\documentclass{article}
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\author{Merci S. \textsc{Rostam}, P. \textsc{Derennes} et F. \textsc{Lemonnier}}
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\newboxedtheorem{defi}{Définition}{compteur1}
\newboxedtheorem{proposition}{Proposition}{compteur2}
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\newcommand*{\pext}{\mathbb{P}_{\text{ext}}}

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\renewenvironment{proof}[1][]{{\underline{\bfseries \proofname #1 :}\\ }}{\hfill $\blacksquare$\\}
\allowdisplaybreaks %permet de couper les equations sur 2 pages

\begin{document}
\renewcommand{\proofname}{Preuve}
\begin{textblock*}{3cm}(10mm,6mm) 
\includegraphics[scale=0.25]{images/galton.jpg} 
\end{textblock*} 
\begin{spacing}{2}
\setlength {\shadowsize }{2pt}
\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{15cm}
\centering     \begin{huge} 
\textsc{Processus de Galton-Watson}\end{huge}
\end{minipage}} \end{center}\end{spacing}
~\\



\underline{Référence :} A peu près: \textsc{Benaïm El-Karoui} : Promenade aléatoire [BEN] p. 153  et \textsc{Cottrel etc.} Exercices de probabilités [COT] p. 72\\
\underline{Lecons :}  206, 223, 226, 229, 241, 243, 253, 260, 261, 264\\

\section*{Problème}

\textbf{Cadre:} De nombreux phénomènes d'évolution de population peuvent être modélisés en première approximation par un processus de branchement (réactions nucléaires en chaine, étude des gènes, survivance des noms de famille...).\\

\textbf{Modélisation mathématique:}\\
Soit $X$ une variable aléatoire intégrable à valeurs dans $\N$.\\
On note, pour $k \in \N$, \fbox{$p_k = \mathbb{P}(X=k)$} et $m = \mathbb{E}[X] = \sum\limits_{k=0}^\infty{kp_k} < \infty$.\\
Soit $\left(X_{i,j}\right)_{i,j \in \N}$ une famille de va iid, suivant la loi $\mathbb{P}_X$.\\
On définit la suite $\left(Z_n\right)_{n \in \N}$ de la façon suivante :
\[ \left\{ \begin{array}{l}
           Z_0 = 1 \\
					 \forall n \in \N, Z_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^{Z_n}{X_{i,n}} \end{array} \right. \]
 

On définit
\[ \pi_n : = \mathbb{P}(Z_n = 0)~;~ \pext := \mathbb{P}(\exists n \in \mathbb{N}, Z_n = 0) \]

\textbf{Lien avec les individus}\\
Des particules sont capables de générer des particules de la même famille. \\
Chaque particule a la probabilité $p_k$ d'engendrer $k$ particules indépendantes (cette probabilité est constante au cours des générations). \\
Une particule originale représente la génération $0$. Les descendants de la $n$-ième génération forment la $(n+1)$-ième génération. \\
$Z_n$ est le nombre d'individus à la génération $n$. \\
Chaque individu $i$ de la $n$-ième génération a un nombre $X_{i, n}$ de descendants ($ 1 \leq i \leq Z_n$) (logique donc que les $X_{i, n}$ soient iid). \\
$\pi_n$ est la probabilité d'extinction à la génération $n$.\\
$\pext$ est la probabilité d'extinction de la population.\\
Ce développement étudie la suite $(Z_n)$, en particulier s'il existe un $n$ tel que $Z_n = 0$, la population s'éteint. \\

\textbf{Hypothèses}\\
Si $p_0 = 0$, alors on a $\forall n \in \N^*, Z_n \geq 1$ ps et $\pext = 0$ (par exemple si $X=1$ p.s. alors $p_1=1$ et $p_0$=0).\\
.\\
Si $p_0 = 1$, alors on a $\forall n \in \N^*, Z_n = 0$ ps et $\pext = 1$.\\
On suppose donc désormais $p_0 \in ]0,1[$.\\



