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\newtheorem*[bodystyle=\upshape, M]{thm}{Théorème}
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\newcommand*{\C}{\mathbb{C}} % L'ensemble des complexes

\begin{document}

\begin{textblock*}{3cm}(30mm,15mm) 
\includegraphics[scale=0.25]{images/molien.jpg} 
\end{textblock*} 


\begin{center}
\begin{huge}
Théorème de Molien\\
avec séries formelles\\
\end{huge}
\vspace{0.5cm}
Laura \textsc{Gay} $\heartsuit$ Camille \textsc{Francini}  \\
\vspace{1cm}
\end{center}


\underline{Référence :} \textsc{Leichtnam} : Exercices corrigés de mathématiques posés à l'oral des concours Polytechnique et des ENS Tome Algèbre et Géométrie p. 95 \begin{small} (ou \textsc{Peyré}: L'algèbre discrète de la transformée de Fourier : Niveau M1) \end{small}\\

\begin{thm}[Théorème de Molien - 1897?]
Soit $u\in GL_{n}(\mathbb{C})$. Pour $P\in A=\mathbb{C}[X_{1},...,X_{n}]$ on pose $\sigma(u)(P)=P(u^{-1}(X_{1},...,X_{n})^{t})=P\left(\sum_{1\leqslant j\leqslant n}u_{j,1}X_j,...,\sum_{1\leqslant j\leqslant n}u_{j,n}X_j\right)$. Alors :
\begin{enumerate}
\item L'application $\sigma : GL_{n}(\mathbb{C}) \rightarrow \mathrm{Aut}(A)$ est bien définie et est un morphisme de groupes. $\forall k\in\mathbb{N}$, ce morphisme induit, par restriction, un morphisme
$\sigma_{k} : GL_{n}(\mathbb{C}) \rightarrow \mathrm{Aut}(A_{k})$ où $A_{k}$ désigne l'ensemble des polynômes homogènes à $n$ variables de degré $k$.
\item Si $G$ est un sous-groupe fini de $GL_{n}(\mathbb{C})$, G agit aussi sur $A_{k}$ et on a : \[\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g\in G}\frac{1}{\det(I_{n}-gX)}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dim(A_{k}^{G})X^{k},\]
où $A_{k}^{G}=\lbrace P\in A_{k}\ |\ \forall g\in G\ \sigma_{k}(g)(P)=P\rbrace$.
\end{enumerate}
\end{thm}
\vspace{1cm}


\begin{lem} Soit $V$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie. Soit $\varphi : G\rightarrow \mathcal{GL}(V)$ un morphisme de groupe. On note $V^G=\{v \in V ~|~ \forall g \in G, \varphi(g)(v) = v\}$.\\
 Alors:  $$\text{dim} V^G=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\text{tr}(\varphi (g))$$
\end{lem}

\textbf{\underline{Preuve du Lemme}}\\
On pose pour cela : $p_G=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\varphi (g)$ \\
Alors, on remarque que $\forall v\in V, \forall h\in G$ on a : 
$$\varphi(h)(p_G(v))=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\varphi(h)\varphi(g)(v)$$
Mais $g\mapsto hg$ est une permutation de $G$ et $\varphi(h)\varphi(g)=\varphi(hg)$\\
Nous avons donc que $\varphi(h)(p_G(v))=p_G(v)$ donc $p_G(V)\subset V^G$. \\
De plus, pour tout $v\in V^G$, on a : $p_G(v)=v$, donc $p_G(V)=V^G$. \\
Comme $\varphi(h)p_G=p_G$ pour tout $h\in G$ on a $p_G\circ p_G=p_G$. \\
Ainsi $p_G$ est un projecteur d'image $V^G$ et donc:
\[~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\underline{\text{rg}(p_G)=\text{dim} V^G=\text{tr}(p_G)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\text{tr}(\varphi (g))}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \blacksquare \] 


\textbf{\underline{Preuve du théorème}}\\

\textbf{Étapes :}\\
1) Création d'un automorphisme $\sigma_k(g)$ de $A_k$ \\
2) On montre que $\frac{1}{\text{det}(I-Xg)}=\sum_{k=0}^{+\infty}\text{tr}(\sigma_k(g))X^k$ \\
3) On conclut alors sur l'égalité avec le \textbf{Lemme}.

