\documentclass{article}
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\author{Laura \textsc{Gay}}
\include{preambule}

\newboxedtheorem{defi}{Définition}{}
\newboxedtheorem{prop}{Proposition}{}
\newboxedtheorem{lem}{Lemme}{compteurLEM}
\newboxedtheorem{coro}{Corollaire}{}
\newboxedtheorem{thm}{Théorème}{}
\newboxedtheorem{appli}{Application}{}


\renewenvironment{proof}[1][]{{\underline{\bfseries \proofname #1 :}\\ }}{\hfill $\blacksquare$\\}


\newcommand{\erm}{\text{e}}

\begin{document}
\renewcommand{\proofname}{Preuve}

\begin{spacing}{2}
\setlength {\shadowsize }{2pt}
\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{15cm}
\centering     \begin{huge} 
\textsc{{Irréductibilité des polynômes cyclotomiques}}\end{huge}
\end{minipage}} \end{center}\end{spacing}
~\\

\underline{Référence :} \textsc{Gozard} Théorie de Galois p.68\\
\underline{Leçons :}  102,120,121,123,141.\\

\begin{defi}
Pour $n\in \N^*$, on note $\mu_n := \left\{\erm^{\frac{2\irm k \pi}{n}}~/~k \in \Z \right\}$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité et 
$$\mu_n^* := \left\{\erm^{\frac{2\irm k \pi}{n}}~/~k \in \llbracket 1 , n-1 \rrbracket,~~k \wedge n = 1\right\}$$ l'ensemble des racines $n$-ièmes primitives de l'unité c'est à dire celles qui engendrent $\mu_n$. Le $n$-ième polynôme cyclotomique est le polynôme défini par
\[ {\Phi_n = \prod_{\xi \in \mu_n^*}(X - \xi)} .\]
\end{defi}

\begin{lem}
On a $X^n-1=\prod_{d\vert n} \Phi_d(X)$
\end{lem}
~\\
\begin{proof}
Il suffit de montrer que $\mu_n = \bigsqcup_{d \vert n} \mu_d^*$.\\ 
Si $d \vert n$, $\mu_d^* \subset \mu_d \subset \mu_n$. \\
Chaque racine $n$-ième de l'unité a un unique ordre (multiplicatif) qui est un diviseur de $n$ d'après le théorème de Lagrange. Autrement dit, chaque élément de $\mu_n$ appartient à un et un seul des $\mu_d^*$. 
\end{proof}
~\\
\begin{lem}
Soient $P\in \Z[X]$ non nul unitaire, $A,B$ éléments non nuls de $\Q[X]$ et $A$ unitaire. \\
Alors $A,B \in \Z[X]$.
\end{lem}
~\\
\begin{proof}
Déjà, $B$ est forcément unitaire aussi.\\
Notons $A(X)=X^n+\sum_{i=0}^{n-1}a_iX^i$ où $a_i \in \Q$. Soit $a_i=\frac{p_i}{q_i}$ sa forme factorisée ($p_i \in \Z$ et $q_i \in \N^*$).\\
On pose $q=\text{ppcm}(q_0,\dots,q_{n-1})$. Ainsi, $A(X)=X^n+\frac1q\sum_{i=0}^{n-1}z_iX^i$ et les $z_i \in \Z$. \\
Quitte à diviser $z_0,\dots,z_{n-1}$ et $q$ par pgcd$(z_0,\dots,z_{n-1},q)$, on peut supposer\footnote{Ca ne change rien à notre problème car le pgcd est dans $\Z$ donc si on doit remultiplier par lui à la fin on garde notre résultat} pgcd$(z_0,\dots,z_{n-1},q)=1$.\\
Posons $A_1=qA$. Par construction, $A_1 \in \Z[X]$. De plus, $A_1$ est primitif par la remarque si dessus. De même, on peut contruire de la même manière un polynôme $B_1 \in \Z[X]$ primitif tq $B_1=rB$. Le lemme de Gauss nous dit que $A_1B_1$ est également primitif.\\
Mais on a  $qrP=A_1B_1$ donc $\text{c}(qrP)=qr\text{c}(P)=1$ donc $qr=1$ et comme $q$ et $r$ sont naturels $q=r=1$.\\
Donc $A=A_1 \in \Z[X]$ et $B=B_1 \in \Z[X]$

