\documentclass{article}
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\author{Laura \textsc{Gay}}
\include{preambule}

\newboxedtheorem{defi}{Définition}{}
\newboxedtheorem{prop}{Proposition}{compteur2}
\newboxedtheorem{lem}{Lemme}{}
\newboxedtheorem{coro}{Corollaire}{compteur3}
\newboxedtheorem{thm}{Théorème}{}
\newboxedtheorem{appli}{Application}{compteur5}

\renewenvironment{proof}[1][]{{\underline{\bfseries \proofname #1 :}\\ }}{\hfill $\blacksquare$\\}

\begin{document}
\renewcommand{\proofname}{Preuve}

\begin{spacing}{2}
\setlength {\shadowsize }{2pt}
\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{15cm}
\centering     \begin{huge} 
\textsc{Exponentielle et séries formelles}\end{huge}
\end{minipage}} \end{center}\end{spacing}
~\\


\underline{Référence :} \textsc{Zavidovique} Max de Maths p.60 \\

\begin{lem}
Soit $f(X)=\sum_{n \geq 1} a_nX^n$ une série formelle telle que $a_1 \neq 0$. Alors il existe une unique série formelle $g(X)=\sum_{n \geq 1} b_nX^n$ vérifiant
$$g \circ f(X)=f \circ g(X)=X$$
\end{lem}
~\\
\begin{proof}
On écrit la composée:
$$g \circ f (X)=\sum_{n \geq 1} b_n(f(X))^n=\sum_{n \geq 1} b_n\left(\sum_{n \geq 1} a_nX^n\right)^n$$
Mais le terme $\left(\sum_{n \geq 1} a_nX^n\right)^n$ est un produit de Cauchy de $n$ séries formelles. On peut donc le réécrire 
$$\sum_{k\in\N} \underbrace{\left(\sum_{i_1+i_2+\cdots+ i_n=k}a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_n}\right)}_{c_{n,k}}X^k$$
et comme chaque $i_j \geq 1$ on peut encore écrire ça $\sum_{k \geq n} c_{n,k}X^k$. \\
De plus, $c_{n,n}=\sum_{i_1+i_2+\cdots+ i_n=n}a_{i_1}\cdots a_{i_n}=a_1\cdots a_1=a_1^n \neq 0$ (une seule possibilité $i_1=\cdots=i_n=1$ donc un seul terme dans la somme). Cela est vrai pour tout $n$. 
\end{proof}
~\\
\begin{prop}
\end{prop}
~\\
\begin{proof}

\end{proof}
~\\



\vspace{2cm}

\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\
\checkmark ~\textbf{A l'oral}, \\
\checkmark ~

\end{document}
