\documentclass{article}
\usepackage{titling}
\author{Laura \textsc{Gay} d'apr\`es Florian \textsc{Lemonnier}}
\include{preambule}

\newboxedtheorem{defi}{Définition}{compteur1}
\newboxedtheorem{prop}{Proposition}{}
\newboxedtheorem{lem}{Lemme}{compteurLEM}
\newboxedtheorem{coro}{Corollaire}{compteur3}
\newboxedtheorem{thm}{Théorème}{}
\newboxedtheorem{exe}{Exemple}{compteur5}


\renewenvironment{proof}[1][]{{\underline{\bfseries \proofname #1 :}\\~\\ }}{\hfill $\blacksquare$\\}
\newcommand{\Ccal}{\mathcal{C}}
\newcommand{\Bcal}{\mathcal{B}}

\begin{document}
\renewcommand{\proofname}{Preuve}

\begin{spacing}{2}
\setlength {\shadowsize }{2pt}
\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{15cm}
\centering     \begin{huge} 
\textsc{Densité des fonctions continues nulle part dérivables}\end{huge}
\end{minipage}} \end{center}\end{spacing}
~\\


\underline{Référence :} \textsc{Zuily-Quéffelec} : p. 270 Section VIII.I.4.e\\
\underline{Leçons} : 201, 202, 205, 208, 228.\\

\begin{thm}\textup{\!\!
L'ensemble $A$ des fonctions continues sur $[0,1]$ qui ne sont dérivables en aucun point de $[0,1]$ est dense dans $\left(\Ccal^0([0,1]), \|.\|_\infty\right)$.}
\end{thm}
~\\
\begin{proof}
Posons $B=A^c$ l'ensemble des fonctions continues dérivables en au moins un point de $[0,1]$.\\
Comme $E = \Ccal^0([0,1])$ est un espace de Banach, on va utiliser le lemme de Baire pour montrer $\overline{A} = E$.\\
Plus précisément, on va exhiber une suite $\left(F_n\right)_{n \in \N}$ telle que :
\begin{itemize}
\item $\forall n \in \N$, $F_n$ est fermé ;
\item $\forall n \in \N$, $F_n$ est d'intérieur vide ;
\item $ B \subset \bigcup_{n \in \N}{F_n}$.
\end{itemize}
Alors on aura montré que $B$ est d'intérieur vide \footnote{car alors $\mathring{B} \subset \overset{\circ}{\overbrace{\bigcup_{n \in \N}{F_n}}}=\emptyset$ donc $\mathring{B}=\emptyset$.} dans $E$.\\
On pose $F_n = \{ f \in E \ | \ \exists x \in I, \forall y \in I, |f(y)-f(x)| \leq n |y-x|\}$, où $I$ désigne l'intervalle $[0,1]$.
\begin{description}
\item[Étape 1 :] Mq $ B \subset \bigcup_{n \in \N}{F_n}$.\\
      Soit $f \in B$, alors $f$ est dérivable en au moins un point $x_0 \in I$.\\
			Ainsi la quantité $ \frac{f\left(x_0\right)-f(y)}{x_0-y}$ est bornée quand $y \rightarrow x_0$.\\
			Et $f$ étant continue sur $I$, $ \exists N \in \N, \forall y \in I, \left|\frac{f\left(x_0\right)-f(y)}{x_0-y}\right| \leq N$ et donc $f \in F_N$.\\
			Ainsi, $ B \subset \bigcup_{n \in \N}{F_n}$.
\item[Étape 2 :] Mq pour $n \in \N$, $F_n$ est fermé.\\
      Soit $\left(f_k\right)_{k \in \N}$, une suite dans $F_n$ qui converge vers\footnote{car $E$ est complet} $f \in E$.\\
			Comme les $f_k$ sont dans $F_n$, on a : 
			\begin{equation} \label{DCPD1}
			\forall k \in \N, \exists x_k \in I, \forall y \in I, \left|f_k\left(x_k\right) - f_k(y)\right| \leq n \left|x_k-y\right|
			\end{equation}
			Et comme $I$ est compact, il existe une extraction $\left(x_{\varphi(k)}\right)_{k \in \N}$ qui converge vers $x_0 \in I$.\\
			L'idée est de passer à la limite dans $(\ref{DCPD1})$. Soit $k \in \N$, 
			\[ \left| f_{\varphi(k)}\left(x_{\varphi(k)}\right) - f(x_0) \right|
			   \leq \underbrace{\left|f_{\varphi(k)}\left(x_{\varphi(k)}\right) - f\left(x_{\varphi(k)}\right) \right|}_{\leq \left\|f_{\varphi(k)}-f\right\|_\infty \underset{k \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0}
				    + \underbrace{\left| f\left(x_{\varphi(k)}\right) - f(x_0) \right|}_{\substack{\underset{k \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0 \\ \text{($f$ est continue)}}} \]
			Donc, $ \lim_{k \rightarrow \infty}{f_{\varphi(k)}\left(x_{\varphi(k)}\right)} = f(x_0)$.\\
			Dès lors, par passage à la limite dans $(\ref{DCPD1})$, on obtient : $\forall y \in I, |f(x_0)-f(y)| \leq n |x_0-y|$, donc $f \in F_n$, puis $F_n$ est fermé.
\item[Étape 3 :] Mq pour $n \in \N$, $\overset{\circ}{F_n}=\emptyset$.\\
      Comme $E$ est métrique, on va montrer qu'il n'existe pas de boule ouverte $\Bcal(f,\varepsilon) \subset F_n$ avec $f \in F_n$ et $\varepsilon > 0$, ie :
			\[ \forall f \in F_n, \forall \varepsilon > 0, \Bcal(f,\varepsilon) \cap F_n^{\text{c}} \neq \varnothing \]
			ie $\exists g \in E$ tq
			$$ \left\{ \begin{array}{l}
			\norm{f-g}_{\infty} < \varepsilon\\
			\forall x \in [0,1], \exists y \in [0,1] ~/~\abs{g(y)-g(x)}>n \abs{y-x}
\end{array}			 \right.$$
			Soit donc $f \in F_n$, et $\varepsilon > 0$.\\
			Par le théorème de Weierstrass : $ \exists P \in \R[X], \|P-f\|_\infty \leq \frac{\varepsilon}{2}$. 	On note $M = \|P'\|_\infty < \infty$ car $P'$ est continue sur $I$ compact.\\
			Soit $N \in \N^*$ tq $N \geq \dfrac{2(n+M+1)}{\varepsilon}$ (on verra plus tard pourquoi). On découpe $[0,1]$ en $\bigcup_{k=0}^{N-1} \left[\frac{k}{N}, \frac{k+1}{N} \right]$. 
			\begin{minipage}{0.425\textwidth}On définit $g_0$, fonction périodique de période $\dfrac{1}{N}$ telle que, sur $\left[0,\frac1{N} \right]$ :
			\[ g_0(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
			                    \dfrac{\varepsilon N}{2} x & \text{si } x \in \left[0,\dfrac{1}{2N}\right] \\
													\dfrac{\varepsilon}{2} - \dfrac{\varepsilon N}{2} x & \text{si } x \in \left[\dfrac{1}{2N},\dfrac{1}{N}\right]
													\end{array} \right. \]
			$g_0$ est continue et $ \left\|g_0\right\|_\infty = \frac{\varepsilon}{4}$.\\
			\end{minipage} \hfill
      \begin{minipage}{0.46\textwidth}
      \includegraphics[width=\textwidth]{images/g_0_FCPD.pdf}
      \end{minipage}\\
			On pose $g = P + g_0$ ; on a : $ \left\|f-g\right\|_\infty = \left\|f-P-g_0\right\|_\infty \leq \left\|f-P\right\|_\infty + \left\|g_0\right\|_\infty
	                                                              \leq \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{4} < \varepsilon$.\\
			Donc $g \in \Bcal(f,\varepsilon)$. Si on montre que $g\in F_n^c$, c'est gagné.\\
			On a, pour tous $x,y \in I$ : $|g(x)-g(y)| \geq \left|g_0(x)-g_0(y)\right| - |P(x)-P(y)|$.\\
			De plus, pour $x \in I$, il existe $k \in \llbracket 0,2N-1 \rrbracket$, tel que $x \in \left[\dfrac{k}{2N},\dfrac{k+1}{2N}\right]$.\\
			Puis, soit $y_x \in \left[x,\dfrac{k+1}{2N}\right]$, alors on a : $ \left|g_0(x)-g_0\left(y_x\right)\right| = \frac{\varepsilon N}{2} \left|x-y_x\right|$.\\
			Et par l'inégalité des accroissements finis, on a : $\left|P(x) - P\left(y_x\right)\right| \leq M \left|x-y_x\right|$.\\
			Par conséquent : $ \forall x \in I, \exists y_x \in I, \left|g(x)-g\left(y_x\right)\right| \geq \left(\frac{\varepsilon N}{2} - M\right) \left|x-y_x\right|$.\\
			On se rend alors compte qu'il suffit d'imposer $\dfrac{\varepsilon N}{2} - M > n$, ie $N > \dfrac{2(n+M)}{\varepsilon}$ dès le début pour avoir : 
			\[ \forall x \in I, \exists y_x \in I, \left|g(x) - g\left(y_x\right)\right| > n \left|x-y_x\right| \]
			Ainsi, $g \in F_n^{\text{c}}$, et finalement $\Bcal(f,\varepsilon) \cap F_n^{\text{c}} \neq \varnothing$.
\end{description}
\end{proof}