\section{Fonction génératrice de $X$}

Pour $0 \leq s \leq 1$, on définit la fonction génératrice de $X$ par
\[\boxed{G(s) = \mathbb{E}[s^{X}]=\sum_{k=0}^{\infty} p_ks^k } \leq 1\]
Comme somme de probabilités, \fbox{$G(1)=1$}.\\

\begin{proposition}
\begin{enumerate}
\item $G$ est bien définie sur $[0,1]$ et y est de classe $\mathcal{C}^1$.
\item \begin{enumerate}
      \item $G$ est strictement croissante sur $]0,1[$.
      \item $G$ est convexe sur $]0,1[$.
      \item $G$ est strictement convexe sur $]0,1[ \ \Leftrightarrow p_0+p_1 < 1$.
			\end{enumerate}
\end{enumerate} \label{proprG}
\end{proposition}

\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item $\forall k \in \N, s \mapsto p_k s^k$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0,1]$, la série $\displaystyle \sum_{k \geq 0}{p_k 1^k}$ converge (vers $1$), et la série de fonctions $\displaystyle \sum_{k \geq 1}{k p_k s^{k-1}}$ converge normalement (car $X$ est intégrable) donc uniformément sur $[0,1]$.\\
      Par conséquent, la série $\displaystyle \sum_{k \geq 0}{p_k s^k}$ converge uniformément vers $G$, de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0,1]$.
\item ~[COT question 2.] La série entière $\displaystyle \sum_{k \geq 0}{p_k s^k}$ ayant un rayon de convergence $\geq 1$, on a,  par théorème de dérivation terme à terme d'une série entière, :
      \[ \forall s \in [0,1[, G'(s) = \sum_{k = 1}^\infty{k p_k s^{k-1}} \text{ et } G''(s) = \sum_{k = 2}^\infty{k(k-1) p_k s^{k-2}} \]
			Comme $p_0 < 1$, on a : $\exists k_0 > 0, p_{k_0} > 0$.
			\begin{enumerate}
			\item Ainsi : $\forall s \in ]0,1[, G'(s) \geq k_0 p_{k_0} s^{k_0-1} > 0$ et $G$ est strictement croissante sur $]0,1[$.
			\item Aussi : $\forall s \in ]0,1[, G''(s) \geq k_0 \left(k_0-1\right) p_{k_0} s^{k_0-2} \geq 0$ et $G$ est convexe sur $]0,1[$.
			\item Si $p_0+p_1 = 1$, alors on a $k_0 = 1$ et $G$ est affine donc n'est pas strictement convexe sur $]0,1[$. \\
			      Si $p_0+p_1 < 1$, alors on peut avoir $k_1 > 1$ tq $p_{k_1}>0$ et $G'' > 0$ sur $]0,1[$ d'où la stricte convexité.
			\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{proof}


On a \fbox{$m=\mathbb{E}[X]=G'(1)$.}


\section{Fonction génératrice de $Z_n$, relation de récurrence}


Pour $n \in \N$, notons $G_n=G_{Z_n}$ la fonction génératrice de $Z_n$ ie $\boxed{G_n(s) = \mathbb{E}[s^{Z_n}]}= \sum_{k=0}^\infty{\mathbb{P}\left(Z_n = k\right) s^k}$.\\
Comme précédemment, on peut montrer que $G_n$ est bien définie sur $[0,1]$.\\
Déjà, $G_n(0)=\mathbb{P}(Z_n =0)$ donc \fbox{$\pi_n=G_n(0)$}\\
On obtient également $\boxed{G'_n(1)=\mathbb{E}[Z_n]}$.


\begin{lemme}
Pour $n \in \mathbb{N}^*$, pour $i \in \N$, la variable $Z_n$ est indépendante de $X_{i, n}$.
\end{lemme}
\begin{proof}~\\
Soit $n \in \N^*$ ; $Z_n$ ne dépend que de $Z_{n-1}$ et de la famille $\left(X_{i,n-1}\right)_{i \in \N}$.\\
Ainsi, par une récurrence immédiate, il vient : $Z_n$ ne dépend que de la famille $\left(X_{i,j}\right)_{i \geq 0, j < n}$.\\
Et, par indépendance des variables $X_{i,j}$, on obtient que $\forall i \in \N, Z_n \perp\!\!\perp X_{i,n}$.
\end{proof}

\begin{proposition}
Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on a $G_{n} = \underbrace{G \circ \dots \circ G}_{n \text{ fois}}$ (sur $[0, 1]$).
\end{proposition}


