\documentclass{article}
\usepackage{titling}
\author{Laura \textsc{Gay}}
\include{preambule}

\newboxedtheorem{defi}{Définition}{compteur1}
\newboxedtheorem{prop}{Proposition}{compteur2}
\newboxedtheorem{lem}{Lemme}{}
\newboxedtheorem{cor}{Corollaire}{compteur3}
\newboxedtheorem{thm}{Théorème}{}
\newboxedtheorem{appli}{Application}{compteur5}

\renewenvironment{proof}[1][]{{\underline{\bfseries \proofname #1 :}\\ }}{\hfill $\blacksquare$\\}

\begin{document}
\renewcommand{\proofname}{Preuve}

\begin{textblock*}{3cm}(10mm,10mm) 
\includegraphics[scale=0.25]{images/kronecker.jpg} 
\end{textblock*} 

\begin{spacing}{2}
\setlength {\shadowsize }{2pt}
\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{15cm}
\centering     \begin{huge} 
\textsc{Théorème de Kronecker}\end{huge}
\end{minipage}} \end{center}\end{spacing}
~\\


\newcommand{\ZZ}{\Z}
\newcommand{\CC}{\C}
\newcommand{\NN}{\N}
\renewcommand{\le}{\leqslant}




\underline{Référence :} \textsc{FGNal1} :  p. 213 + \textsc{Szpirglas} Mathématiques L3 Algèbre p. 573\\



\begin{thm}
On définit
\[\Omega_n:=\{P\in\ZZ[X]\mid P\text{ unitaire},\deg P=n\text{ et }z\in Z(P)\Rightarrow 0<|z|\le 1\}\]
où $Z(P)$ désigne les racines complexes de $P$.
Si $P\in\Omega_n$, alors les racines de $P$ sont des racines de l'unité.
\end{thm}
~\\
\begin{proof}
Montrons dans un premier temps que $\Omega_n$ est fini.\\
Soit $P \in \Omega_n$. On note $z_1,\dotsc,z_n$ les racines de $P$ et $\sigma_1,\dotsc,\sigma_n$ les fonctions symétriques élémentaires de $P$ évaluées en $(z_1,\dotsc,z_n)$. On a $\sigma_p=\sum_{1\leq i_1<\dots< i_p\leq n}{z_{i_1}\dots z_{i_p}}$\\

Notons $P = X^n + a_1X^{n-1} +\dots + a_{n-1}X + a_n  = (X-z_1)\dots(X-z_n)$.\\
A noter que $a_n\neq0$ et $0<\alpha_i\leq1$. On peut alors utiliser la relation coefficient-racines (se démontre facilement par récurrence sur $n$): $a_p=(-1)^p\sigma_p(z_1\dots z_n)$


\[P=X^n-\sigma_1X^{n-1}+\dotsc+(-1)^n\sigma_n\]
et $\sigma_i\in\ZZ$.\\
Or $|z_i|\le 1$ donc, pour $1\le p\le n$,
\[|\sigma_p|=\left|\sum_{1\le i_1<\dotsc<i_p\le n}z_{i_1}\dotsm z_{i_n}\right|\le\sum_{1\le i_1<\dotsc<i_p\le n}1=\footnote{cardinal des parties à $p$ éléments de $\llbracket 1,n \rrbracket$}\binom np.\]
On en déduit que $\Omega_n$ est fini.

On considère désormais
\[P_k:=\prod_{i=1}^n(X-z_i^k)\]
et montrons que $P_k\in\Omega_n$.\\
\begin{pushright}Le coefficient de $X^{n-r}$ dans $P_k$ est $(-1)^r\sigma_r(z_1^k,\dotsc,z_n^k)$. Or $\sigma_r(X_1^k,\dotsc,X_n^k)$ est un polynôme symétrique à coefficients dans $\ZZ$, donc par le théorème de structure des polynômes symétriques il existe $Q_r\in\ZZ[X_1,\dotsc,X_n]$ tel que
\[\sigma_r(X_1^k,\dotsc,X_n^k)=Q_r(\sigma_1(X_1,\dotsc,X_n),\dotsc,\sigma_n(X_1,\dotsc,X_n)).\]
On en déduit, étant donné que $\sigma_i(z_1,\dotsc,z_n)\in\ZZ$,
\[\sigma_r(z_1^k,\dotsc,z_n^k)=Q_r(\sigma_1(z_1,\dotsc,z_n),\dotsc,\sigma_n(z_1,\dotsc,z_n))\in\ZZ.\] \end{pushright}

De plus, $P_k$ est unitaire et ses racines sont les $z_i^k$ qui vérifient $0<|z_i^k|\le 1$. Par conséquent, $P_k\in\Omega_n$.

