\documentclass{article}
\usepackage{titling}
\author{L. \textsc{Gay} d'apr\`es M. \textsc{Varvenne} et C. \textsc{Robet}}
\include{preambule}

\newboxedtheorem{defi}{Définition}{compteur1}
\newboxedtheorem{prop}{Proposition}{compteur2}
\newboxedtheorem{lem}{Lemme}{}
\newboxedtheorem{coro}{Corollaire}{compteur3}
\newboxedtheorem{thm}{Théorème}{}
\newboxedtheorem{exe}{Exemple}{compteur5}


\renewenvironment{proof}[1][]{{\underline{\bfseries \proofname #1 :}\\~\\ }}{~\\}
\newcommand{\D}{\text{D}}
\newcommand{\AnR}{\mathcal{A}_n(\R)}


\begin{document}
\renewcommand{\proofname}{Preuve}
\begin{textblock*}{3cm}(10mm,10mm) 
\includegraphics[scale=0.05]{images/morse.jpg} 
\end{textblock*} 
\begin{spacing}{2}
\setlength {\shadowsize }{2pt}
\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{15cm}
\centering     \begin{huge} 
\textsc{Lemme de Morse}\end{huge}
\end{minipage}} \end{center}\end{spacing}
~\\



\underline{Référence :} \textsc{Rouvière} : Petit guide de calcul différentiel p. 354 (exercice 114) et p. 210 (exercice 66)\\



\begin{lem}[Réduction des formes quadratiques, version différentiable]
Soit $A_0\in \GLnR \cap \SnR$ alors il existe un voisinage $V$ de $A_0$ dans $\SnR$ et $\rho \in \mathcal{C}^1(V,GL_n(\R))$ tels que :
\[\forall A\in V,\text{ }  A={^t\rho(A)}A_0 \rho(A)\]
(i.e. toute forme quadratique suffisamment voisine d'une forme quadratique non dégénérée lui est équivalente i.e. se ramène à celle-ci par changement de base) \end{lem}
~\\
\begin{proof}
Idée: appliquer le théorème d'inversion locale.\\

\begin{description}
\item[Etape 1:]~\\
Soit $\varphi$ : $ \begin{array}{ccc}
 \MnR &\longrightarrow &\SnR \\
                          M &\longmapsto &{^t}MA_0M
\end{array}$
est polynomiale donc $\mathcal{C}^1$.\\
On munit $\MnR$ d'une norme matricielle $\norm{\cdot}$.\\
Soit $H\in \MnR$, 
\begin{align*}
\varphi(I_n+H)-\varphi(I_n)&= ^t(I_n+H)A_0(I_n+H)-A_0\\
&=A_0+A_0H+^tHA_0 +^tHA_0H-A_0\\
&= ^tHA_0+A_0H+o(\norm{H})
\end{align*}
Or $A_0$ symétrique donc $^tHA_0=^t(A_0H)$. De plus, $H \mapsto {^t(A_0H)}+A_0H$ est linéaire. D'où \[\D\varphi(I_n)(H)={^t(A_0H)}+A_0H\]
D'où $H\in \text{Ker}(\D\varphi(I_n)) \Leftrightarrow A_0H \in \mathcal{A}_n(\R)$ (i.e. le noyau est formé des matrices $H$ telles que $A_0H$ soit antisymétrique).\\ 
$\D\varphi(I_n)$ n'est donc pas bijective\footnote{On peut exhiber la surjectivité car pour $A\in \SnR$, $\D\varphi(I_n)\left(\frac{A_0^{-1}A}{2}\right)=\frac12 ({^tA + A})=A$} (problème sur l'injectivité), on ne peut pas appliquer le TIL. Idée: la restreindre..\\
\item[Etape 2:]~\\
On pose $F=\{H\in \MnR ~\vert~ A_0H\in \SnR\}$. On a également vu que $\text{Ker}(\D\varphi(I_n))=\{H\in \MnR ~\vert~ A_0H\in \AnR\}$.\\
Alors $F \cong \SnR$ par $H \tilde{\rightarrow} {A_0}^{-1}H$. Et $\text{Ker}(\D\varphi(I_n)) \cong \AnR$ par le même isomorphisme (cf note $\star$). Donc: 
$$\MnR=\SnR \oplus A_n(\R)=F\oplus \T{Ker}(\D\varphi(I_n))$$
Soit $\chi: F\rightarrow \SnR$ la restriction de $\varphi$ à $F$. Déjà, $I_n \in F$.\\ 
$\D\chi(I_n)$ est bijective. En effet, par l'égalité des dimensions l'injectivité suffit: $$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\T{Ker}(\D\chi(I_n))=\T{Ker}(\D\varphi(I_n))\cap F=\{0\} ~~~~~~~~~~~~\text{(par la somme directe)}$$
Par le théorème d'inversion locale, il existe un voisinage ouvert $U$ de $I_n$ dans $F$ (que l'on peut supposer contenu dans l'ouvert des matrices inversibles, {\footnotesize car det est continue donc on peut trouver un ouvert $U'$ de $I_n$ de matrices de déterminant non nul donc inversibles, on peut alors prendre $U \cap U'$})  tel que $\chi$ soit un difféomorphisme de classe $\mathcal{C}^1$ de $U$ sur $V=\chi(U)$. \\
Ainsi, $V$ est un voisinage ouvert de $A_0=\chi(I_n)$ dans $\SnR$ et
$\forall A\in V$, $A=^t\chi^{-1}(A)A_0\chi^{-1}(A)$ d'où le résultat avec $\rho=\chi^{-1}$ \hfill $\blacksquare$ 
\end{description}
\end{proof}
\begin{thm}[Lemme de Morse à $n$ variables - $\approx$1934]
Soit $f: U\rightarrow \R$, de classe $\mathcal{C}^3$ sur $U$ ouvert de $\R^n$ tel que $0\in U$.\\
On suppose que $\D f(0)=0$, que $\D^2f(0)$ est non dégénérée {\footnotesize(donc inversible car c'est une matrice)} et que\\\ $\T{sign}(\D^2f(0))=(p,n-p)$. \\
Alors il existe $\varphi$ un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme entre deux voisinages de 0 dans $\R^n$ tel que : 
\begin{itemize}
 \item[$\star$] $\varphi(0)=0$
 \item[$\star$] $f(x)-f(0)=u_1^2+\dots +u_p^2-u_{p+1}^2\dots -u_n^2$ où $u=\varphi(x)$
\end{itemize}
\end{thm}
\vspace{1cm}


