrm dx =\int_{\mathbb{I}} \e^{2\T{i}\pi x(k-y)} \mathrm dx\\
&amp;=\left[\frac{1}{2\T{i}\pi(k-y)}\e^{2\T{i}\pi x(k-y)}\right]_{-\frac12}^{\frac12}=\frac{1}{2\T{i}\pi(k-y)}\left(\e^{2\T{i}\pi \frac12(k-y)}-\e^{-2\T{i}\pi \frac12(k-y)} \right)\\
&amp;=\frac{1}{2\T{i}\pi(k-y)}\left(2\T{i}\sin(\pi(k-y)) \right)=\text{sinc}(k-y)=\text{sinc}(y-k)\end{array}$$
Donc, dÃ©jÃ&nbsp;, $\widehat{\T{sinc}(\cdot-k)}=\widehat{\widehat{e_k}}=e_k(- \cdot)$ nulle en dehors de $\mathbb{I}$. Donc $\T{sinc}(\cdot-k) \in BL^2$.\\
De plus, par conservation du produit scalaire,
\[\int_{\R}\text{sinc}(x-j)\text{ sinc}(x-k)\mathrm dx=\int_{\R}e_j \overline{e_k}=\int_{\mathbb I}e_j\overline{e_k}=\delta_{j,k}\]

La suite $(\text{sinc}(.-k))_{k\in \mathbb Z}$ est donc orthonormÃ©e.

Pour montrer que cette suite est une base hilbertienne de $BL^2$, il suffit dÃ©sormais de montrer qu'elle est totale, donc de montrer que son orthogonal dans $BL^2$ est rÃ©duit Ã&nbsp; $\{0\}$.

Soit donc $u\in BL^2$ tel que pour tout $k\in \Z$,
\[\int_{\R}u(x)\text{ sinc}(x-k)\mathrm dx=0\]
On a alors :
\[0=\int_{\R}u \widehat{e_k}=\int_{\R}\hat u e_k=\int_{\mathbb I}\hat u e_k \quad \forall k\in \Z\]
Donc $\hat u(y)=0$ presque partout sur $\mathbb I$ car $(e_k)_{k\in \Z}$ est une base hilbertienne de $L^2(\R)$. Par dÃ©finition de $BL^2$, $\hat u=0$ donc $u=0$ et $(\text{sinc}(.-k))_{k\in \Z}$ est totale.

\bigskip
\item Par (ii), on a, pour $u\in BL^2$ et $x\in \R$, 
\[u(x)=\sum_{k\in \Z} \langle u,\text{ sinc}(\cdot-k)\rangle \text{ sinc}(x-k)\]
et avec la base hilbertienne, la convergence est $L^2$.\\
On pose $v_n(x)=u(x)-\sum_{k=-n}^n \langle u,\text{ sinc}(\cdot-k)\rangle \text{ sinc}(x-k)$.\\
De plus, comme $v_n \in BL^2$, on peut appliquer l'inÃ©galitÃ© de (i),  $\norm{v_n}_{\infty} \leqslant \norm{v_n}_{2} \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} 0$\\
Donc la convergence est uniforme.\\
En particulier, pour $x=j\in \Z$, on a, $\forall k \in \Z$, $k \neq j$ sinc$(j-k)=\frac{\sin(\pi(j-k)}{\pi(j-k)}=0$, donc:
\[u(j)=\langle u,\text{ sinc}(\cdot-j)\rangle\] 
 
D'oÃ¹ le rÃ©sultat recherchÃ©. \hfill $\blacksquare$
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\begin{coro} Si $u,v \in BL^2$, on a $\norm{u}_2^2=\sum_{k\in \Z} \abs{u(k)}^2$
\end{coro}

\vspace{2cm}

\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\
\checkmark ~\textbf{A l'oral}, bla\\
\checkmark ~Tout sous-espace fermÃ© d'un espace complet est complet.\\
$\clubsuit$ Claude \textsc{Shannon} (1916 - 2001) est un ingÃ©nieur en gÃ©nie Ã©lectrique et mathÃ©maticien amÃ©ricain. Il est le pÃ¨re fondateur de la thÃ©orie de l'information.

