\documentclass{article}
\usepackage{titling}
\author{Laura \textsc{Gay}}
\include{preambule}

\newboxedtheorem{defi}{Définition}{}
\newboxedtheorem{prop}{Proposition}{}
\newboxedtheorem{lem}{Lemme}{}
\newboxedtheorem{coro}{Corollaire}{compteur3}
\newboxedtheorem{thm}{Théorème}{}
\newboxedtheorem{exe}{Exemple}{compteur5}


\renewenvironment{proof}[1][]{{\underline{\bfseries \proofname #1 :}\\ }}{\hfill $\blacksquare$\\}
\newcommand{\erm}{\text{e}}

\begin{document}
\renewcommand{\proofname}{Preuve}

\begin{spacing}{2}
\setlength {\shadowsize }{2pt}
\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{15cm}
\centering     \begin{huge} 
\textsc{Prolongement de la fonction $\Gamma$ d'Euler}\end{huge}
\end{minipage}} \end{center}\end{spacing}
~\\

\underline{Référence :} \textsc{Zuily-Queffélec} p.313 pour le Lemme et Objectif Agrégation, exercice 2.10 p. 82 pour la suite\\

\begin{defi}
La fonction Gamma d'Euler est définie sur le demi-plan $\mathscr{P}=\left\{z\in\mathbb{C}, \Re(z)>0\right\}$ par
\begin{equation*}
\Gamma(z)=\int_0^{+\infty}{\text{e}^{-t}t^{z-1}\mathrm{d}t}
\end{equation*}
\end{defi}
~\\
\begin{lem}
La fonction $\Gamma $ est holomorphe sur $\mathscr{P}$.
\end{lem}
~\\
\begin{proof}
Pour l'holomorphie, il suffit d'appliquer le \textit{\textbf{Théorème d'holomorphie sous le signe intégral}} à la fonction 
$$(z,t)\mapsto t^{z-1}\text{e}^{-t}=\text{e}^{({z-1}) \ln t} \text{e}^{-t} $$
\begin{tabular}{l|l}
&Soit $(X, \mu)$ un espace mesuré, $\mathcal{U}$ un ouvert de $\C$ et $f: \mathcal{U} \times X \rightarrow \C$. Posons $\forall z \in \C$, $F(z)=\int_X f(z,t) \mathrm{d}\mu(t)$.\\
&H1) Pour tout $z \in \mathcal{U}$, $t \mapsto f(z,t)$ intégrable.\\
&H2) Pour presque tout $t$, $z\mapsto f(z,t)$ holomorphe.\\
&H3) Pour tout compact $K$ de $\mathcal{U}$, $\exists g \in L^1(X)$ tq $\abs{f(z,t)} \leqslant g(t)$ pour tout $z\in K$ et pour presque tout $t$.\\
&Alors $F$ est holomorphe sur $\mathcal{U}$ et, $\forall z \in \mathcal{U}$, $\forall n \in \N$, $F^{(n)}(z)=\int_X \frac{\partial^n f}{\partial z^n}(z,t)\mathrm{d}\mu(t)$. \end{tabular} \\
~\\
~\\
H1) $\forall z \in \mathscr{P}$, $t \mapsto \text{e}^{({z-1}) \ln t} \text{e}^{-t}$ est intégrable sur $\R^{+*}$\\
H2) $\forall t \in \R^{+*}$,  $z \mapsto \text{e}^{({z-1}) \ln t} \text{e}^{-t}$ est holomorphe sur $\mathscr{P}$\\
H3) Si $K$ est un compact de $\mathscr{P}$, $\Re (z) \in [\varepsilon,M]$, où $\varepsilon >0$ et \footnote{$\abs{\text{e}^z}=\text{e}^{\Re (z)}$}\\
 $\begin{array}{llll}
 \abs{\text{e}^{({z-1}) \ln t} \text{e}^{-t}} &\leqslant & \text{e}^{({\varepsilon-1}) \ln t}=\frac1{t^{1-\varepsilon}}  &\text{ si } 0 <t \leqslant 1 \\
 &\overset{(\star)}{\leqslant} & t^{M-1} \text{e}^{-t} &\text{ si } t \geqslant 1
 \end{array}$
et ces deux fonctions sont intégrables.\\
D'où l'holomorphie de $\Gamma$.
\end{proof}

