\documentclass{article}
\usepackage{titling}
\author{Laura \textsc{Gay}}
\include{preambule}

\newboxedtheorem{defi}{Définition}{}
\newboxedtheorem{prop}{Proposition}{compteur2}
\newboxedtheorem{lem}{Lemme}{compteurLEM}
\newboxedtheorem{coro}{Corollaire}{compteur3}
\newboxedtheorem{thm}{Théorème}{}
\newboxedtheorem{exe}{Exemple}{compteur5}

\newcommand{\diff}{\mathrm{d}}
\renewenvironment{proof}[1][]{{\underline{\bfseries \proofname #1 :}\\ }}{\hfill $\blacksquare$\\}

\begin{document}
\renewcommand{\proofname}{Preuve}
\begin{textblock*}{3cm}(10mm,10mm) 
\includegraphics[scale=0.15]{images/ell3.jpg} 
\end{textblock*} 
\begin{spacing}{2}
\setlength {\shadowsize }{2pt}
\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{15cm}
\centering     \begin{huge} 
\textsc{Ellipsoïde de John-Loewner}\end{huge}
\end{minipage}} \end{center}\end{spacing}
~\\



\underline{Référence :} \textsc{FGNal3} p. 229 + p. 222\\

\underline{Notations :}\\
- $Q$ est l'ensemble des formes quadratiques de $\R^n$.\\
- $Q^{+}$ est l'ensemble des formes quadratiques positives de $\R^n$.\\
- $Q^{++}$ est l'ensemble des formes quadratiques définies positives de $\R^n$.\\
- Si $q \in Q$, on note $D(q)$ le déterminant d'une matrice associée à $q$ (on montre dans le \textbf{Lemme 1} qu'il est indépendant de la base choisie).
\vspace{0.5cm}

\begin{thm}
Soit $K$ un compact d'intérieur non vide de $\R^n$. Il existe un unique ellipsoïde centré en $O$ de volume minimal contenant $K$.
\end{thm}
\vspace{0.5cm}

On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne usuelle.\\
Un ellipsoïde plein centré en $O$ a une équation du type $q(x)\leqslant 1$ où $q\in Q^{++}$.\\
On note $\mathcal E_q = \{x\in \R^n~|~ q(x) \leqslant 1\}$ l'ellipsoïde associé à $q\in Q^{++}$.\\
\textbf{But:} montrer qu'il existe une unique forme quadratique $q\in Q^{++}$ tq $\mathcal E_q$ soit de volume minimal et contienne $K$.

\vspace{0.5cm}
\begin{lem}
Le volume de $\mathcal E_q$ est $V_q = \frac{V_0}{\sqrt{D(q)}},$ où $V_0$ est le volume de la boule unité pour la norme euclidienne canonique. \end{lem}

\textbf{\underline{Preuve du Lemme 1}}\\
Il existe une base orthonormale $\mathcal{B}$ dans laquelle $q$ s'écrit $q(x) = \sum_{i=1}^n a_i x_i^2.$ avec les $a_i >0$ car $q$ est définie positive. \\
On a donc $$V_q = \int...\int_{\sum_{i=1}^n a_i x_i^2 \leqslant 1} \diff x_1 \ldots \diff x_n.$$
On effectue le changement de variables $t_i = \sqrt{a_i} x_i$.
C'est un $\mathcal C^1$-difféomorphisme de jacobien $\frac{1}{\sqrt{a_1\ldots a_n}}$, et on obtient donc $$V_q = \int_{\sum_{i=1}^n t_i^2 \leqslant 1} \frac{\diff t_1 \ldots \diff t_n}{\sqrt{a_1\ldots a_n}}.$$ \\
Soit $S$ la matrice de $q$ dans une base orthonormale quelconque de $\R^n$. $S$ est symétrique réelle. On peut donc la diagonaliser i.e. $\exists P \in \OnR$ telle que $S=P\text{diag}(a_1,\ldots,a_n)^tP$. (ici $P$ est la matrice de passage de notre base quelconque à $\mathcal{B}$).\\ Donc $\det(S)=\det(\text{diag}(a_1,\ldots,a_n))=a_1\ldots a_n$. Donc, $D(q)$  est indépendant de la base orthonormale choisie, et vaut $D(q)=a_1\ldots a_n$. \\
Donc $V_q = \frac{V_0}{\sqrt{D(q)}}$. \hfill
$\blacksquare$ 

