\documentclass{article}
\usepackage{titling}
\author{Laura \textsc{Gay} d'après Florian \textsc{Bouguet}}
\include{preambule}

\newboxedtheorem{defi}{Définition}{compteur1}
\newboxedtheorem{prop}{Proposition}{}
\newboxedtheorem{lem}{Lemme}{}
\newboxedtheorem{coro}{Corollaire}{}
\newboxedtheorem{thm}{Théorème}{}
\newboxedtheorem{exe}{Exemple}{compteur5}


\renewenvironment{proof}[1][]{{\underline{\bfseries \proofname #1 :}\\ }}{\hfill $\blacksquare$\\}

\begin{document}
\renewcommand{\proofname}{Preuve}

\begin{spacing}{2}
\setlength {\shadowsize }{2pt}
\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{15cm}
\centering     \begin{huge} 
\textsc{Projection sur un convexe fermé}\end{huge}
\end{minipage}} \end{center}\end{spacing}
~\\


\underline{Référence :} \textsc{Hirsch-Lacombe}: Elements d'analyse fonctionnelle p.91+ \textsc{Gourdon} : Analyse p.407 (pour existence et unicité) \\

\begin{thm}
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
Soient $H$ un espace de \textsc{Hilbert} et $C$ un convexe fermé non-vide de $H$. Soit $x \in H$. Alors
\begin{enumerate}[(i)]
	\item $\exists ! y\in C$ vérifiant $\|x-y\|=d(x,C)=\inf_{z \in \C} \norm{x-z}$. $y$ est alors noté $x_C$ ou $p(x)$.
  \item $p(x)$ est caractérisé par $\forall z \in C$, $\Re \text{e}\langle z - p(x), x-p(x) \rangle \leq 0$ 
\end{enumerate}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\includegraphics[scale=0.5]{images/projection.png}
\end{minipage}

\end{thm}

\begin{proof}
\begin{enumerate}[(i)]
	\item 
	\begin{description}
	\item[Existence:]Notons $\delta=d(x,C)=\inf_{z \in \C} \norm{x-z}$. Par définition de $\delta$ et caractérisation séquentielle de la borne inférieure, il existe $(y_n)\in C^\N$ telle que $\lim_{n\to\infty}\|x-y_n\|=\delta$. On veut montrer que $(y_n)$ converge vers l'élément $y \in C$ recherché. Pour cela, comme $H$ est complet, on va montrer que $(y_n)$ est de \textsc{Cauchy}. \\
	Soient $p,q\in\N$, et appliquons l'égalité du parallélogramme\footnote{Je rappelle ici : $\forall x, y \in H,~\norm{x+y}^2+\norm{x-y}^2=2\left(\norm{x}^2+\norm{y}^2 \right)$} à $(x-y_p)$ et $(x-y_q)$.
\begin{eqnarray*}
\|(x-y_p)+(x-y_q)\|^2+\|(x-y_p)-(x-y_q)\|^2 &=2\left(\|x-y_p\|^2+\|x-y_q\|^2 \right)\\
\|2x-y_p-y_q)\|^2+\|y_q-y_p\|^2 &=2\left(\|x-y_p\|^2+\|x-y_q\|^2 \right)
\end{eqnarray*}
Comme $C$ est convexe $\frac{y_p+y_q}{2} \in C$ pour tout $p$ et $q$ donc $\norm{x-\frac{y_p+y_q}{2} } \geq \delta$ ie $\norm{2x-y_p-y_q }^2 \geq \delta^2$.
Et finalement 
$$\norm{y_q-y_p}^2 \leq 2\|x-y_p\|^2+2\|x-y_q\|^2-4\delta^2 $$
Par définition de $(y_n)$, le terme de droite tend vers $0$ lorsque $p,q\to\infty$. \\
Donc $(y_n)$ est de \textsc{Cauchy}. Donc comme $H$ est complet elle converge vers un certain $y \in H$. Mais $C$ est fermé donc $y\in C$ et, par continuité de la norme, $\|x-y\|=d(x,C)$.\\
\item[Unicité:]Supposons, par l'absurde, qu'il existe $z\in C$ $z\neq y$ tel que $\|x-z\|=d(x,C)$. \\
On définit la suite $(y_n)$ de $C$ par: $\begin{cases} y &\mbox{si $n$ pair }\\
z&\mbox{si $n$ impair } \end{cases}$.\\
Alors $(y_n)$ vérifie $\norm{x-y_n}=\delta$ pour tout $n$ donc en particulier $\norm{x-y_n}\underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow}\delta$.\\
Donc par ce qui a été fait précédemment dans l'existence, $(y_n)$ converge donc l'unicité de la limite nous donne $y=z$.\\
\end{description}
  \item \begin{description}
  \item[$p(x)$ vérifie la propriété:] ~\\
  Posons donc $z\in C$. 
Notons pour $t\in ]0,1[$
\[z_t=tz+(1-t)p(x)\in C\]
On a 
$$\norm{x-p(x)+t(p(x)-z)}^2=\norm{x-tz-(1-t)p(x)}^2=\norm{x-z_t}^2 \geq \norm{x-p(x)}^2$$
Soit en développant 
\begin{align*}
t^2 \norm{p(x)-z}^2+2t \Re \text{e} \langle x- p(x) , p(x)-z \rangle &\geq 0\\
t \norm{p(x)-z}^2-2 \Re \text{e} \langle x- p(x) , z-p(x) \rangle &\geq 0\\
t \norm{p(x)-z}^2-2 \Re \text{e} \overline{\langle z-p(x),x- p(x)  \rangle} &\geq 0\\
t \norm{p(x)-z}^2&\geq 2 \Re \text{e} {\langle z-p(x),x- p(x)  \rangle}\\
\end{align*}
En faisant tendre $t$ vers 0, on a ce que l'on voulait. 
  \item[$p(x)$ est le seul élément qui vérifie cette propriété:] ~\\
  Soit $y\in C$ vérifiant $\forall z\in C,\Re \text{e}\langle x-y,z-y
\rangle \leq0$. Montrons que $y=p(x)$. On a :
\begin{align*}
\norm{x-z}^2 &= \norm{(x-y)+(y-z)}^2\\
&=\norm{x-y}^2+\underbrace{\norm{y-z}^2}_{\geq 0}+\underbrace{2 \Re \text{e} \langle x-y , y-z \rangle}_{\geq 0}
\geq \norm{x-y}^2
\end{align*}
Autrement dit $y$ réalise bien l'$\inf_{z \in \C} \norm{x-z}$ donc $y=p(x)$.
\end{description}
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{coro}
On a de plus que la projection $p: x \mapsto p(x)$ est 1- lipschitzienne.
\end{coro}