\newpage
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{16,5cm}
\begin{center} \textbf{Rappels sur la TransformÃ©e de Fourier}\end{center}
\textit{DÃ©f:} la transformÃ©e de Fourier est tout d'abord dÃ©finie pour $u \in L^1(\R^n)$ classiquement, pour $y \in \R^n$, par
$$\hat u(y):= \int_{\R^n} u(x)\e^{-2\T{i}\pi xy} \mathrm dx $$
Elle est bien dÃ©finie par thÃ©orÃ¨me de comparaison.\\
~\\
\textit{DÃ©f:} L'espace de Schwartz des fonctions Ã&nbsp; dÃ©croissance rapide est dÃ©fini par:
$$\begin{array}{ll} 
\mathcal S(\R^n):&amp;=\{u \in \mathcal{C}^{\infty}(\R^n)~/~\forall \alpha,\beta \in \N^n,~\underset{x \in \R^n}{\sup} \abs{x^{\alpha}\partial^{\beta}u(x)}&lt;\infty\}\\
&amp;=\{u \in \mathcal{C}^{\infty}(\R^n)~/~\forall \alpha,\beta \in \N^n,\lim_{\abs{x} \rightarrow +\infty} \abs{x^{\alpha}\partial^{\beta}u(x)}=0\}\subset \mathcal C_0(\mathbb R^n) \end{array} $$
\textit{Prop:} $\mathcal S(\R^n) \subset \bigcap_{1 \leqslant p \leqslant \infty} L^p(\R^n)$ \\
\textit{Thm: [Isomorphisme de Fourier]} La transformation de Fourier $\mathcal{F}: \begin{array}{ccc}
\mathcal S(\R^n) &amp;\rightarrow &amp;\mathcal S(\R^n)\\
u &amp;\mapsto &amp;\hat u  \end{array}$ est une bijection linÃ©aire.\\
~\\
\textit{DÃ©f:} Par densitÃ©, on dÃ©finit $\mathcal{A}: \begin{array}{ccc}
\mathcal S(\R^n) &amp;\rightarrow &amp;L^2(\R^n)\\
u &amp;\mapsto &amp;\hat u  \end{array}$.\\
~~\\
\textit{DÃ©f:} Avec le thÃ©orÃ¨me de prolongement, il existe un unique prolongement continu de $\mathcal{A}$: 
$$\mathcal{F}: \begin{array}{ccc}
L^2(\R^n) &amp;\rightarrow &amp;L^2(\R^n)\\
u &amp;\mapsto &amp;\hat u  \end{array}$$
\textit{Rq:} Il faut faire trÃ¨s attention et ne pas confondre $\mathcal{F}(u)$ et $\hat u$. En effet, cela n'est vrai que lorsque $u \in L^1(\R^n) \cap L^2(\R^n)$. Pour plus de praticitÃ© (et grÃ¢ce Ã&nbsp; la proposition ci-dessous), on notera $\hat u$ tout le temps.\\
~\\
\textit{Prop:} Lorsque $u \in L^1(\R^n) \cap L^2(\R^n)$, on a $\mathcal{F}(u)=\hat u$\\
~\\
\newcolumntype{M}[1]{&gt;{\centering}m{#1}}
\begin{tabular}{M{3,7cm}|M{3,7cm}|M{3,7cm}|M{3,7cm}}
&amp; Dans $L^1$ &amp; Dans $\mathcal{S}$ &amp; Dans $L^2$
\tabularnewline \hline
PropriÃ©tÃ©s de la transformÃ©e &amp;$\hat u\in \mathcal C_0(\mathbb R^n)$ &amp;Si $u \in \mathcal S(\R^n)$ alors $\hat u \in \mathcal S(\R^n)$ &amp; ~
\tabularnewline \hline
EgalitÃ© de Plancherel &amp; &amp;Si $u \in \mathcal S(\R^n)$, on a $\norm{u}_2=\norm{\hat u}_2$ &amp;Si $u \in L^2(\R^n)$, on a $\norm{u}_2=\norm{\mathcal{F} u}_2$