\end{proof}
~\\
\begin{thm}
On a $\Phi_n \in \Z[X]$ et $\Phi_n$ irréductible dans $\Q[X]$. Alors il le sera dans $\Z[X]$ car primitif (car unitaire).
\end{thm}
~\\
\begin{proof}
\begin{description}
\item[Etape 1] Par récurrence forte, montrons que $\Phi_n \in \Z[X]$.\\
\begin{itemize}
\item Pour $n=1$, c'est vrai car $\Phi_1(X) = X - 1$.
\item Supposons le résultat vrai jusqu'au rang $n-1$ et montrons le au rang $n$.\\
Par hypothèse de récurrence, le polynôme $F=\prod_{\substack{  d\vert n \\ d \neq n }} \Phi_d \in \Z[X]$ et $X^n-1=\Phi_n F$ par le \textbf{Lemme 1}.\\
$\Q$ étant un corps, $X^n-1$ et $F$ sont des polynômes à coefficients dans $\Q$. Donc on peut faire la division euclidienne (avec unicité) de $X^n-1$ par $F$:
$$X^n-1=FQ+R\text{~~~~avec deg}(R)<\text{deg}(F)\text{ et }Q,R \in \Q[X]$$
Comme on avait déjà $X^n-1=\Phi_n P_0$, par unicité, on a $R=0$ et $Q=\Phi_n$ donc $\Phi_n \in \Q[X]$. Le \textbf{Lemme 2} permet de conclure. 
\end{itemize}
\item[Etape 2] Soit $\omega \in \mu_n^*$. Comme $\Q$ est un corps, on peut avoir un polynôme minimal pour $\omega$ sur $\Q$. Soit $f$ ce polynôme qui est donc irréductible sur $\Q$.\\
Comme $\omega$ annule $X^n-1$, $f \vert X^n-1$ ie il existe $h \in \Q[X]$ tq\footnote{Si on a un doute sur pk $h$ est dans $\Q$ on dit que $h$ est dans $\C$ puis toujours pareil unicité de la division euclidienne dans $\Q$.} $X^n-1=f(X)h(X)$. Toutes les hypothèses sont bonnes pour appliquer le \textbf{Lemme 2} qui nous dit que $f$ et $h$ sont dans $\Z[X]$.\\

\item[Etape 3] Soit $u \in \C$ une racine de $f$ et $p$ un nombre premier tel que $p \nmid n$, montrons que $f(u^p)=0$.
\begin{itemize}
\item Comme $f \vert X^n-1$, on a $u^n-1=0$ donc $u \in \mu_n$ donc $u^p \in \mu_n$. Donc 
$$0=(u^p)^n-1=f(u^p)h(u^p)$$
\item Supposons par l'absurde $f(u^p) \neq 0$. Alors $h(u^p)=0$.\\
Comme $u$ annule $f$ (choisi ainsi), et que $f$ est irréductible sur $\Q$, $f$ est aussi le polynôme minimal de $u$ sur $\Q$. Donc finalement $f \vert h(X^p)$. Il existe $g \in \Q[X]$ tq $h(X^p)=f(X)g(X)$. On appelle le \textbf{Lemme 2} encore une fois qui nous dit que $g \in \Z[X]$.  \\

