\documentclass{article}
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\author{Laura \textsc{Gay} d'apr\`es Pierre \textsc{Derennes}}
\include{preambule}
\include{preambuleflo}
\newboxedtheorem{defi}{Définition}{}
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\newboxedtheorem{thm}{Théorème}{}
\newboxedtheorem{exe}{Exemple}{}


\renewenvironment{proof}[1][]{{\underline{\bfseries \proofname #1 :}\\ }}{\hfill $\blacksquare$\\}

\begin{document}
\renewcommand{\proofname}{Preuve} 
\begin{spacing}{2}
\setlength {\shadowsize }{2pt}
\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{15cm}
\centering     \begin{huge} 
\textsc{Equation de la chaleur}\end{huge}
\end{minipage}} \end{center}\end{spacing}
~\\



\underline{Référence :} \textsc{FGNan4} p.49\\
\underline{Leçons :} 222, 246.\\


\begin{thm}
Soit $u_0: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ une fonction non nulle, continue, $C^1$ par morceaux et $2\pi$-périodique. Il existe une unique solution $u$ sur $\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}$ de l'équation aux dérivées partielles
\[ \boxed{\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}~~~~et~~~~\forall x \in \mathbb{R},~u(0,x) = u_0(x)} \]
où $u$ est $2\pi$-périodique par rapport à la variable $x$ (et ce pour tout $t \geq 0$), continue sur $\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}$ et $C^\infty$ sur $\mathbb{R}^{+*}\times\mathbb{R}$.
\end{thm}
~\\
\begin{proof} 
\begin{description}
\item[Analyse:] Soit $u$ une solution du problème posé. Pour $t > 0$ fixé, $u_t: x \longmapsto u(t,x)$ est $2\pi$-périodique et de classe $C^\infty$ donc somme de sa série de Fourier d'après le \textbf{théorème de Dirichlet}:
\[ u(t,x) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n(t)\erm^{\irm nx}~~\text{avec}~~c_n(t) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(t,x)\erm^{-\irm nx}\drm x .\]
Montrons que $\frac{\partial u}{\partial t}$ s'obtient par dérivation formelle par rapport à $t$ de cette expression. Comme pour $u$, on peut écrire 
\[ \frac{\partial u}{\partial t}(t,x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \overset{\sim}{c_n}(t)\erm^{\irm nx}~~\text{avec}~~\overset{\sim}{c_n}(t) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\partial u}{\partial t}(t,x)\erm^{-\irm nx}\drm x  .\]
La fonction $u$ étant de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^{+*}\times\mathbb{R}$, on en déduit par le \textbf{théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre} que l'application $c_n: t \longmapsto \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(t,x)\erm^{-\irm nx}\drm x$ est de classe $C^1$ (on intègre sur un compact) et $\overset{\sim}{c_n}(t) = c_n'(t)$ de sorte que 
\[ \frac{\partial u}{\partial t}(t,x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n'(t)\erm^{\irm nx} .\]
De même, la fonction $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ est somme de sa série de Fourier et, par double IPP
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -\sum_{n=-\infty}^{+\infty} n^2c_n(t)\erm^{\irm nx} .\]
Ainsi, le problème s'écrit:
\[ \forall t > 0~\forall x \in \mathbb{R},~~0 = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}(c_n'(t) + n^2c_n(t))\erm^{\irm nx} .\]
Or, à $t$ fixé, cette série est normalement convergente car\footnote{On peut aussi dire série de Fourier de $0$ qui est $\mathcal{C}^\infty$} somme de deux séries CVN (Dirichlet pour les deux) donc on peut inverser:
\[\begin{aligned}[t]
 0 & = \int_0^{2\pi}\left(\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(c_n'(t) + n^2c_n(t))\erm^{\irm nx}\right)\erm^{-\irm n_0x}\drm x \\
& = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}(c_n'(t) + n^2c_n(t))\underbrace{\int_0^{2\pi}\erm^{\irm(n-n_0)x}\drm x}_{=0 \text{ sauf si }n=n_0} \\
& = 2\pi(c_{n_0}'(t) + n^2c_{n_0}(t)) \end{aligned}\]
où $n_0 \in \mathbb{Z}$. Ainsi, pour tout $n \in \mathbb{Z}$ et tout $t > 0$, $c_{n}'(t) + n^2c_{n}(t) = 0$ de sorte\footnote{On pouvait aussi conclure en disant que le terme de droite est une série trigonométrique uniformément convergente (car normalement convergente) donc coïncide avec sa série de Fourier et est continue sur $\mathbb{R}$ et invoquer le fait que deux fonctions continues sont égales s.s.i elles ont même coefficients de Fourier} qu'il existe $\alpha_n \in \mathbb{C}$ tel que $c_n(t) = \alpha_n\erm^{-n^2t}$. \\

