\documentclass{article}
\usepackage{titling}
\author{Laura \textsc{Gay} d'apr\`es Florian \textsc{Lemonnier}}
\include{preambule}
\usepackage{enumitem}
\newboxedtheorem{defi}{Définition}{}
\newboxedtheorem{prop}{Proposition}{compteur2}
\newboxedtheorem{lem}{Lemme}{}
\newboxedtheorem{coro}{Corollaire}{compteur3}
\newboxedtheorem{thm}{Théorème}{}
\newboxedtheorem{exe}{Exemple}{compteur5}


\renewenvironment{proof}[1][]{{\underline{\bfseries \proofname #1 :}\\~\\ }}{\hfill $\blacksquare$\\}

\newcommand{\erm}{\mathrm{e}}

\newcommand{\Drm}{\mathrm{D}}
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\newcommand{\Res}{\mathrm{Res}}


\begin{document}
\renewcommand{\proofname}{Preuve}
\begin{textblock*}{3cm}(10mm,12mm) 
\includegraphics[scale=0.15]{images/complements.jpg} 
\end{textblock*}
\begin{spacing}{2}
\setlength {\shadowsize }{2pt}
\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{15cm}
\centering     \begin{huge} 
\textsc{Formule des compléments}\end{huge}
\end{minipage}} \end{center}\end{spacing}
~\\



\underline{Référence :} \textsc{Amar Matheron} : Analyse complexe section 8.4.4 p.249\\
\underline{Leçons} : 236, 239,245.

~\\
\begin{defi}
On rappelle qu'on définit la fonction Gamma d'Euler par :
\begin{equation*}
\forall z \in \left\{s \in \C \middle| \Re(s) >0\right\}, \Gamma(z) = \int_0^{+\infty}{t^{z-1} \erm^{-t} \, \drm t}
\end{equation*}
\end{defi}
\begin{thm}[Formule des compléments]
On a l'égalité suivante :
\begin{equation*}
\forall z \in \left\{s \in \C \middle| 0<\Re(s)<1\right\}, \Gamma(z)\Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin \pi z}
\end{equation*}
\end{thm}