\begin{proof}~\\  
(inspiré de [COT] question 1 \footnote{Salim se complique ici.\\
On peut également l'écrire avec les probas au lieu des espérances mais c'est trop moche.})\\
On a:
\[G_{n+1}(s) = \sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(Z_{n+1}=k)s^k\]
On procède par récurrence.\\
Initialisation: $G_1(s)=\mathbb{E}[s^{Z_1}]=\mathbb{E} [s^{X_{1,0}}]=\mathbb{E} [s^{X}]=G(s)$\\
Récurrence: supposons $G_n=G \circ \dots \circ G$.
\begin{align*}
G_{n + 1}(s) &= \mathbb{E}\left[s^{Z_{n + 1}}\right]=\mathbb{E}\left[s^{\sum_{i = 1}^{Z_n} {X_{i, n}}}\right]
\\
&= \mathbb{E}\left[\prod_{i = 1}^{Z_n} s^{X_{i, n}} \right]\\
&= \mathbb{E}\left[\sum_{k=0}^{+\infty} \left( \prod_{i=1}^{k} s^{X_{i,n}} \mathds{1}_{Z_n=k} \right) \right]\\
&= \sum_{k=0}^{+\infty}\mathbb{E}\left[ \prod_{i=1}^{k} s^{X_{i,n}} \mathds{1}_{Z_n=k}  \right] \text{ (tout s'inverse comme on veut -Fubini Tonelli- car c'est } >0)\\
&= \sum_{k=0}^{+\infty}\mathbb{E}\left[ \prod_{i=1}^{k} s^{X_{i,n}}\right] \mathbb{E}\left[\mathds{1}_{Z_n=k}  \right] \text{ (car } Z_n \perp \!\!\! \perp X_{i,n} )\\
&= \sum_{k=0}^{+\infty}\prod_{i=1}^{k}\mathbb{E}\left[  s^{X_{i,n}}\right] \mathbb{P}({Z_n=k}) \text{ (car les } X_{i,n} \perp \!\!\! \perp )\\
&= \sum_{k=0}^{+\infty}\mathbb{E}\left[  s^{X}\right]^k \mathbb{P}({Z_n=k}) \text{ (car les } X_{i,n} \text{ ont même loi})\\
&= \sum_{k=0}^{+\infty} \mathbb{P}({Z_n=k})G(s)^k =G_n(G(s))
\end{align*}
On conclut par hypothèse de récurrence. \end{proof}

Ceci nous donne, par récurrence immédiate, \fbox{$\pi_{n+1}=G(\pi_n)$}.

\section{Étude de la probabilité d'extinction}

\subsection{Réécriture et convergence}

On remarque que si $Z_n = 0$ alors $Z_{n + 1} = 0$, autrement dit la suite d'évènements $(\{Z_n = 0\})_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante donc $\pi_n$ aussi. Cette suite étant majorée par 1, elle converge en croissant vers une limite $\pext \in ]0,1]$ (la stricte positivité de $\pext$ résulte de $\pext \geq \pi_1 = p_0 > 0$, cela signifie que l'extinction est un évènement possible). L'extinction ne se produit pas avec probabilité 1 à la première génération ($p_0 < 1$). \\
En obtenant des renseignements sur $(\pi_n)$, on obtiendra donc des renseignements sur la probabilité d'extinction $\pext$, le but étant de savoir si elle est égale à $1$ ou non.\\

\begin{proposition} La probabilité d'extinction $\pext$ est le plus petit point fixe de $G$.\end{proposition}

\begin{proof}
\begin{itemize}
\item Comme, $\pi_{n+1} = G(\pi_n)$, par continuité de $G$ sur $[0,1]$, $\pext = G(\pext)$. 
\item Soit $u > 0$ un autre point fixe de $G$. \\
Montrons par récurrence que $\pi_n <u$. \\
$\bullet$ Par croissance de $G$,  $\pi_1 = p_0 = G(0) \leq G(u) = u$.\\
$\bullet$ si $\pi_n <u$, $\pi_{n+1} = G(\pi_n) \leq G(u) = u$.\\
La récurrence est vérifiée.\\
Par passage à la limite on a nécessairement que $\pext$ est le plus petit point fixe de $G$ sur $]0,1]$.\end{itemize} \end{proof}



