\documentclass{article}
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\author{Florian \textsc{Lemonnier} adapt\'e par Laura \textsc{Gay} }
\include{preambule}
\include{preambuleflo}

\newboxedtheorem{defi}{Définition}{compteur1}
\newboxedtheorem{prop}{Proposition}{}
\newboxedtheorem{lem}{Lemme}{}
\newboxedtheorem{coro}{Corollaire}{}
\newboxedtheorem{thm}{Théorème}{}
\newboxedtheorem{exe}{Exemple}{compteur5}


\renewenvironment{proof}[1][]{{\underline{\bfseries \proofname #1 :}\\ }}{\hfill $\blacksquare$\\}

\begin{document}
\renewcommand{\proofname}{Preuve}

\begin{spacing}{2}
\setlength {\shadowsize }{2pt}
\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{15cm}
\centering     \begin{huge} 
\textsc{Intégrale de Fresnel}\end{huge}
\end{minipage}} \end{center}\end{spacing}
~\\


\underline{Référence :} \textsc{Madère} : Développements d'Analyse p. 166\\

\begin{thm}
On a l'égalité suivante :
\begin{equation*}
\int_0^{+\infty}{\erm^{\irm x^2} \, \drm x} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \erm^{\irm \frac{\pi}{4}}
\end{equation*}
\end{thm}