\textbf{Exemple de telle fonction:}\\
Pour $x \in \R$, $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{d(4^nx,\Z)}{4^n}$.\\
$\hookrightarrow$ Hauchecorne ex 9.6 p161, ZQ p269, Gourdon p284.

\section*{Questions possibles}
\begin{enumerate}
\item  Montrer le thm de Baire quand on connaît l'existence d'une FCNPD.\\
\item Montrer qu'une fonction continue est somme de deux FCNPD.
\end{enumerate} 
\vspace{1cm}

\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\
\checkmark ~\textbf{A l'oral}, 14'16 allure normale sans expliciter $g_0$.\\
\checkmark ~Théorème de Baire: Soit  $(E,d)$ un espace métrique complet. Alors si $(F_n)_{n \geq 1}$ est une suite de fermés d'intérieur vide de $E$, $\bigcup_{n \in \N} F_n$ est encore d'intérieur vide dans $E$.\\
\checkmark ~En 1872, \textsc{Weierstrass} fut le premier à publier non seulement une, mais toute une famille de fonctions continues et nulle part dérivables. Elles sont définies par $f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}a^k \cos (b^k \pi x)$ où $a$ et $b$ sont des constantes réelles, $a$ étant dans $]0,1[$ et le produit $ab > 1 + \frac{3\pi}{2}$ ( même si \textsc{Hardy} la généralisera de façon optimale en 1916 en montrant que le produit $ab$ ne devait qu'être plus grand que 1). Après cette découverte, des mathématiciens en trouvèrent d'autres.




\end{document}