\item On se place maintenant dans $\F_p$ et on note $\bar \cdot$ les classes. Par le morphisme de Frobenius (question 2/c de Gourdon Algèbre p.91 si on veut détailler), on a $$[\overline{h}(X)]^p=\overline{h(X^p)}=\overline{f}(X)\overline{g}(X)$$
Soit $\theta \in \F_p[X]$ un facteur irréductible de $\overline{f}$. Alors $\theta \vert \overline{h}^p$ donc  $\theta \vert \overline{h}$ dans $\F_p[X]$. Donc $\theta^2$ divise $\overline{f} \overline{h}= X^n-\overline{1}$.\\
Par conséquent $X^n-\overline{1}$ possède une racine double dans une clôture algébrique de $\F_p$. Ceci est absurde\footnote{On trouve une autre preuve qui revient au même dans Gourdon algèbre p.91 question 2/d\\
Supposons $X^n-\overline{1}=\overline{\theta}^2\overline{S}$.\\
On dérive cette expression: $\overline{n}X^{n-1}=2\overline{\theta \theta'S}+\overline{\theta}^2\overline{S'}$ et donc $\overline{\theta} \big \vert \overline{n}X^{n-1}$. Donc $\overline{\theta} \big \vert \overline{n}X^{n}$. Or $\overline{\theta} \big \vert (X^n-\overline{1})$ donc $\overline{\theta} \big \vert ( \overline{n}X^n-\overline{n})$ et finalement par différence $\overline{\theta} \big \vert \overline{n}$. \\
Or $p \nmid n$ ie $\overline{n} \neq \overline{0}$ et donc $\overline{\theta}$ est constant.  Cela est absurde car alors $\overline{\theta}$ serait inversible et non irréductible dans $\F_p[X]$.
} car $X^n-\overline{1}$ est premier\footnote{C'est le théorème de Bezout car $\frac{1}{\overline{n}}X\overline{n}X^{n-1}-(X^n-\overline{1}=1$} avec sa dérivée $\overline{n}X^{n-1}$.\\ 
Donc l'hypothèse de départ était fausse et $f(u^p)=0$
\end{itemize}
\item[Etape 4] Soit $\xi$ une racine $n$-ième primitive quelconque de l'unité. On sait qu'il existe $k \wedge n =1$ tq $\xi = \omega^k$. Par élévations successives\footnote{Il serait plus propre de faire ici la récurrence du Gourdon (question 2/f).\\
$k=p_1\cdots p_s$ avec $p_i$ premiers. Par récurrence sur $s$, mq $f(\omega^k)=0$ .\\
\begin{itemize}
\item Pour $s=1$, c'est par construction.
\item Supposons le résultat vrai au rang $s-1$ et montrons le au rang $s$.\\
Comme $k \wedge n =1$, on a $(p_1\cdots p_{s-1}) \wedge n =1$ et par hypothèse de récurrence $f(\omega^{p_1\cdots p_{s-1}})=0$. Or $p_s \wedge n =1$ donc $f\left((\omega^{p_1\cdots p_{s-1}})^{p_s}\right)=0$ (c'est l'étape 3) d'où le résultat.\end{itemize}} de $\omega$ à des puissances de $p$ où $p$ premier ne divise par $n$, on montre que $f(\xi)=0$.

\item[Etape 5] Conclusion\\
On a donc montré que tous les éléments de $\mu_n^*$ sont racines de $f$ donc de $\Phi_n$. Donc $\deg(f) \geq  \deg(\Phi_n)= \varphi_n$. Mais $f \vert \Phi_n$ et ils sont tous les deux unitaires donc  $f=\Phi_n$ et finalement $\Phi_n$ est irréductible dans $\Q[X]$ !
 \end{description}
\end{proof}