\begin{lem}
Pour $\alpha \in ]0,1[$, $
I_\alpha=\int_0^{+\infty}{\frac{\drm t}{t^{\alpha}(1+t)}} = \frac{\pi}{\sin \pi \alpha}$
\end{lem}
~\\
\begin{proof}[ du Lemme]
$I_\alpha$ est bien définie car c'est l'intégrale d'une fonction mesurable positive ; on a même $I_\alpha < +\infty$. En effet :
\begin{itemize}[label=$\centerdot$,leftmargin=* ,parsep=0cm,itemsep=0cm,topsep=0cm]
\item $t \mapsto \dfrac{1}{t^\alpha (1+t)}$ est continue sur $]0,+\infty[$ (donc localement intégrable) ;
\item En $0$ : $\dfrac{1}{t^\alpha(1+t)} \underset{t \rightarrow 0}{\sim} \dfrac{1}{t^\alpha}$, qui est intégrable car $0 < \alpha < 1$ ;
\item En $+\infty$ : $\dfrac{1}{t^\alpha(1+t)} \underset{t \rightarrow +\infty}{\sim} \dfrac{1}{t^{\alpha+1}}$, qui est intégrable car $\alpha+1 > 1$.
\end{itemize}
On note $\Omega = \C \backslash \R^+$ et $ f : \left| \begin{array}{ccc}
                                                       \Omega \backslash \{-1\} & \rightarrow & \C \\
																											 z & \mapsto & \frac{1}{z^\alpha(1+z)}
																											 \end{array} \right.$,
où $z^\alpha = r^\alpha \erm^{\irm \alpha \theta}$ quand $z = r \erm^{\irm \theta}$, où $\theta \in ]0,2\pi[$.\\
\begin{minipage}{0.58\textwidth}
La fonction $f$ est holomorphe sur $\Omega \backslash \{-1\}$ et possède un pôle simple en $-1$ avec :
\begin{equation*}
\Res(f,-1) = \lim_{z \rightarrow -1}{(1+z) f(z)} = \frac{1}{(-1)^\alpha} = \erm^{-\irm \pi\alpha}
\end{equation*}
Pour $ R>1$, on définit comme sur l'illustration le chemin\\
$\gamma_{R} = C_R \cup I_{R}^+ \cup \Gamma_{R} \cup I_{R}^-$, où :
\begin{itemize}[label=$\centerdot$,leftmargin=* ,parsep=0cm,itemsep=0cm,topsep=0cm]
\item $C_R = \left\{\frac{1}{R} \erm^{\irm\theta} \middle| \theta \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]\right\}$ ;
\item $ I_{R}^+ = \left[\frac{\irm}{R}, \frac{\irm}{R} + \sqrt{R^2-\frac{1}{R^2}}\right]$
      et $ I_{R}^- = \left[-\frac{\irm}{R}, -\frac{\irm}{R} + \sqrt{R^2-\frac{1}{R^2}}\right]$ ;
\item $\Gamma_{R} = \left\{R \erm^{\irm\theta} \middle| \theta_{R} \leq |\theta| \leq \pi\right\}$, avec
      $ \theta_{R} = \arcsin\left({\frac{1}{R^2}}\right)$.
\end{itemize}
Comme $-1$ appartient au compact délimité par $\Gamma_{R}$, le théorème des résidus donne :
\begin{equation*}
\forall 1 < R, \int_{\gamma_{R}}{f(z) \, \drm z} = 2 \irm \pi \erm^{-\irm\pi\alpha}
\end{equation*}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\textwidth}
\includegraphics[width=\textwidth]{images/complements.pdf}
\end{minipage}\\
On va passer à la limite $R \rightarrow +\infty$.\\
Tout d'abord :
\begin{equation*}
\left|\int_{C_R}{f(z) \, \drm z}\right|
= \left| \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}{f\left(\frac{1}{R} \erm^{\irm \theta}\right) \underbrace{\irm \frac{1}{R} \erm^{\irm \theta} \, \drm \theta}_{``\drm z"}}\right|
\leq \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}{\frac{|\frac{1}{R}|}{\left|\frac{1}{R}\right|^\alpha \left|1+\frac{1}{R}\erm^{\irm\theta}\right|} \, \drm \theta}
\leq \pi \frac{\left(\frac{1}{R}\right)^{1-\alpha}}{1-\frac{1}{R}} \underset{R \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} 0
\end{equation*}
Aussi:
\begin{equation*}
\left| \int_{\Gamma_R}{f(z) \, \drm z} \right|
= \left|\int_0^{2\pi}{\ind_{\left[\theta_R, 2\pi-\theta_R\right]}(\theta) \frac{\irm R \erm^{\irm \theta}}{R^\alpha \erm^{\irm \alpha \theta} \left(1+R\erm^{\irm\theta}\right)} \, \drm\theta}\right|
\leq \int_0^{2\pi}{\frac{R}{R^\alpha \left|1+R\erm^{\irm\theta}\right|} \, \drm\theta}
\leq 2\pi \frac{R^{1-\alpha}}{R-1} \underset{R \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} 0
\end{equation*}
De plus : $ \int_{I_R^+}{f(z) \, \drm z} = \int_0^{\sqrt{R^2-\frac{1}{R^2}}}{f\left(\frac{\irm}{R}+t\right) \, \drm t}
= \int_0^{\sqrt{R^2-\frac{1}{R^2}}}{\frac{1}{\left(t+\frac{\irm}{R}\right)^\alpha\left(1+t+\frac{\irm}{R}\right)} \, \drm t}$.\\
Comme $t>0$ et $ \left(t+\irm\frac{1}{R}\right)^\alpha = \left(\sqrt{t^2+\frac{1}{R^2}} \, \exp\left(\irm \arctan\left(\frac{1}{Rt} \right)\right)\right)^\alpha \underset{R \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} t^\alpha$, on a :
\begin{itemize}
\item $ \ind_{\left]0, \sqrt{R^2-\frac{1}{R^2}}\right]}(t) f\left(\frac{\irm}{R} +t\right) \underset{R \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} \ind_{\R^{+*}}(t) \frac{1}{t^\alpha(1+t)}$ ;
\item $ \left|\ind_{\left]0, \sqrt{R^2-\frac{1}{R^2}}\right]}(t) f\left(\frac{\irm}{R} +t\right)\right| \leq \ind_{\R^{+*}}(t) \frac{1}{t^\alpha(1+t)}$ qui est intégrable.
\end{itemize}
Par théorème de convergence dominée, on déduit :
\begin{equation*}
\lim_{R \rightarrow +\infty}{\int_{I_R^+}{f(z) \, \drm z}} = I_\alpha
\end{equation*}
Enfin, de la même façon, en utilisant le fait que\footnote{l'angle négatif nous a fait ici apparaître le $2\pi$.} $ \left(t-\irm\frac{1}{R}\right)^\alpha \underset{{R} \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} t^\alpha \erm^{2\irm\pi\alpha}$ , on a, avec les conventions d'orientation :
\begin{equation*}
\lim_{R \rightarrow +\infty}{\int_{I_R^-}{f(z) \, \drm z}} = -\erm^{-2\irm\pi\alpha} I_\alpha
\end{equation*}
Donc $\left(1-\erm^{-2\irm\pi\alpha}\right) I_\alpha = 2\irm\pi \erm^{-\irm\pi\alpha}$, c'est-à-dire :
\begin{equation*}
I_\alpha = \frac{\pi}{\sin \pi\alpha}
\end{equation*}
\end{proof}
~\\
~\\
\begin{proof}[ du Théorème]
D'après le théorème des zéros isolés, il suffit de prouver l'égalité pour $z = \alpha\in ]0,1[$. \\
Soit donc $\alpha \in ]0,1[$.\\
En utilisant le théorème de Fubini, on obtient :
\begin{align*}
\Gamma(\alpha) \Gamma(1-\alpha)
&= \left(\int_0^{+\infty}{t^{\alpha-1}\erm^{-t} \, \drm t}\right) \left(\int_0^{+\infty}{s^{-\alpha} \erm^{-s} \, \drm s}\right)
= \int_0^{+\infty}{\int_0^{+\infty}{s^{-\alpha} t^{\alpha-1} \erm^{-t-s} \, \drm t}\, \drm s} \\
&= \int_0^{+\infty}{\int_0^{+\infty}{\left(\frac{t}{s}\right)^\alpha \erm^{-(s+t)} \, \drm s}\, \frac{\drm t}{t}}
\end{align*}
On réalise le changement de variables donné par le système
$\left\{ \begin{array}{ccl}
          u &=& s+t \\ v &=& \frac{s}{t} \end{array} \right.$
et dont le jacobien vaut 
\[ \left|\det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ \frac{1}{t} & \frac{-s}{t^2} \end{pmatrix} \right| = \frac{1}{t} + \frac{s}{t^2} = \frac{1}{t} + \frac{v}{t} = \frac{v+1}{t} \]
On en déduit donc :
\begin{align*}
\Gamma(\alpha) \Gamma(1-\alpha)
&= \int_0^{+\infty}{\int_0^{+\infty}{v^{-\alpha} \erm^{-u}}\, \frac{\drm u \, \drm v}{v+1}}
= \int_0^{+\infty}{\frac{1}{v^\alpha(v+1)}\int_0^{+\infty}{\erm^{-u} \, \drm u}\, \drm v}
= \int_0^{+\infty}{\frac{\drm v}{v^\alpha(v+1)}} \\
&= \frac{\pi}{\sin \pi\alpha}
\end{align*}
\end{proof}