Or $\Omega_n$ est fini donc l'ensemble $Z_n$ des racines des éléments de $\Omega_n$ est fini donc, pour $i\in\{1,\dotsc,n\}$, l'application
\begin{align*}
\NN^*&\longrightarrow Z_n\\
k&\longmapsto z_i^k
\end{align*}
n'est pas injective. On en déduit qu'il existe $k\neq l$ tels que $z_i^k=z_i^l$ et $z_i\neq 0$ donc $z_i^{k-l}=1$ et $z_i$ est une racine de l'unité.
\end{proof}
\begin{cor}
Soit $P\in\ZZ[X]$ unitaire et irréductible tel que $Z(P)\subset D(0,1)$, où $Z(P)$ désigne les racines de $P$.\\
Alors $P=X$ ou $P$ est un polynôme cyclotomique.
\end{cor}
\begin{proof}
(Gourdon Algèbre p.89 ??) Supposons $P\neq X$. Alors $P$ est irréductible donc $0$ n'est pas racine de $P$ et, d'après le théorème de Kronecker, ses racines sont des racines de l'unité. De plus, les racines de $P$ sont simples car $P$ est irréductible (sinon il serait divisible par $P\wedge P'$ non trivial). Donc il existe un entier $N$ tel que pour toute racine $z$ de $P$, $z^N=1$ et donc $P\mid X^N-1$.\\
Or
\[X^N-1=\prod_{d\mid N}\Phi_d\]
avec $\Phi_d$ irréductible sur $\ZZ$.\\
$P\neq 1$ donc $P=\Phi_k$ pour un certain $k$.
\end{proof}
\begin{cor}
Tout polynôme de $\ZZ[X]$ unitaire ayant ses racines dans $D(0,1)$ est un produit de puissances de $X$ et de polynômes cyclotomiques.
\end{cor}
\subsection*{Version résultant pour montrer que $P_k\in\ZZ[X]$ (paragraphe décalé)}
On va introduire,pour $\lambda\in\C$, $Q_k^\lambda = X^k-\lambda$ et, pour finir, le résultant suivant (de taille $k+n$) :
\[R_k(\lambda)=\text{Res}(P,Q_k^\lambda)=\begin{vmatrix}
1& & & &1& & \\
a_1&\ddots& & &0&\ddots& \\
\vdots&\ddots&\ddots& &\vdots&\ddots&1\\
a_n& &\ddots&1&0& &0\\
&\ddots&&a_1&-\lambda&\ddots&\vdots\\
&&\ddots&\vdots&&\ddots&0\\
&&&a_n&&&-\lambda
\end{vmatrix}\]

On voit bien que $R_k$ est polynomial en $\lambda$ (si l'on préfère, il est assez aisé de raisonner dans $\Z[\lambda]$) et que ses coefficients sont entiers (les $a_p$ étant entiers). Pour conclure, on va exprimer le résultant en fonction des racines des polynômes (on rappelle que $P$ est unitaire et que ses racines sont les $z_i$) :

\[R_k(\lambda)=\text{Res}(P,Q_k^\lambda)=\prod_{i=1}^n{Q_k^\lambda(z_i)}=\prod_{i=1}^n{(z_i^k-\lambda)}=(-1)^nP_k(\lambda)\]

Les coefficients de $R_k$ sont entiers, donc ceux de $P_k$ le sont aussi.

\vspace{1cm}

\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\
\checkmark ~\textbf{A l'oral}, 7'45 sauf la partie qui change. 2'27 version polynome symétrique. 2' version résultant. Il faut vraiment prendre son temps à fond !\\
\checkmark ~On a par exemple $\sigma_1 = z_1 + z_2 + \dots + z_n$ et $
\sigma_n = z_1. z_2 \dots z_n$.\\
$\clubsuit$ Leopold \textsc{Kronecker} (1823 - 1891) est un mathématicien et logicien allemand. Persuadé que l'arithmétique et l'analyse doivent être fondées sur les ``nombres entiers'', il est célèbre pour la citation suivante : ``Dieu a fait les nombres entiers, tout le reste est l'oeuvre de l'homme. ''. Cela le met en opposition avec certains développements mathématiques de \textsc{Cantor}, l'un de ses étudiants. Son point de vue sera repris par \textsc{Weyl} au siècle suivant. En analyse, \textsc{Kronecker} rejette la formulation d'une fonction continue partout mais nulle part dérivable de son collègue \textsc{Weierstrass}. 


\end{document}