\section*{Méthode permettant de calculer ``rapidement" $\Phi_n$ -- Merci Pierre}

\begin{prop}[Formule d'inversion] Soit $G$ un groupe abélien noté additivement, $g: \mathbb{N}^{*} \longrightarrow G$ une application et $f: \mathbb{N}^{*} \longrightarrow G$ l'application définie par $f(n) = \sum_{d|n}g(d)$. On a 
\[ g(n) = \sum_{d|n}\mu(d)f\left(\frac{n}{d}\right) = \sum_{d|n}\mu \left(\frac{n}{d}\right)f(d) .\] \end{prop}

\begin{proof} $\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d}) = \sum_{d|n}\left[\mu(d)\sum_{e\vert \frac{n}{d}}g(e)\right] = \sum_{d|n}\left[g(e)\sum_{d \vert \frac{n}{e}}\mu(d)\right] = g(n) .$
car $\sum_{d\vert\frac{n}{e}}\mu(d) = 0$ si $n/e > 1$ i.e si $e < n$.\end{proof}
~\\
~\\
En notant $G = \mathbb{C}(X)^{*}$ le groupe multiplicatif des fractions rationnelles à coefficients complexes, $f,g: \mathbb{N}^{*}\rightarrow G$ les applications définies par $f(n) = X^n-1$ et $g(n) = \Phi_n(X)$ on a $f(n) = \prod_{d|n}g(d)$ et la formule d'inversion de Möbius (version multiplicative) donne
\[ \Phi_n(X) = \prod_{d|n}\left(X^d - 1\right)^{\mu(n/d)}\]


\underline{Exemple}: $\Phi_{28}(X) = \prod_{d|28}\left(X^d - 1\right)^{\mu(28/d)}$
\[ = (X^{28}-1)^{\mu(1)}(X^{14}-1)^{\mu(2)}(X^7-1)^{\mu(4)}(X^4-1)^{\mu(7)}(X^2-1)^{\mu(14)}(X-1)^{\mu(28)}\]
\[ = (X^{28}-1)^{1}(X^{14}-1)^{-1}(X^7-1)^{0}(X^4-1)^{-1}(X^2-1)^{1}(X-1)^{0}\]
\[ = \frac{(X^{28}-1)(X^2-1)}{(X^{14}-1)(X^{4}-1)} = \frac{(X^{14} + 1)}{(X^2 + 1)} = X^{12} - X^{10} + X^8 - X^6 + X^4 - X^2 + 1 .\]


\vspace{2cm}

\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\
\checkmark ~\textbf{A l'oral}, 14'38 tout sauf le Lemme 1. Se garder le Lemme 2 à la fin pour aller plus ou moins vite dessus.\\
\checkmark ~Il faut savoir que Gozard ici contourne le problème de la factorialité de $\Z[X]$ en la démontrant partiellement. Si ça nous gêne, il vaut mieux prendre dans Perrin.\\
\checkmark ~On peut remarquer que deg$(\Phi_n)=\varphi(n)$.\\
\checkmark ~On peut également remarquer que pour $p$ premier, $$\Phi_p=\left(X-\erm^{\frac{2\irm  \pi}{p}}\right)\dots\left(X-\erm^{\frac{2\irm (p-1) \pi}{p}}\right)=\frac{X^p-1}{X-1}=1+X+\cdots+X^{p-1}$$ (se retrouve avec la formule d'inversion) L'irréductibilité pour $p$ premier peut se montrer plus rapidement avec Eisenstein (exo 4p58 Gourdon)\\
\checkmark ~D'une manière générale on peut définir les polynômes cyclotomiques sur un corps $k$ quelconque: on les note $\Phi_{n,k}$. Ici on étudie les polynômes cyclotomiques sur $\mathbb{Q}$. Il faut avoir conscience à l'oral que les polynômes cyclotomiques dépendent du corps où l'on a choisi de se placer.\\
\checkmark ~A quoi servent ces polynômes ? Les extensions cyclotomiques ( un corps de rupture d'un polynôme cyclotomique ) sont très utilisées dans la résolution de certaines équations diophantiennes.\\
\checkmark ~Autre version: uniquement $p$ premier + dim d'un ev FGNAl1 p.190



\end{document}