\tabularnewline \hline
ContinuitÃ© de la transformATION de Fourier &amp;Oui, car $\norm{\hat u}_{\infty} \leqslant \norm{u}_1$ &amp;Oui pour $\mathcal{A}$, par Plancherel &amp;Oui, par prolongement
\tabularnewline \hline
Inversion &amp; &amp;$\hat{ \hat u} (x)=u(-x)$ par thm isomorphisme de Fourier &amp; $\forall u \in L^2(\R^n)$, $\mathcal{F}(\mathcal{F}(u))=u(- \cdot)$
\tabularnewline \hline
&amp;Si $u,v \in L^1(\R^n)$, $\int_{\R^n}\hat u v=\int_{\R^n} u \hat v$ &amp;Si $u,v \in \mathcal{S}(\R^n)$, $\int_{\R^n}\hat u v=\int_{\R^n} u \hat v$ &amp;Si $u,v \in L^2(\R^n)$, $\int_{\R^n} \mathcal F (u) v=\int_{\R^n} u \mathcal F (v)$
\tabularnewline \hline
Autre &amp;\textit{[Thm de Riemann-Lebesgue]}: Lorsque $u \in L^1(\R^n)$, alors $\hat u \underset{+\infty}{\longrightarrow} 0$ &amp; &amp;\textit{[Conservation du produit scalaire]}: Si $u,v \in L^2(\R^n)$, $\langle u, v \rangle = \langle \hat u, \hat v \rangle.$
\end{tabular}
\end{minipage}}
%\textcolor{white}{blabla}\\
\fbox{\begin{minipage}{16,5cm}
\begin{center} \textbf{Rappels sur les thÃ©orÃ¨mes de densitÃ©}\end{center}
Pour $\Omega$ ouvert de $\R^n$, $1 \leqslant p &lt; \infty$,
$$\mathcal{D}(\R^n) \overset{\text{dense dans}}{\subset} \mathcal{K}(\R^n) \overset{\text{dense dans}}{\subset} L^p(\R^n,\lambda) \text{ ici les densitÃ©s sont pour } \norm{\cdot}_p$$
$$\mathcal{D}(\R^n) \overset{\text{dense dans}}{\subset} \mathcal{S}(\R^n) \overset{\text{dense dans}}{\subset} L^p(\R^n,\lambda)$$
$$\mathcal{D}(\Omega) \overset{\text{dense dans}}{\subset} L^p(\Omega, \mu)$$
$$\mathcal{K}(\Omega) \overset{\text{dense dans}}{\subset} L^p(\Omega,\lambda) \text{ et }\mathcal{K}(\R) \overset{\text{dense dans}}{\subset} L^{p}(\R,\lambda) $$
$$\mathcal{E}(\R) \overset{\text{dense dans}}{\subset} L^{p}(\R,\lambda) \text{ et }\mathcal{E}(\Omega) \overset{\text{dense dans}}{\subset} L^{p \text{ ou }\infty}(\Omega,\mu)$$
oÃ¹ $\mathcal{E}$ dÃ©signe les fonctions Ã©tagÃ©es de $L^{p}$ ;\\
 $\mathcal{C}_0^{\infty}(\Omega)=\mathcal{C}_b^{\infty}(\Omega)=\mathcal{D}(\Omega)=\{u \in \mathcal{C}^{\infty}(\Omega)~/~\T{supp }u\T{ est compact} \}~;~ \mathcal{K}(\Omega)=\{u \in \mathcal{C}(\Omega)~/~\T{supp }u\T{ est compact} \}\\
\mathcal{D}(\Omega)  \subset \mathcal{K}(\Omega) \subset L^{\infty}$
~\\
Autre rÃ©sultat important: $L^1 \cap L^2 \overset{\text{dense dans}}{\subset} L^1$ et $L^1 \cap L^2 \overset{\text{dense dans}}{\subset} L^2$
\end{minipage}}
\end{center}

\end{document}</pre></body></html>