~\\
~\\
\underline{But:} montrer qu'il existe une fonction $F(z)$ holomorphe dans $\{ z \in \C ~/~ z \neq -n ~,~n \in \N \}$ qui coïncide avec la fonction $\Gamma (z)$ pour $z \in \mathscr{P}$. Ce prolongement sera encore noté $\Gamma$.\\

\newpage
\begin{thm} 
$\Gamma$ se prolonge sur $\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}^-$ sans zéro et admet des pôles simples en les $-n, n\in\mathbb{N}$.
\end{thm}
~\\
\begin{proof}
\begin{description}
\item[Etape 1:] montrons que pour tout $z \in \mathscr{P}$, $\Gamma(z)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty }\dfrac{(-1)^{n}}{n!(z+n)}+\int_{1}^{+\infty }t^{z-1}\text{e}^{-t} \mathrm dt$.\\
~\\
Découpons l'intégrale définissant $\Gamma$ de la façon suivante:
$$\Gamma(z)=\int_{0}^{1} t^{z-1}\text{e}^{-t} \mathrm dt+ \int_{1}^{+\infty }t^{z-1}\text{e}^{-t} \mathrm dt$$
On cherche donc à écrire maintenant la première intégrale sous forme d'une série. On développe l'exponentielle:
$$t^{z-1}\text{e}^{-t}= \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{(-1)^n}{n!}t^{n+z-1} $$
Il faut maintenant vérifier que l'on peut bien permuter somme et intégrale avec le théorème de Fubini (appliqué à la mesure produit de la mesure de Lebesgue et de la mesure de comptage).\\
\begin{tabular}{lll}
&& Remarquons que pour $t>0$, $\abs{t^z}=\abs{\text{e}^{z \ln t}}= \text{e}^{\Re (z) \ln t}=t^{\Re (z)}$. \\
&& On obtient alors, pour $t\in ]0,1]$, $\sum_{n=0}^{+ \infty} \abs{\frac{(-1)^n}{n!}}\abs{t^{n+z-1}}=t^{\Re (z)-1}\sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{t^n}{n!}=t^{\Re (z)-1} \text{e}^t$.\\
&& Comme $\Re (z) >0$,  $\Re (z) -1>-1$ et la fonction $t \rightarrow t^{\Re (z)-1} \text{e}^t$ est intégrable \footnotemark ~sur $]0,1]$.\\
&& Ainsi $\int_0^1  \sum_{n=0}^{+ \infty} \abs{\frac{(-1)^n}{n!}t^{n+z-1}} \mathrm dt < +\infty $
\end{tabular} \footnotetext{Il s'agit d'une comparaison avec les intégrales de Riemann. On peut dire que c'est $\leqslant \text{e} t^{\Re (z)-1} $ qui est intégrable par Riemann.} \\
On peut donc appliquer le théorème de Fubini et inverser somme et intégrale.\\
\begin{equation*}
\int_{0}^{1}t^{z-1}\text{e}^{-t}\mathrm dt=\int\limits_{0}^{1}\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{(-1)^n}{n!}t^{n+z-1}
\mathrm dt=\sum_{n=0}^{+\infty }\dfrac{(-1)^{n}}{n!}\int_{0}^{1}t^{n+z-1}\text{ }dt=\sum_{n=0}^{+\infty }\dfrac{(-1)^{n}}{n!}\dfrac{1}{z+n}.
\end{equation*}%
On obtient bien, pour tout $z \in \mathscr{P}$, 
$$\Gamma(z)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty }\dfrac{(-1)^{n}}{n!(z+n)}+\int_{1}^{+\infty }t^{z-1}\text{e}^{-t} \mathrm dt$$