\begin{proof}
Soient $x_1,x_2\in H$. On cherche à montrer que $\|p(x_1)-p(x_2)\|\leq\|x_1-x_2\|$. On a \\
$\Re \text{e} \langle x_1-x_2 , p(x_1)-p(x_2)\rangle$
\begin{align*}
&=\Re \text{e} \langle x_1-p(x_1)-p(x_2)+p(x_1)+p(x_2)-x_2 , p(x_1)-p(x_2)\rangle\\
&=\underbrace{\Re \text{e} \langle x_1-p(x_1), p(x_1)-p(x_2)\rangle}_{\geq 0} + \underbrace{\Re \text{e} \langle -p(x_2)+p(x_1), p(x_1)-p(x_2)\rangle}_{\norm{p(x_1)-p(x_2)}^2} + \underbrace{\Re \text{e} \langle p(x_2)-x_2 , p(x_1)-p(x_2)\rangle}_{\geq 0}\\
&\geq \norm{p(x_1)-p(x_2)}^2
\end{align*}
Mais l'inégalité de Cauchy-Schwarz donne $\abs{\langle x_1-x_2 , p(x_1)-p(x_2)\rangle} \leq \norm{x_1-x_2} \norm{p(x_1)-p(x_2)}$. Donc comme $\Re \text{e} \langle x_1-x_2 , p(x_1)-p(x_2)\rangle \leq \abs{ \langle x_1-x_2 , p(x_1)-p(x_2)\rangle}$; on a 
$$ \norm{p(x_1)-p(x_2)}^2 \leq \Re \text{e} \langle x_1-x_2 , p(x_1)-p(x_2)\rangle \leq \norm{x_1-x_2} \norm{p(x_1)-p(x_2)}$$
Et finalement, en supposant $p(x_1) \neq p(x_2)$ (car sinon c'est évident...)
$$ \norm{p(x_1)-p(x_2)} \leq \norm{x_1-x_2}$$
\end{proof}

\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\
\checkmark ~\textbf{A l'oral}, voir si y'a le temps de faire le corollaire. Sans corollaire: 11'23 ou 12'07 avec dessin. \\
\checkmark ~Il est bien de faire un dessin en dimension 2 en projetant sur une boule. Les résultats deviennent alors très géométriques et facilement explicables.\\
\checkmark ~En fait, on a le même résultat dans un espace préhilbertien (muni d'un produit scalaire, non nécessairement complet), à condition de projeter sur un convexe \emph{complet}.\\

\end{document}