\vspace{1.5cm}

\textbf{\underline{Preuve du Théorème}}\\
~\\
Par le \textbf{Lemme 1}, le problème consiste maintenant à montrer qu'il existe une unique forme quadratique définie positive $q \in Q^{++}$ telle que $D(q)$ soit maximal, et telle que $\forall x \in K,~q(x) \leqslant 1$. \\
On munit l'ensemble des formes quadratiques $Q$ de la norme $$N(q) = \sup_{\norm{x}\leqslant 1} \abs{q(x)}.$$
On pose $\mathcal A = \{q\in Q^+~|~ \forall x \in K, q(x) \leqslant 1\}$. On remarque que si $q\in \mathcal A$ est définie positive, alors $K \subset \mathcal E_q$. On va donc chercher à maximiser $D(q)$ sur ce domaine.\\
Pour cela, on montre que $\mathcal A$ est un compact convexe non vide de $Q$.\\

\begin{itemize}
\item[$\bullet$]\underline{$\mathcal A$ est convexe~:} (servira pour l'unicité)\\
Si $q$ et $q'$ sont dans $\mathcal A$, et $\lambda \in [0,1]$~:
        \begin{itemize}
            \item $\forall x \in \R^n,~ (\lambda q + (1-\lambda q')(x) = \lambda q(x) + (1-\lambda) q'(x) \geqslant 0$. (somme de termes positifs)
            \item $\forall x\in K, ~(\lambda q + (1-\lambda) q')(x) \leqslant \lambda + 1-\lambda \leqslant 1$.
        \end{itemize} 
Donc $\lambda q + (1-\lambda) q' \in \mathcal{A}$\\
\item[$\bullet$]\underline{$\mathcal A$ est fermé~:}\\
Soit $(q_n)_{n \in \N}$ une suite de $\mathcal A$ qui converge dans $Q$ (i.e. pour $N$) vers $q$. Alors
            $$\forall x \in \R^n,~\abs{q_n(x) - q(x)} \leqslant N(q_n-q) \norm{x}^2.$$
            Par suite~: $q(x) = \underset{n \rightarrow + \infty}{\lim} q_n(x) \geqslant 0$ et $q(x) = \underset{n \rightarrow + \infty}{\lim} q_n(x) \leqslant 1$.\\
            Donc $q \in \mathcal A$. \\
\item[$\bullet$]\underline{$\mathcal A$ est borné~:}\\
$K$ est d'intérieur non vide, donc $\exists a \in K$ et $r>0$ tel que $K$ contienne la boule centrée en $a$ de rayon $r$. \\
Soit $q\in\mathcal A$. Si $\norm{x} \leqslant r$, alors $a+x \in K$, et donc $q(a+x)\leqslant 1$. D'autre part, $q(-a)=q(a) \leqslant1$. Alors
            \begin{align*}
                \sqrt{q(x)} & = \sqrt{q(x+a-a)} \\
                &\leqslant \sqrt{q(x+a)} + \sqrt{q(-a)} \qquad \text{par Minkowski} \\
                &\leqslant 1+1 = 2
            \end{align*}
Donc $q(x) \leqslant 4$. \\
Si $\norm{x}\leqslant 1$, alors $\norm{rx}\leqslant r$. Donc on a 
$$\abs{q(x)} = q(x) = \frac{1}{r^2} q(rx) \leqslant \frac{4}{r^2}$$
Donc, en prenant le sup à gauche, $N(q) \leqslant \frac{4}{r^2}$, et donc $\mathcal A$ est borné.\\
\item[$\hookrightarrow$] Donc $\mathcal A$ est compact.\\
\item[$\bullet$]\underline{$\mathcal A$ est non vide~:}\\
$K$ est compact, donc il est borné~: soit $M>0$ tel que $\forall x \in K,~\norm{x}\leqslant M$. \\
            En posant $q_1(x) = \frac{\norm{x}^2}{M^2}$, on a $q_1 \in Q^{+}$, et pour tout $x \in K$, $q_1(x) \leqslant 1$. \\
            Donc $q_1 \in \mathcal A$, et donc $\mathcal A$ est non vide. \\
\end{itemize}
\vspace{0.5cm}
Comme $\det$ est continue, $q \mapsto D(q)$ l'est aussi sur le compact $\mathcal{A}$. Elle atteint son maximum sur $\mathcal A$, en une certaine forme quadratique $q_0 \in \mathcal{A}$.\\
De plus, on a vu que $q_1 \in \mathcal A$, et $q_1 \in Q^{++}$, donc $D(q_0)\geqslant D(q_1)= \frac{1}{M^{2n}}  > 0$
Donc $q_0 \in Q^{++}$. Nous venons de prouver qu'il existe un ellipsoïde $\mathcal E_{q_0}$ de volume minimal qui contient $K$.\\
~\\
Il reste maintenant à montrer l'unicité.\\
Supposons qu'il existe $q\in \mathcal A$ tel que $D(q) = D(q_0)$ et $q\not= q_0$.\\
Notons $S$ et $S_0$ les matrices de $q$ et $q_0$ dans la base canonique de $\R^n$. \\
Par convexité de $\mathcal A$, $\frac12 (q+q_0) \in \mathcal A$. Par le \textbf{Lemme 2}, on a ~:
 $$ D\left( \frac12 (q+q_0) \right) = \det\left( \frac12 (S+S_0) \right) > (\det S)^{1/2} (\det S_0)^{1/2}=D(q_0) $$
Ceci contredit la maximalité de $D(q_0)$. D'où l'unicité. \hfill $\blacksquare$