\begin{description}
\item[Etape 1:] ~\\
Vérifions déjà que l'application $\sigma$ est bien définie (et donc que l'on avait bien une action). Déjà: 
\begin{align*}
\sigma(g)\circ\sigma(g')(P)&=\sigma_g(\sigma_{g'}(P))
\\
&=\sigma({g'})(P)\left( \sum_{1\leqslant j\leqslant n}u_{j,1}X_j,...,\sum_{1\leqslant j\leqslant n}u_{j,n}X_j \right) \\
&=\sigma(g\circ g')(P)
\end{align*}
De plus on a $\sigma({I})=I$ donc $\forall g\in G$, $(\sigma(g))^{-1}=\sigma({g^{-1}})$. Comme de plus $\sigma(g)$ est linéaire, $\sigma(g)$ est bien dans $\text{Aut} (A)$. \\
De plus $\forall k\in \mathbb{N}$, $\forall g\in G$, on a $\sigma_g(A_k)\subset A_k$. Or $A_k$ est de dimension finie et $\sigma(g)$ est injective. \\ 
$\sigma(g)$ est surjective par $(\sigma(g))^{-1}=\sigma({g^{-1}})$.\\
\underline{Donc $\sigma(g)$ induit un isomorphisme \textit{(sert à dire qu'on est bien dans $\mathcal{GL}$)} de $A_k$ que l'on appelle $\sigma_k(g)~(=\sigma(g)_{|A_k})$}.\\
\item[Etape 2:]~\\
D'après le théorème de Lagrange $\forall g\in G$, $g^{|G|}=I$. Or le polynôme $X^{|G|}-1$ est scindé à racines simples sur $\C$. Ainsi, $g$ est diagonalisable, il existe donc $u\in \mathcal{GL}(W)$ tel que : $ugu^{-1}$ admette une matrice diagonale dans la base $(e_1,..,e_n)$. Alors, comme : $\sigma(ugu^{-1})_{|A_k}=\sigma(u)_{|A_k}\sigma(g)_{|A_k}\sigma(u^{-1})_{|A_k}$, on a :
\[\text{tr}(\sigma_k(g))=\text{tr}(\sigma(ugu^{-1})_{|A_k})\]

On peut ainsi se ramener au cas où $g\in G$ est une matrice diagonale dans la base $(e_1,..,e_n)$ : $\begin{pmatrix}
\lambda_1& &0\\
&\ddots& \\
0& &\lambda_n
\end{pmatrix}$

On a : 
\[\frac{1}{\text{det}(I-Xg)}=\prod_{i=1}^n\frac{1}{1-\lambda_iX}=\prod_{i=1}^n \left( \sum_{p=0}^{+\infty}\lambda_i^pX^p \right)=\sum_{p=0}^{+\infty}v_pX^p\]
Avec $v_p=\sum_{k_1,...k_n\in\mathbb{N}, \atop{k_1+..+k_n=p}}\lambda_1^{k_1}...\lambda_n^{k_n}$ (produit de Cauchy des séries)

Or $g_p(X_1^{k_1}...X_n^{k_n})=\lambda_1^{k_1}...\lambda_n^{k_n}X_1^{k_1}..X_n^{k_n}$.

Ainsi, comme $\{X_1^{i_1}...X_n^{i_n}/i_1,..i_n\in \mathbb{N}\text{ et }i_1+...+i_n=p\}$ est une base de $A_p$, $v_p=\text{tr}(g_p)$ et donc \underline{$\frac{1}{\text{det}(I-Xg)}=\sum_{k=0}^{+\infty}\text{tr}(\sigma_k(g))X^k$}
\item[Etape 3:]~\\
Pour tout $k\in \mathbb{N}$, $\varphi$ :  \begin{tabular}{ccc}
$G$ &$\rightarrow$ &$\mathcal{GL}(A_k)$\\
 $g$ &$\mapsto$ &$\sigma_k(g)$ \end{tabular} est un morphisme de groupe. \\
Ainsi, on peut appliquer le \textbf{Lemme}, et on a: 
$$\dim(A_{k}^{G})=\text{dim}(A_k^G)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\text{tr}(\sigma_k(g))$$
Donc: 
\[~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \underline{\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} \frac{1}{\text{det}(I-Xg)}=\sum_{k=0}^{+\infty}\dim(A_{k}^{G})X^k}  ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \blacksquare  \]
\end{description}

\bigskip

\textbf{Bonus : }
\[a_p=\binom{p}{p+n-1}\]
En effet on a $\sum_{p\geq 0}a_pX^p= \left(\frac{1}{1-X}\right)^n$ et $\left(\frac{1}{1-X}\right)^{(n-1)}=\frac{(n-1)!}{(1-X)^n}=\sum_{p=0}^{+\infty}(p+n-1)..(p+1)X^p$. 

Ainsi en associant les deux on obtient : 
\[a_p=\frac{(p+n-1)...(p+1)}{(n-1)!}=\binom{p}{p+n-1}\]

\vspace{2cm}

\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\
\checkmark ~\textbf{A l'oral}, on ne fait pas le lemme. Il faut introduire l'action dès le début. Dire les étapes à l'oral mais ne pas les écrire car sinon lemme + étapes = beaucoup avant de commencer vraiment.\\
$\surd$ Il faut savoir justifier pourquoi $V$ doit être de dimension finie (car sinon tr n'existe pas...)\\
\checkmark ~$X$ est un scalaire ! (du coup on se moque de l'ordre $gX$ ou $Xg$).\\
\checkmark ~Le développement peut se réécrire avec le vocabulaire des représentations. \\
\checkmark ~Avec le vocabulaire des séries formelles, se remet sans problème dans 101, 107, 124, 151, 152.\\
$\clubsuit$ Theodor \textsc{Molien} (1861 - 1941) est un mathématicien germano-balte. Il étudiait les algèbres commutatives et les polynômes invariants de groupes finis. 



\end{document}