\subsection{La population va-t-elle presque sûrement s'éteindre ?}

\begin{theoreme}
Si $m \leq 1$, alors $\pext = 1$.\\
Si $m > 1$, alors $\pext$ est l'unique point fixe de $G$ sur $]0,1[$.
\label{ptfixe}
\end{theoreme}

\begin{proof}~\\
Puisque $G(1) = 1$, le graphe de $G$ coupe la droite $y = x$ sur l'intervalle $[0,1]$ au moins au point $(1,1)$. On rappelle qu'on a deux cas :\\
$\bullet$ Si $p_0 + p_1 = 1$, le graphe de $G$ est une droite et ce point d'intersection est le seul puisque $G(0) = p_0 \neq 0$.\\
$\bullet$ Sinon, $G$ est strictement convexe (Proposition \ref{proprG}) et il existe au plus\footnote{Par l'absurde, soit $y_1$ et $y_2$ ($y_1<y_2$) deux autres points fixes de $G$ (différents de 1). Posons $f: x \mapsto G(x)-x$. Alors $f(y_1)=f(y_2)=f(1)=0$ Donc (Rolle) $\exists c_1 \in ]y_1,y_2[$, $c_2 \in ]y_2,1[$, tels que $f'(c_1)=f'(c_2)=0$. Donc (Rolle) $\exists c_3 \in ]c_1,c_2[$ tel que $f''(c_3)=0$ (donc $c_3 <1$. Donc $G''(c_3)=0$. Absurde car $G$ strictement convexe.} un autre point d'intersection sur $]0,1[$. \\
~\\
Rappelons: $\displaystyle G'(1) = \sum_{n=1}^\infty{n p_n} = m$, $G'(0)=p_1$.