\begin{proof}
On écrit la formule de Taylor à l'ordre 1 avec reste intégral au voisinage de 0.
\begin{align*}
f(x)-f(0)&=\D f(0)(x)+ \int_0^1 (1-t)\left(\D^2f(tx)\right)(x,x)\mathrm dt\\
 & = {^tx} \left(\underbrace{\int_0^1 (1-t)\left(\D^2f(tx)\right)\mathrm dt } \right) x\\
 & =~~~~{^tx} ~~~~~~~~~~~ Q(x)~~~~~~~~~~~~ x
\end{align*}
$Q$ est de classe\footnote{surement continuité sous le signe intégrale} $\mathcal{C}^1$. De plus, $Q(0)\in \GLnR \cap \SnR$ car $Q(0)=\frac{\D^2f(0)}{2}$. \\ 
On peut donc appliquer le \textbf{Lemme} : \\
Il existe $V$ un voisinage de $Q(0)$ dans $\R^n$ et $\rho\in \mathcal{C}^1(V,\GLnR)$ tel que
\[\forall A\in V\text{, }A={^t\rho(A)}Q(0)\rho(A)\]
De plus comme $Q$ : $ \begin{array}{ll}
 \R^n &\longrightarrow \SnR \\
                         x  &\longmapsto Q(x)
\end{array}$ est continue, il existe un voisinage $V_0$ de $0$ dans $\R^n$ tel que $V_0\subset Q^{-1}(V)$.\\
Ainsi, $\forall x\in V_0$, $Q(x)\in V$, donc \[Q(x)=^t\rho(Q(x))Q(0)\rho(Q(x))\]
On pose $M(x)=\rho(Q(x))$ et on obtient
\[\underline{Q(x)=^tM(x)Q(0)M(x)}\]
D'autre part, d'après le théorème d'inertie de Sylvester appliquée à $Q(0)$ qui est aussi de signature $(p,n-p)$, $\exists A\in \GLnR$ telle que 
$$Q(0)=^tA\begin{pmatrix}
I_p & 0 \\
0 & -I_{n-p}
\end{pmatrix}A$$
Finalement
$$f(x)-f(0)=^tx^tM(x)^tA\begin{pmatrix}
I_p & 0 \\
0 & -I_{n-p}
\end{pmatrix}AM(x)x$$
En posant $\varphi(x)=AM(x)x$, on a  
$$f(x)-f(0)=^t\varphi(x)\begin{pmatrix}
I_p & 0 \\
0 & -I_{n-p}
\end{pmatrix}\varphi(x)$$
Et donc avec $u=\varphi(x)$, on a bien
\begin{itemize}
  \item[$\star$] $\varphi(0)=0$
  \item[$\star$] $f(x)-f(0)=u_1^2+\dots +u_p^2-u_{p+1}^2\dots -u_n^2$ où $u=\varphi(x)$
\end{itemize}
\vspace*{5mm}
Il reste à montrer que $\varphi$ définit un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme entre deux voisinages de $0$. $\varphi$ est $\mathcal{C}^1$ car $M$ l'est \footnote{Détails: Si on veut s'en convaincre, on calcule sa différentielle, qui est continue. En effet: si $x$ appartient à un voisinage de 0, $\varphi(x+h)-\varphi(x)= A^{-1}M(x+h)(x+h)- A^{-1}M(x)(x) = \dots = A^{-1}[(\D M(x).h)x+M(x)h]+o(\norm{h})$. \\ Et donc $\D \varphi (x)=\{h \mapsto A^{-1}[(\D M(x).h)x+M(x)h]\}$ est bien linéaire et de plus continue en $h$ car $M$ $\mathcal{C}^1$ donc sa différentielle est continue... } (\textit{d'où la \textbf{nécessité} d'avoir pris $f$ $\mathcal{C}^3$ sinon on n'aurait pas eu $Q$ $\mathcal{C}^1$ donc $M$ $\mathcal{C}^1$ non plus})\\
Calculons la différentielle à l'origine de $\varphi$ :
\begin{align*}
 \varphi(h)-\varphi(0)
  = & A^{-1}M(h)h\\
  = & A^{-1}\left( M(0)+\D M(0).h+o(\norm{h})\right)h\\
 & \text{ car }M\text{ est différentiable en $0$ puisque $\rho \circ Q$ l'est}\\
  = & A^{-1}M(0)h + o(\norm{h})
\end{align*}
Comme $A^{-1}M(0)\in \GLnR$, $\D\varphi(0)$ est inversible.\\
D'après la théorème d'inversion locale appliqué à $\varphi$, il existe deux voisinages de $0$ (en fait de 0 et de $\varphi(0)=0$) tels que $\varphi$ soit un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme entre ces deux voisinages. \hfill $\blacksquare$  \end{proof}