Il reste à déterminer $\alpha_n$. Pour cela on considère la série de Fourier de $u_0$ que l'on note $\sum_{n=-\infty}^{+\infty}C_n^0\erm^{\irm nx}$. $u_0$ vérifie les hypothèses du théorème de Dirichlet donc est bien somme de sa série de Fourier. Le \textbf{théorème de Parseval} appliqué à $u_0 - u_t$ donne 
\[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|C_n^0 - c_n(t)|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|u_0(x) - u_t(x)|^2\drm x .\]
A $n$ fixé, on a donc $|C_n^0 - c_n(t)|^2 \leq \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|u_0(x) - u_t(x)|^2\drm x$. \\
Or, cette intégrale tend vers 0 quand $t$ tend vers 0 par le \textbf{théorème de convergence dominée}. En effet, 
\begin{itemize}
\item $(t,x) \in [0,1]\times[0,2\pi] \longmapsto |u_0(x) - u_t(x)|^2 = |u(0,x) - u(t,x)|^2 $
est bornée sur le compact $[0,1]\times[0,2\pi]$ par continuité de $u$ donc majorée par une fonction intégrable sur $[0,2\pi]$ et indépendante de $t$
\item pour tout $x \in [0,2\pi]$, $|u_0(x) - u_t(x)| \underset{t \rightarrow 0}{\longrightarrow} 0$
\end{itemize}
En passant à la limite on obtient finalement $|C_n^0 - \alpha_n|^2 = 0$ i.e $\alpha_n = C_n^0$. \\
Donc si $u$ est solution du problème $u(t,x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}C_n^0\erm^{-n^2t}\erm^{\irm nx}$, où les $C_n^0$ sont les coefficients de Fourier de $u_0$.
\item[Synthèse:] Montrons que $u: (t,x) \longmapsto \sum_{n=-\infty}^{+\infty}C_n^0\erm^{-n^2t}\erm^{\irm nx}$ convient. \\
Tout d'abord, cette série converge normalement par comparaison avec la série $\sum |C_n^0|$ qui converge en vertu du théorème de convergence normale. $u$ est donc bien définie et continue puisque chaque fonction $(t,x) \longmapsto C_n^0\erm^{-n^2t}\erm^{\irm nx}$ est continue + CVN. \\
Pour tout $t > 0$, $x \longmapsto u(t,x)$ est $2\pi$-périodique.\\
La dérivation formelle de la série définissant $u$ donne pour $k,l \in \mathbb{N}$
\[ \frac{\partial^{k+l}}{\partial t^k\partial x^l}(C_n^0\erm^{-n^2t}\erm^{\irm nx}) = (-1)^k\irm ^ln^{2k+l}C_n^0\erm^{-n^2t}\erm^{\irm nx} .\] 
Soit $t_0 > 0$. Comme les $C_n^0$ sont bornés\footnote{Il faut écrire $\int_0^{2\pi} u_0(x)\erm^{-\irm n x} \drm x = \int_0^{2\pi} \sum_{k \in \Z} C_k^0 \erm^{\irm (k-n)x}\drm x = 2 \pi C_n^0$} par $K = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|u_0|$, cette série est normalement convergente sur $]t_0,+\infty[\times\mathbb{R}$ puisque
\[ \Big|(-1)^k\irm^ln^{2k+l}C_n^0\erm^{-n^2t}\erm^{\irm nx}\Big| \leq Kn^{2k+l}\erm^{-n^2t_0} = o \left(\frac{1}{n^2}\right) .\]
Alors, $u$ admet des dérivées partielles à tout ordre donc
\[ \frac{\partial^{k+l}u}{\partial t^k\partial x^l}(t,x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}(-1)^k\irm ^ln^{2k+l}C_n^0\erm^{-n^2t}\erm^{\irm nx} .\] 
et $u$ est de classe $C^\infty$ sur $]t_0,+\infty[\times\mathbb{R}$ et donc sur $\mathbb{R}^{+*}\times\mathbb{R}$ et $u$ vérifie bien l'équation aux dérivées partielles considérées. \\

\textbf{Conclusion:} $\boxed{\sum_{n=-\infty}^{+\infty}C_n^0\erm^{-n^2t}\erm^{\irm nx}}$ où les $C_n^0$ sont les coefficients de Fourier de $u_0$ est l'unique solution du problème.
\end{description}
\end{proof}

\vspace{2cm}
\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\ 
\checkmark ~~\textbf{A l'oral}, \\


\end{document}