\begin{proof}~\\
On pose $\Phi = \int_0^{+\infty}{\erm^{\irm x^2} \, \drm x}$.\\
Pour $t,T \geq 0$, on pose : $\dst f(t) = \int_0^t{\erm^{\irm x^2} \, \drm x}$, $\dst F(t) = \iint_{[0,t]^2}{\erm^{\irm\left(x^2+y^2\right)} \, \drm x \drm y}$ et $\dst I(T) = \frac{1}{T} \int_0^T{F(t) \, \drm t}$.\\
On va exprimer $F(t)$ de deux manières. \\
D'une part, la fonction $(x,y) \mapsto \erm^{\irm \left(x^2 + y^2\right)}$ est continue sur le pavé compact $[0,t]^2$. En appliquant Fubini, on obtient : $F(t) = f(t)^2$.\\
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
D'autre part, notons : 
\begin{equation*}
\Delta_t = \left\{(x,y) \in \IR^2 \middle| x \in [0,t] \text{ et } y \in [0,x]\right\}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Delta'_t = \left\{(x,y) \in \IR^2 \middle| y \in [0,t] \text{ et } x \in [0,y]\right\}
\end{equation*}
La fonction $(x,y) \mapsto (y,x)$ est un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme de $\Delta_t$ sur $\Delta'_t$. Par changement de variable, on obtient :
\begin{equation*}
F(t) = \iint_{\Delta_t}{\erm^{\irm \left(x^2+y^2\right)} \, \drm x \drm y} + \iint_{\Delta'_t}{\erm^{\irm \left(x^2+y^2\right)}\, \drm x\drm y}
     = 2 \iint_{\Delta_t}{\erm^{\irm \left(x^2+y^2\right)} \, \drm x \drm y}
\end{equation*}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\includegraphics[width=\textwidth]{images/fresnel.pdf}
\end{minipage}\\
La forme de l'intégrande suggère alors un passage en coordonnées polaires : $(r, \theta) \mapsto (r \cos \theta, r \sin \theta)$ est un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme de $\dst K_t := \left\{(r, \theta) \in \IR^2 \middle| \theta \in \left[0,\frac{\pi}{4}\right] \text{ et } r \in \left[0, \frac{t}{\cos \theta}\right] \right\}$ sur $\Delta_t$.\\
On obtient alors : 
\begin{equation*}
F(t) = 2 \iint_{K_t}{\erm^{\irm r^2} r \, \drm r \drm \theta}
     = \frac{1}{\irm} \int_0^{\frac{\pi}{4}}{\int_0^{\frac{t}{\cos \theta}}{2 \irm r \erm^{\irm r^2} \, \drm r} \drm \theta}
		 = -\irm \int_0^{\frac{\pi}{4}}{\left(\exp\left(\frac{\irm t^2}{\cos^2 \theta}\right) - 1\right) \, \drm \theta}
		 = \frac{\irm \pi}{4} - \irm \int_0^{\frac{\pi}{4}}{\exp\left(\frac{\irm t^2}{\cos^2 \theta}\right) \, \drm \theta}
\end{equation*}
Puis, en injectant dans $I(T)$, on obtient :
\begin{equation*}
I(T) = \frac{\irm \pi}{4} - \frac{\irm}{T} \int_0^T{\int_0^{\frac{\pi}{4}}{\exp\left(\frac{\irm t^2}{\cos^2 \theta}\right) \, \drm \theta} \drm t}
\end{equation*}
En appliquant Fubini, puis le changement de variable $\dst u = \frac{t}{\cos \theta}$, on trouve :
\begin{equation*}
I(T) = \frac{\irm \pi}{4} - \frac{\irm}{T} \int_0^{\frac{\pi}{4}}{\int_0^T{\exp\left(\frac{\irm t^2}{\cos^2 \theta}\right) \, \drm t} \drm \theta}
     = \frac{\irm \pi}{4} - \frac{\irm}{T} \int_0^{\frac{\pi}{4}}{\int_0^{\frac{T}{\cos \theta}}{\erm^{\irm u^2} \cos \theta \, \drm u} \drm \theta}
		 = \frac{\irm \pi}{4} - \frac{\irm}{T} \int_0^{\frac{\pi}{4}}{f\left(\frac{T}{\cos \theta}\right) \cos \theta \, \drm \theta}
\end{equation*}
On souhaite désormais faire tendre $T$ vers $+\infty$. On va montrer que $f$ est bornée au voisinage de $+\infty$. Il suffit de montrer que l'intégrale de Fresnel est convergente. Étudions $\dst \int_1^t{\erm^{\irm x^2} \, \drm x}$. \\
Par changement de variable $u=x^2$ et en faisant une intégration par parties :
\begin{equation*}
\int_1^t{\erm^{\irm x^2}\, \drm x}
 = \int_1^{t^2}{\erm^{\irm u}\, \frac{\drm u}{2\sqrt{u}}}
 = \left[\frac{\erm^{\irm u}}{\irm} \frac{1}{2\sqrt{u}}\right]_1^{t^2} - \int_1^{t^2}{\frac{\erm^{\irm u}}{\irm} \frac{-1}{4 u^{\frac{3}{2}}} \, \drm u}
 = \underbrace{\frac{\erm^{\irm t^2}}{2\irm t}}_{\underset{t \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0} \underbrace{- \frac{\erm^{\irm}}{2\irm} + \frac{1}{4\irm} \int_1^{t^2}{\frac{\erm^{\irm u}}{u^{\frac{3}{2}}} \, \drm u}}_{\substack{\text{quantité bornée par} \\ \text{convergence dominée}}}
\end{equation*}
Donc $f$ est bornée au voisinage de $+\infty$, donc $\dst \lim_{T \rightarrow +\infty}{I(T)} = \irm \frac{\pi}{4}$.\\
Par ailleurs, $\dst \lim_{t \rightarrow +\infty}{f(t)} = \Phi$ et $\dst \lim_{t \rightarrow +\infty}{F(t)} = \Phi^2$. Montrons que $\lim\limits_{T \rightarrow \infty}{I(T)} = \Phi^2$.\\
Soit $\varepsilon > 0$ ; $\dst \exists A > 0, \forall t \geq A, \left|F(t) - \Phi^2\right| < \frac{\varepsilon}{2}$. Soit $T > A$, on a :
\begin{equation*}
I(T) = \frac{1}{T} \int_0^A{F(t) \, \drm t} + \frac{1}{T} \int_A^T{F(t) \, \drm t}
\text{ puis }
\left|I(T) - \Phi^2\right| \leq \underbrace{\frac{1}{T} \int_0^A{\left|F(t)-\Phi^2\right| \, \drm t}}_{< \frac{\varepsilon}{2} \text{ pour } T \geq T_0} +
                                \underbrace{\frac{1}{T} \int_A^T{\left|F(t)-\Phi^2\right| \, \drm t}}_{< \frac{\varepsilon}{2} \frac{T-A}{T}}
\end{equation*}
Donc pour $T \geq \max\left\{A, T_0\right\}$, $\left|I(T) - \Phi^2\right| < \varepsilon$, d'où $\lim\limits_{T \rightarrow \infty}{I(T)} = \Phi^2$.\\
Par unicité de la limite : $\dst \Phi^2 = \irm \frac{\pi}{4}$, d'où $\dst \Phi = \pm \frac{\sqrt{\pi}}{2} \erm^{\irm \frac{\pi}{4}}$.\\
Pour déterminer le bon signe, on regarde le signe de $\Im(\Phi)$ :
\begin{align*}
\Im\text{m}(\Phi) &= \Im \text{m}\left(\int_0^\infty{\erm^{\irm x^2} \, \drm x}\right)
          = \Im\text{m}\left(\int_0^\infty{\erm^{\irm u} \, \frac{\drm u}{2\sqrt{u}}}\right)
					= \int_0^\infty{\frac{\sin u}{2 \sqrt{u}} \, \drm u}
					= \sum\limits_{k=0}^\infty{\int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi}{\frac{\sin u}{2 \sqrt{u}} \, \drm u}} \\
					&= \sum\limits_{k=0}^\infty \left( {\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}{\frac{\sin u}{2 \sqrt{u}} \, \drm u} + \int_{(2k+1)\pi}^{2(k+1)\pi}{\frac{\sin u}{2 \sqrt{u}} \, \drm u}} \right)
					= \sum\limits_{k=0}^\infty{\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}{\frac{\sin u}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{u}}-\frac{1}{\sqrt{u+\pi}}\right) \drm u}}
					\geq 0
\end{align*}
Ainsi, $\dst \Phi = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \erm^{\irm \frac{\pi}{4}}$.
\end{proof}

\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\
\checkmark ~\textbf{A l'oral}, 13'45 allure normale.\\
$\clubsuit$ ~Augustin \textsc{Fresnel} (1788 - 1827) -tuberculose- est un physicien français. Fondateur de l'optique moderne, il proposa une explication de tous les phénomènes optiques dans le cadre de la théorie ondulatoire de la lumière.

\end{document}