\vspace{2cm}

\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\
\checkmark ~\textbf{A l'oral}, 15'30 en speedant à mort. Ne pas montrer pourquoi l'intégrale est finie.\\
\checkmark ~Quand on élève un nombre complexe à une puissance $z^c=(a+\irm b)^c$ il faut le mettre sous forme polaire $z^c=\abs{z}^c\erm^{\irm c\text{Arg} z }$. Attention !! Ici Arg$z$ doit être entre 0 et $2\pi$.\\
\checkmark ~On utilise ici souvent $\abs{\abs{x}-\abs{y}} \leq \abs{x-y}$.\\
\checkmark ~Rappel: (principe de prolongement analytique) Soit $\mathcal{U}$ un ouvert connexe. Si deux fonctions analytiques coïncident sur un sous ensemble $D \subset \mathcal{U}$ ayant un point d'accumulation dans $\mathcal{U}$, alors elles sont égales sur $\mathcal{U}$.\\
\checkmark ~Rappel: Un point d'accumulation $x$ d'une partie $A$ d'un espace topologique est un point tel que:
$$\forall \varepsilon >0, \hspace{1cm} B(x,\frac{1}{R}) \cap A \ne  \emptyset \text{~et~} B(x,\varepsilon) \cap A \ne \{ x\}$$ 
\checkmark ~$\varepsilon$ du livre est remplacé ici par $\frac{1}{R}$\\
\checkmark ~Cette propriété a été découverte par Euler.\\
$\clubsuit$ Leonhard \textsc{Euler} (1707 - 1783) est un mathématicien et physicien suisse, qui passa la plus grande partie de sa vie en Russie et en Allemagne. Il était notamment membre de l'Académie royale des sciences de Prusse à Berlin. Il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes. Il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction. Il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.



\end{document}