\item[Etape 2:] Montrons que $f: z \mapsto \sum\limits_{n=0}^{+\infty }\dfrac{(-1)^{n}}{n!(z+n)}$ est méromorphe sur $\C$ et que ses pôles sont les entiers négatifs ou nuls et sont simples.\\
~\\
On utilise le \textit{\textbf{Théorème sur les séries de fonctions méromorphes}} (cf \textsc{Cartan} pour preuve)\\
\begin{tabular}{>{\raggedleft}p{0.5cm}|>{\raggedright}p{15cm}}
&H1) Soit $f_n$ des fonctions méromorphes. \tabularnewline
&H2) Pour tout compact $K$, $\exists N_K$ tel que, pour $ n\geqslant N_K$, les $f_n$ n'ont pas de pôles dans $K$ et $\sum_{n\geqslant N_K} f_n$ CVU sur $K$. \tabularnewline
&Alors $\sum f_n$ est méromorphe et on peut dériver la série terme à terme. \end{tabular} \\
~\\
H1) $\forall n \in \N$, la fonction $f_n z \mapsto \dfrac{(-1)^{n}}{n!(z+n)}$ est méromorphe sur $\C$ avec pour seul pôle (simple) $-n$.\\
H2) Soit $K$ un compact de $\C$. Il existe $N_K \in \N$ tel que $K \subset \overline{D(0,N_K)}$. Pour $n > N_K$, la fonction $f_n$ n'a pas de pôle dans $K$. \\
De plus, pour tout $z \in K$, on a $\abs{z+n} \geqslant n - \abs{z} \geqslant n -N_K$. \\
Par conséquent, pour tout $z \in K$, $\abs{f_n(z)} \leqslant \frac{1}{n!(n-N_K)}$ et donc $\sum_{n >N_K} f_n$ CVN sur $K$. \\
Donc, par théorème, $f$ est bien une fonction méromorphe sur $\C$ dont les pôles (simples) sont les entiers négatifs. \\

\item[Etape 3:] On applique le \textit{\textbf{Théorème d'holomorphie sous le signe intégral}} pour conclure.\\
~\\
H1) et H2) sont évidentes pour $f(z,t)=t^{z-1}\text{e}^{-t}$.\\
H3) On utilise la majoration $(\star)$ faite dans la démonstration du \textbf{Lemme}. Et $t \mapsto t^{M-1} \text{e}^{-t}~\in L^1([1,+\infty[)$.\\
Donc $z \mapsto  \int_{1}^{+\infty }t^{z-1}\text{e}^{-t} \mathrm dt$ est holomorphe sur $\C$ tout entier. \\
 Alors,
$$\sum\limits_{n=0}^{+\infty }\dfrac{(-1)^{n}}{n!(z+n)}+\int_{1}^{+\infty }t^{z-1}\text{e}^{-t} \mathrm dt$$
établit une prolongement méromorphe de la fonction $\Gamma$ sur $\C$.
Le théorème de prolongement analytique entraîne de plus que c'est le seul prolongement analytique de $\Gamma$ sur l'ouvert connexe $\C \setminus \N$.

\end{description}
\end{proof}

\vspace{2cm}

\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\
\checkmark ~\textbf{A l'oral}, bla\\
\checkmark ~Rappel: Une fonction est méromorphe sur un ouvert $\mathcal{U}$ s'il existe un ensemble $\mathcal{P}$ de points isolés de $\mathcal{U}$ (appelés pôles de $f$) tel que $f$ est holomorphe sur $\mathcal{U} \setminus \mathcal{P}$ (et si, en tout point $p \in \mathcal{P}$, il existe $n \in \N^*$ et $b \in \C^*$ vérifiant $f(z) \underset{z \rightarrow p}{\sim} \frac{b}{(z-p)^n}$).\\
\checkmark ~~Rappel: (principe de prolongement analytique) Soit $\mathcal{U}$ un ouvert connexe. Si deux fonctions analytiques coïncident sur un sous ensemble $D \subset \mathcal{U}$ ayant un point d'accumulation dans $\mathcal{U}$, alors elles sont égales sur $\mathcal{U}$.\\
$\clubsuit$ Leonhard \textsc{Euler} (1707 - 1783) est un mathématicien et physicien suisse, qui passa la plus grande partie de sa vie en Russie et en Allemagne. Il était notamment membre de l'Académie royale des sciences de Prusse à Berlin. Il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes. Il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction. Il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.

\end{document}