\newpage
    \begin{lem}[Convexité logarithmique]
        Soient $A$ et $B$ dans $\mathcal S_n^{++}(\R)$, $\alpha,\beta \in R^+$ tels que $\alpha + \beta =1$. Alors
        $$\det (\alpha A + \beta B) \geqslant (\det A)^\alpha (\det B)^\beta.$$
        De plus, si $A\not= B$, alors l'inégalité est stricte.
    \end{lem}

\textbf{\underline{Preuve du Lemme 2}}\\
~\\
        Par théorème de pseudo-réduction simultanée, il existe des matrices $P \in \GLnR$ et $D = \text{diag} (\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ avec les $\lambda_i\in\R^+$ telles que $A = {}^t P P$ et $B = {}^t PDP$.\\
        Donc 
        $$(\det A)^\alpha (\det B)^\beta = (\det P^2)^\alpha (\det P^2 \det D)^\beta =\det P^2 (\det D)^\beta$$
       et $$ \det( \alpha A + \beta B) = \det P^2 \det(\alpha I_n + \beta D).$$
       \begin{tabular}{rcc}
       On veut montrer que:& $\det(\alpha I_n + \beta D) \geqslant (\det D)^\beta$\\
       ie:&$~~\displaystyle{\prod_{i=1}^n (\alpha + \beta \lambda_i) \geqslant \left(\prod_{i=1}^n \lambda_i\right)^\beta}$\\
       ie:& $~\displaystyle{\sum_{i=1}^n \ln(\alpha+\beta\lambda_i) \geqslant \beta \sum_{i=1}^n \ln \lambda_i}$
\end{tabular}         \\
        Or, par concavité de $\ln$, on a, pour tout $i \in \llbracket 1;n \rrbracket$~:
            $$\ln(\alpha+\beta\lambda_i)\geqslant \alpha \ln(1) + \beta\ln(\lambda_i)=\beta \ln(\lambda_i)$$
        On a le résultat en sommant sur $i$.\\
~\\
        Si $A\not= B$, un des $\lambda_i$ est différent de 1.\\
        Donc, si $\alpha \in ]0,1[$, la stricte concavité de $\ln$ donne une inégalité stricte. \hfill $\blacksquare$