\definecolor{ccqqqq}{rgb}{0.8,0.0,0.0}
\definecolor{qqccqq}{rgb}{0.0,0.8,0.0}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0.0,0.0,1.0}
\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm, scale=4]
\draw[->,color=black] (0,0.0) -- (1.1,0.0);
\draw (1, .02) -- (1, -.02) node[below] {$1$};
\draw[->,color=black] (0.0,0) -- (0.0,1.11);
\draw (.02, 1) -- (-.02, 1) node[left] {$1$};
\draw[color=black] (0pt,0pt) node[below left] {$0$};
\draw [color=ccqqqq] (1.0,1.0)-- (0.0,-0.0);
\draw (0.7, 0.7) node[left] {$y = x$};
\draw [color=qqccqq] (1.0,1.0)-- (0.5,0.0);
\begin{small}
\draw (0.7763497700463109,0.5570678014323238) node[anchor=north west] {pente $m > 1$};
\end{small}
\draw [samples=50,rotate around={7.040039355942994:(0.37544418895685977,0.37657701285834405)},
xshift=0.37544418895685977cm,
yshift=0.37657701285834405cm,domain=-.359:.7)] plot (\x,{(\x)^2/2/0.4461355913472872});
\draw (0.06682782816065881,0.5164343862582559) node[anchor=north west] {$\mathcal{C}_G$};
\draw (1.0,1.0) node {$\times$};
\draw [dashed] (.38, .38) -- (.38, 0);
\draw (.38, 0) node[below] {$\pext$};
\draw (0, .46) node[left] {$p_0$};
\end{tikzpicture} &
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm, scale=4]
\draw[->,color=black] (0,0.0) -- (1.1,0.0);
\draw (1, .02) -- (1, -.02) node[below] {$1$};
\draw[->,color=black] (0.0,0) -- (0.0,1.11);
\draw (.02, 1) -- (-.02, 1) node[left] {$1$};
\draw[color=black] (0pt,0pt) node[below left] {$0$};
\draw (0.8083008734230575,0.8298700583628441) node[anchor=north west] {$y = x$};
\draw[color=ccqqqq] (0, 0) --(1, 1);
\draw [color=qqccqq] (1.0,1.0)-- (0.003899989964590353,0.461384426827447);
\begin{small}
\draw (0.1,0.536490436482579) node[anchor=north west] {pente $m < 1$};
\end{small}
\draw (0.13291653555286007,0.85) node[anchor=north west] {$\mathcal{C}_G$};
\draw [samples=50,rotate around={0.0:(0.135571507831503,0.7527086765038709)},
xshift=0.135571507831503cm,
yshift=0.7527086765038709cm,
domain=-.135:.86)] plot (\x,{(\x)^2/2/1.5054173530077417});
\draw (1, 1) node {$\times$};
\draw (0, .75) node[left] {$p_0$};
\end{tikzpicture} & \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm, scale=4]
\draw[->,color=black] (0,0.0) -- (1.1,0.0);
\draw (1, .02) -- (1, -.02) node[below] {$1$};
\draw[->,color=black] (0.0,0) -- (0.0,1.11);
\draw (.02, 1) -- (-.02, 1) node[left] {$1$};
\draw[color=black] (0pt,0pt) node[below left] {$0$};
\draw [color=ccqqqq] (1.0,1.0)-- (0.0,-0.0);
\draw (0.5699299306453406,0.5670508137617734) node[anchor=north west] {$y = x$};
\draw (0.12680446009702115,0.62) node[anchor=north west] {$\mathcal{C}_G$};
\draw [samples=50,rotate around={0.0:(0.0,0.5)},xshift=0.0cm,yshift=0.5cm,
domain=0:1)] plot (\x,{(\x)^2/2/1.0});
\draw (0, 0.5) node [left] {$p_0$};
\draw (1, 1) node {$\times$};
\end{tikzpicture}\\
\textsc{Figure 1:} Cas $m > 1$ & \textsc{Figure 2:} Cas $m < 1$ & \textsc{Figure 3:} Cas $m = 1$ avec $p_0 + p_1 < 1$
\end{tabular}
\end{center}
~~\\
~\\
\begin{description}
\item[Supposons $m > 1$.]~\\
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
      Alors $G'-1$ est une fonction croissante de $p_1-1 < 0$ (car $p_1 = 1 \Rightarrow m=1$ ou bien plus simplement car $p_0>0$) à $m-1 > 0$, donc elle s'annule en un point $\alpha \in ]0,1[$.\\
			La fonction $G-$Id est alors décroissante sur $[0,\alpha]$ puis croissante sur $[\alpha,1]$. Comme $G(0) - 0 = p_0 > 0$ et $G(1)-1 = 0$, il existe un point dans l'intervalle $]0,\alpha]$ où $G-$Id s'annule.\\
			$\pext$ est donc l'unique point fixe de $G$ sur l'intervalle $]0,1[$ (car $G$ en a au plus 2).
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\begin{flushright}
			 \begin{tikzpicture}
						 \tkzTabInit{$x$/1,$G'(x)-1$/1,$G(x)-x$/2}{$0$,$\alpha$,$1$}
						 \tkzTabLine{p_1-1,-,z,+,m-1}
						 \tkzTabVar{+/$p_0$,-/$ $,+/$0$}
						 \tkzTabVal{1}{2}{0.5}{$\pext$}{$0$}
       \end{tikzpicture}
\end{flushright}
\end{minipage}
~~\\
~\\
\item[Supposons $m \leq 1$.]~\\
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
      Alors $G'-1$ est une fonction croissante sur $[0,1]$, négative ou nulle en $1$ ; donc négative sur $[0,1]$.\\
			Donc $G-$Id est décroissante sur $[0,1]$, et s'annule en $1$. Comme cette fonction admet au plus $2$ annulations, elle ne s'annule qu'en $1$ (car sinon elle s'annulerait sur un intervalle non-réduit à un singleton).\\
			Par conséquent, $\pext = 1$.\\
			\textbf{Ou bien :} [COT]\\ 
			Pour $s < 1$ on a $G'(s) < 1$ et 
\[  \int_s^1G'(x)\mathrm dx = 1- G(s) < 1 - s .\]
c'est à dire $G(s) > s$: le graphe de $G$ est entièrement situé au-dessus de la diagonale sur $[0,1[$ et l'équation $x = G(x)$ n'a que 1 comme racine de sorte que $\pext = 1$.
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{flushright}
			 \begin{tikzpicture}
						 \tkzTabInit{$x$/1,$G'(x)-1$/1,$G(x)-x$/2}{$0$,$1$}
						 \tkzTabLine{p_1-1,-,m-1}
						 \tkzTabVar{+/$p_0$,-/$0$}
       \end{tikzpicture}
\end{flushright}
\end{minipage}



\end{description}
\end{proof}

\textbf{Petit truc en plus: }\\
{ \footnotesize Supposons que l'équation $G(x) = x$ admette une solution $0 < p < 1$. On a alors $p = \pext$ par la proposition précédente. De plus, puisque $G(p) - p = 0$ et $G(1) - 1 = 0$, le théorème de Rolle appliqué à $x \mapsto G(x) - x$ montre qu'il existe $z \in ]p,1[$ tel que $G'(z) = 1$. Comme $G$ est strictement convexe on a nécessairement $m=G'(1) > 1$.\\
} 


