\documentclass{article}
\usepackage{titling}
\author{Laura \textsc{Gay}}
\include{preambule}

\newboxedtheorem{defi}{Définition}{}
\newboxedtheorem{prop}{Proposition}{}
\newboxedtheorem{lem}{Lemme}{}
\newboxedtheorem{coro}{Corollaire}{compteur3}
\newboxedtheorem{thm}{Théorème}{compteur4}
\newboxedtheorem{exe}{Exemple}{compteur5}


\renewenvironment{proof}[1][]{{\underline{\bfseries \proofname #1 :}\\ }}{\hfill $\blacksquare$\\}
\newcommand{\D}{\text{D}}

\begin{document}
\renewcommand{\proofname}{Preuve}

\begin{textblock*}{3cm}(15mm,10mm) 
\includegraphics[scale=0.07]{images/bell.jpg} 
\end{textblock*} 
\begin{spacing}{2}
\setlength {\shadowsize }{2pt}
\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{15cm}
\centering     \begin{huge} 
\textsc{Nombres de Bell}\end{huge}
\end{minipage}} \end{center}\end{spacing}
~\\



\underline{Référence :} \textsc{FGNal1} p.14 et internet...\\


\begin{defi}
Pour tout $n \in \N^*$, on note $B_n$ le nombre de partitions de l'ensemble $\llbracket 1,n \rrbracket$, avec par convention $B_0=1$.
\end{defi}

\begin{lem}
\begin{itemize}
\item On a ${B_{n+1}}={ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}B_{k}}$.
\item Pour $n \geq 1$, $B(n) \leq n B(n-1)$
\item De plus, pour $n\geq 1$ $\sqrt{(n-1)!}\leq B_n \leq n!$.
\end{itemize} 
\end{lem}

\begin{proof}
~\\
Déjà, on a $B_1=1$, $B_2=2$ et $B_3=5$ (12-3;13-2;23-1;1-2-3;123).
\begin{itemize}
\item Pour $k \in \{0,...,n\}$, soit $E_k$ l'ensemble des partitions de $\llbracket 1,n+1 \rrbracket$ telles que la partie contenant $n+1$ soit de cardinal $k+1$. Les $E_k$ sont bien sûr disjoints (ils ne contiennent pas les mêmes partitions).\\
~\\
Pour constituer la partie contenant $n+1$, il faut choisir $k$ éléments dans $\llbracket 1,n \rrbracket$ qui seront dans la partie de $n+1$ puis réaliser une partition des $n-k$ éléments restants. Ceci nous donne $\abs{E_k}=\binom{n}{k}B_{n-k}$.\\
Ensuite, on sait que $\bigsqcup_{k=0}^{n} E_k$ est l'ensemble des partitions de $\llbracket 1,n+1 \rrbracket$ (on a mis toutes les façons possibles de couper $\llbracket 1,n+1 \rrbracket$). Donc $\underline{B_{n+1}}=\sum_{k=0}^{n} \abs{E_k}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}B_{n-k}=\underline{ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}B_{k}}$ \quad car $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$\\
\item Par récurrence, pour $n=1$ OK. \\
On utilise ensuite la formule précédente 
$${B_{n+1}}=1+{ \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k}B_{k}} \leq 1+{ \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k}kB_{k-1}}=1+{n \sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1}B_{k-1}}=1+{n \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k}B_{k}}=1+nB_n$$
Donc a fortiori $B_{n+1} \leq (1+n)B_n$. Ce qui clôt la récurrence.
\item La majoration est immédiate par récurrence avec la formule précédente. \\
On va procéder également par récurrence pour la minoration en utilisant la première formule.  \\
Pour $n=1$ OK\\
On utilise pour la récurrence une minoration de la somme par l'un de ses termes 
$$B_{n+1} \geq \binom{n}{n-1}B_{n-1} = n B_{n-1}$$
\includegraphics[scale=0.4]{images/bell2.jpg} 
D'où la minoration.
\end{itemize} 
\end{proof}