\vspace{1cm}

\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\
\checkmark ~\textbf{A l'oral}, 14'33 vite sans première différentielle\\
\checkmark ~Un difféomorphisme c'est: bijectif, différentiable et dont la réciproque est différentiable. Un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme c'est: bijectif, $\mathcal{C}^1$, et dont la réciproque est $\mathcal{C}^1$. Attention, un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme est parfois appelé difféomorphisme de classe $\mathcal{C}^1$. C'est le cas dans le \textsc{Rouvière}. \\
\checkmark ~ Rappel: Théorème d'inversion locale. Soient $U$ un ouvert de $\R^n$, $a \in U$, et $f: U \rightarrow \R^n$ une application de classe $\mathcal{C}^1$. On suppose que la matrice jacobienne $\D f(a)$ est inversible i.e. $\det \D f(a) \neq 0$. Alors il existe un ouvert $V \subset U$ qui contient $a$ et un ouvert $W$ qui contient $f(a)$, tels que $f|_{V}$ soit un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme de $V$ sur $W=f(V)$.\\
\checkmark ~Si $A$ isomorphe à $A'$ et $B$ isomorphe \underline{par le même isomorphisme} à $B'$ alors $A \oplus B=A' \oplus B'$ \\
\checkmark ~ Rappel: Formule de Taylor reste-intégral. Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{k+1}$, on a 
$$f(a+h)=f(a)+\D f(a)(h)+ \cdots+ \frac{1}{k!}\D^kf(a)(h)^k + \int_0^1 \frac{(1 - t)^k}{k!} \D^{k+1}f(a+th)(h)^{k+1}  \,\mathrm dt$$
Attention, la notation $(h)^k$ signifie $\underbrace{(h,h,\cdots,h)}_{k \text{ fois}}$.\\
\checkmark ~ Si $f:\R^n \rightarrow \R$, soir $a \in \R^n$ alors D$^2f(a)$ est un matrice de taille $n \times n$. Ainsi, on peut écrire $\D^2f(a)(h,k)={^tk}\D^2f(a)h$ matriciellement.\\
\checkmark ~Une forme quadratique $q$ est non-dégénérée si Ker$(q)=\{0\}$.\\
\checkmark ~Théorème d'inertie de Sylvester version simplifiée: si $q$ est une forme quadratique sur $\R^n$ de signature $(p,n-p)$ alors il existe une base dans laquelle la matrice de $q$ est $\begin{pmatrix}
I_p & 0 \\
0 & -I_{n-p}
\end{pmatrix}$.\\
\checkmark ~Dès que $P$ est inversible, on a $(^tP)^{-1}={^t(P^{-1})}$.\\
\checkmark ~Application en géométrie des surfaces.\\
\checkmark ~Application dans la méthode de la phase stationnaire [ZQ p341] ?.\\
$\clubsuit$ Marston \textsc{Morse} (1892-1977) (à ne pas confondre avec Anthony \textsc{Morse}, mathématicien également) est un mathématicien américain, connu surtout pour ses travaux sur le calcul des variations global, un sujet où il a introduit la technique de topologie différentielle appelée depuis théorie de Morse.\\
~\\
$\star$ Si on veut la décomposition explicite de $M \in \MnR$, il s'agit de 
$$M=A_0^{-1}AM=A_0^{-1} \left( \frac{^t(AM)+AM}{2} - \frac{^t(AM)-AM}{2} \right)=A_0^{-1}\frac{^t(AM)+AM}{2} - A_0^{-1}\frac{^t(AM)-AM}{2}$$
\end{document}