\section{Bonus: Espérance de $Z_n$}

On donne ici une première idée de l'évolution de la taille de la population, \textit{i.e.} de la suite $Z_n$.\\

\begin{proposition}
On a $\mathbb{E}[Z_n] = m^n$.
\end{proposition}

Logique avec le théorème \ref{ptfixe} lorsque $m \leq 1$ et $\pext=1$.\\

\begin{proof}~\\
On va raisonner par récurrence.\\
$\bullet$ $Z_0 = 1$ donc $\mathbb{E}[Z_0] = 1 = m^0$. \\
$\bullet$ Pour $n \in \mathbb{N}$, supposons que $\mathbb{E}[Z_n] = m^n$. 
\setlength{\columnseprule}{0.05cm}
\begin{multicols}{2}
\begin{center} \underline{Méthode 1:} \end{center}
On peut dériver $G_n$ (comme pour $G$), et on a, pour $s \in [0,1]$,
$$G_{n+1}'(s)=G'(s)(G_n' \circ G(s))$$
Donc en $1$: 
$$G_{n+1}'(1)=\mathbb{E}[X](G_n' (G(1))=mG_n'(1)=m^{n+1}$$
\columnbreak

\begin{center} \underline{Méthode 2:} \end{center}
$\mathbb{E}\left[Z_{n+1}\right]$
\begin{align*}
&= \mathbb{E}\left[\sum\limits_{i=1}^{Z_n}{X_{i,n}}\right]
                         = \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[\sum\limits_{i=1}^{Z_n}{X_{i,n}} \middle| Z_n \right]\right]
												 = \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[\sum\limits_{i=1}^\infty{\mathds{1}_{i \leq Z_n} X_{i,n}} \middle| Z_n \right]\right] \\
												&= \mathbb{E}\left[\sum\limits_{i=1}^\infty{\mathds{1}_{i \leq Z_n}\mathbb{E}\left[X_{i,n} \middle| Z_n \right]}\right] 
												   \text{(FT car $\geq 0$ ps $\oplus$ $\mathds{1}_{i \leq Z_n}$ $Z_n$-mesurable)} \\
												&= \mathbb{E}\left[\sum\limits_{i=1}^{Z_n}{\mathbb{E}\left[X_{i,n}\right]}\right]
												   (X_{i,n} \perp \!\!\! \perp Z_n) \\
												&= \mathbb{E}\left[\sum\limits_{i=1}^{Z_n}{m}\right]
												 = m\mathbb{E}\left[Z_n\right]=m^{n+1}
\end{align*}

\end{multicols}
Ce qui conclut la récurrence.
\end{proof}


\vspace{1cm}

\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\
\checkmark ~\textbf{A l'oral}, on n'explique pas du tout l'histoire : juste brut de maths (ce sera forcément une question du jury). On va vite sur le \textbf{1} (6'), on ne fait pas le lemme du \textbf{2} (9'27), on fait le \textbf{3}.2 géométriquement (13'51). Temps donné en allant hyper vite.\\
\checkmark ~On parle également de processus de branchement.\\
\checkmark ~En fait, la suite $(Z_n)$ est une chaîne de Markov issue de 1, dont l'espace d'états est dénombrable. L'état $0$ est absorbant. La chaîne est transciente. La question est ici de savoir si elle ``sort '' de $\N$ par 0 ou par l'infini.\\
\checkmark ~À l'origine, ce modèle a été introduit par \textsc{Galton} en 1873 en vue d'étudier la statistique des patronymes dans l'Angleterre victorienne.\\
$\clubsuit$ Francis \textsc{Galton} (1822 - 1911) est un homme de science britannique. Il fut anthropologue, explorateur, géographe, inventeur, météorologue, proto-généticien, psychométricien et statisticien. Il est entre autres fondateur de la psychologie différentielle ou comparée. Il a également mis en place de façon systématique la méthode d'identification des individus par empreintes digitales. Il fut anobli en 1909 et reçut la médaille Copley, décernée par la Royal Society. \\
$\clubsuit$ Henry \textsc{Watson} (1827 - 1903) est un mathématicien britanique. Il a écrit de nombreux livres sur les mathématiques appliquées à l'électricité et le magnétisme. A ne pas confondre avec George, célèbre pour ses travaux sur les fonctions spéciales.

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