\section*{Réponses à de possibles questions}

\begin{enumerate}
\item  Voir ce qui se passe dans le cas dégénéré (où le convexe est d'intérieur vide, un segment par exemple).\\
$\hookrightarrow$ [~] 
\end{enumerate}        

\vspace{1cm}

\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\
\checkmark ~\textbf{A l'oral}, on fait le Lemme qui nous arrange selon le temps. Attention à bien justifier le changement de variables au début quand on prend une base orthonormée (Cyril).\\
\checkmark ~Attention, quand on cherche une base $q$-orthogonale, on sait juste que $^tPAP$ sera diagonale mais que a priori $^tP \neq P^{-1}$. (même si $q$ est symétrique réelle donc diagonalisable en base orthonormale avec $^tP = P^{-1}$, à ce niveau nous ne l'avons pas encore.) \\
\checkmark ~Le résultat reste vrai dans un e.v. réel de dim finie quelconque, avec la même démonstration (il suffit de munir $E$ d'une structure euclidienne quelconque).\\
\checkmark ~Un corollaire important montre qu'un sous-groupe compact du groupe linéaire est forcément un sous-groupe du groupe orthogonal pour une structure euclidienne de $E$.\\
\checkmark ~la matrice de $q$ dans n'importe quelle base -même non orthonormale- est toujours symétrique .\\
\checkmark ~Rappel: inégalité de Minkowski. Si $q$ est positive alors $\forall x,y$, $\sqrt{q(x+y)} \leqslant \sqrt{q(x)} + \sqrt{q(y)}$\\
\checkmark ~Rappel: Dans $\R^n$, fermé borné $\Leftrightarrow$ compact.\\
\checkmark ~Rappel: Dans un espace séparé (2 points disjoints ont des voisinages disjoints), tout compact est fermé. Dans un espace métrique, il est de plus (tout espace métrique est séparé) borné.\\
\checkmark ~En fait, il y a deux ellipsoïdes de \textsc{John} et \textsc{Loewner}. La première est celle dont on vient de démontrer l’existence (\textsc{Loewner}, qui ne l'a jamais publié). La deuxième (\textsc{John} 1948) est une ellipsoïde de volume maximal contenu dans un convexe compact d’intérieur non vide de $\R^n$. Elles permettent d’approximer les convexes compacts de $\R^n$ (en utilisant la notion de polarité, dans le cas des convexes compacts, ces ellipsoïdes peuvent se déduire l’un de l’autre). \\
NB: Au départ, en 1938, Behrend montre que $\forall$ convexe compact d’intérieur $\neq \emptyset$, $\exists !$ ellipse inscrite d’aire maximale et $\exists !$ ellipse circonscrite d’aire minimale. Ces résultats ont ensuite été généralisés à $\R^n$ par \textsc{John} et \textsc{Loewner}.\\
$\clubsuit$ Charles \textsc{Loewner} (1893 – 1968) est un mathématicien d'origine tchèque. Son premier résultat scientifique fut la démonstration, en 1923, du premier cas non trivial de la conjecture de Bieberbach.\\
$\clubsuit$ Fritz \textsc{John} (1910 – 1994) est un mathématicien allemand spécialisé dans les équations aux dérivées partielles. Ces travaux concernent la transformée de Radon et il est connu pour l'équation de John. \\



\end{document}