\begin{prop}[Formule de Dobinski - 1877]
On a $B_n=\frac{1}{\text{e}}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{k^n}{k!}$
\end{prop}

\begin{proof}
\begin{description}
\item[Etape 1] Soit $f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{B_n}{n!}z^n$. Montrons que \underline{le rayon de convergence $R$ de cette série n'est pas nul}.\\
Par le \textbf{Lemme}, $\forall n \in \N, ~ B_n \leq n!$. Ainsi $R \geq 1$ (comparaison des séries à termes positifs car $\sum_{k=0}^{+\infty}z^n$ converge pour $\abs{z}<1$) donc $R$ non nul. \\
\item[Etape 2] Calculer $f$ sur $]-R,R[$\\
La fonction $f$ est dérivable sur cet intervalle et on a:\\
$\begin{array}{ll}
f'(z)&=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{B_n}{(n-1)!}z^{n-1} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{B_{n+1}}{n!}z^n \\
&= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}B_{k}z^n \\
&= \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\sum_{k=0}^{n}  \frac{B_{k}}{k!} \frac{1}{(n-k)!} \right) z^n = \left(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{B_{n}}{n!}z^n \right)\left( \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}z^n \right) \quad \text{(produit de Cauchy)} \\
&=f(z)\text{e}^z
\end{array}$\\
Donc il existe $C \in \R$ tq $f(z)=C\text{e}^{\text{e}^z}$ pour $z \in ]-R,R[$.\\
Mais $f(0)=B_0=1$ donc $$f(z)=\frac{1}{\text{e}}\text{e}^{\text{e}^z}$$
\item[Etape 3] Déduire $B_n$\\
~\\
On exprime un autre développement en série entière de $f$.\\
 En effet, $\text{e}^{\text{e}^z}=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{\text{e}^{kz}}{k!}=\sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(kz)^n}{k!n!}=\sum_{n=0}^{+\infty} \left( \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{k^n}{k!} \right) \frac{z^n}{n!}$ (voir détails pour appliquer le théorème de Fubini) \\
 Et donc, par unicité du développement en série entière: 
 $$B_n= \frac{1}{\text{e}}\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{k^n}{k!}$$
\end{description}
\end{proof}

\underline{Détails:}\\
Considérons la suite $(u_{n,k})_{(n,k) \in \N^2}= \frac{(kz)^n}{k!n!}$. \\
Cette série est sommable car $\sum_{n=0}^{+\infty} \abs{u_{n,k}} = \frac{\text{e}^{\abs{kz}}}{k!}$ et $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{\text{e}^{\abs{kz}}}{k!} = \text{e}^{\text{e}^z}$.
 
\vspace{1cm}

\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\ 
\checkmark ~\textbf{A l'oral}, bla \\
\checkmark ~Ces calculs montrent que le rayon de $f$ est infini.\\
\checkmark ~ $B_n$ est convexe au sens où $B_{n-1}+B_{n+1} \geq 2B_n$ mais ça sert à rien.\\
\checkmark ~$B_n$ est donc le moment d'ordre $n$ d'une loi de Poisson de paramètre 1.\\
\checkmark ~Equivalent des nombres de Bell: on peut montrer que ln$(B_n) \sim n \text{ln}(n)$ (compliqué)\\
 \url{http://culturemath.ens.fr/maths/pdf/combi/boites.pdf} \\
$\clubsuit$ Eric Temple \textsc{Bell} (1883 – 1960) est un mathématicien et auteur de science-fiction écossais. Ses recherches portent sur la théorie des nombres, en particulier les séries de Bell. Il travaille aussi sur les fonctions génératrice. Il est à l'origine des polynômes de Bell et des nombres de Bell en combinatoire.\\
$\clubsuit$ \textsc{Dobinski} (qui était-ce?)


\end{document}