\documentclass{article}
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\author{Laura \textsc{Gay} d'apr\`es Pierre \textsc{Derennes}}
\include{preambule}
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\newboxedtheorem{defi}{Définition}{}
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\renewenvironment{proof}[1][]{{\underline{\bfseries \proofname #1 :}\\ }}{\hfill $\blacksquare$\\}
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\newcommand{\mat}{\text{Mat}}
\begin{document}
\renewcommand{\proofname}{Preuve}

\begin{spacing}{2}
\setlength {\shadowsize }{2pt}
\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{15cm}
\centering     \begin{huge} 
\textsc{Réduction des endomorphismes normaux}\end{huge}
\end{minipage}} \end{center}\end{spacing}
~\\


\underline{Référence :} \textsc{Gourdon} : Algèbre p. 260\\


\section*{Préliminaires}
~ \vspace{-1.5cm}\\
\begin{defi}
Soit $E$ un espace hermitien. $u \in \mathcal{L}(E)$ est normal si $u$ et $u^*$ commutent.
\end{defi}
~\\
Le lemme suivant est valable lorsque $E$ est euclidien:
\begin{lem}
Soit $u \in \mathcal{L}(E)$
\begin{enumerate}
\item  Si $F$ un s.e.v de $E$ stable par $u$, alors $F^{\perp}$ est stable par $u^*$.
\item Si de plus $u$ est normal et $E_{\lambda}$ est un sous-espace propre de $u$, $E_{\lambda}^{\perp}$ est stable par $u$.
\end{enumerate}
\end{lem}

\begin{proof} 
\begin{enumerate}
\item Soit $x \in F$. 
$$ \langle u^*(y),x \rangle = \langle \underbrace{y}_{ \in F^{\perp}}  , \underbrace{u(x)}_{\in F} \rangle = 0$$
Donc $u^*(y) \in F^{\perp}$ ie $F^{\perp}$ est stable par $u^*$.
\item Comme $u$ et $u^*$ commutent, $E_{\lambda}$ est stable par\footnote{si $f,g \in \mathcal{L}(E)$ commutent, alors tout sep de $f$ est stable par $g$.} $u^*$  donc d'après le \textbf{1.}, $E_{\lambda}^{\perp}$ est stable par $(u^*)^*=u$.
\end{enumerate}
\end{proof}


On s'intéresse maintenant au cas réel: on considère dans la suite un espace euclidien $E$.
\newline

\begin{lem}
Soit $E$ un espace euclidien de dimension 2; $u \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme normal n'admettant pas de valeurs propres réelles. Dans toute BON $B$ de $E$ on a : \[ \mat_{B}(u)=\begin{pmatrix}
   a & -b \\
   b & a 
\end{pmatrix} ,\; avec \; b \neq 0 .\]
\end{lem}
\begin{proof} Ecrivons: \[M = \mat_B(u) = \begin{pmatrix}
   a & c \\
   b & d 
\end{pmatrix} \]
On a $b \neq 0$ car $u$ est sans valeur propre réelle. Comme $u$ est normal $M^*M = MM^*$, on a donc en particulier (par identification des coefficients): \[a^2 + c^2 = a^2 +b^2 \; et \; ab + cd = ac + bd\]
On a donc $b = c$ ou $b = -c$ par la première assertion
Si $b = c$ alors $M$ est symétrique (donc diagonalisable), ce qui est impossible car $u$ est sans valeur propre réelle. Donc $b = -c$. On a donc en reportant dans la seconde assertion $2(a-d)b = 0$ soit $a = d$.
\end{proof}

\newpage
\begin{thm}[Réduction des endomorphismes normaux (cas réel)] Soit $E$ un espace euclidien et $u \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme normal. Alors il existe une BON $B$ de $E$ telle que 
\[ \mat_{B}(u) = \begin{pmatrix}
   \lambda_{1} & & & & & & \\
    & \ddots & & & 0 & &    \\
		& & \lambda_{r} & & & & \\
		& & &  \tau_{1} & & & \\
		& 0 & & & \ddots & & \\
		& & & & & \tau_{s}
		
\end{pmatrix} \;\;\;\;\;\;\;\;\; (*) \]
où pour tout $i$ $\lambda_{i} \in \mathbb{R}$ et pour tout $j$, $\tau_{j} = \begin{pmatrix}
   a_j & -b_j \\
   b_j & a_j
\end{pmatrix} \in M_{2}(\mathbb{R})$.
\end{thm}
~\\
\begin{proof}
~\\
La démonstration se fait par \underline{récurrence forte} sur $n = \dim(E)$. \\
Si $n = 1$ il n'y a rien à montrer. \\
Supposons alors le résultat vrai pour tout espace euclidien de dimension inférieure à $n-1$ et considérons $E$ un espace euclidien de dimension $n$. Deux cas se présentent: 
\begin{itemize}
\item \underline{Si $u$ a une valeur propre réelle} $\lambda \in \mathbb{R}$ alors on peut considérer $E_{\lambda}=\text{Ker}(u-\lambda \text{Id}_E)$ et $ F = E_{\lambda}^{\perp}$. $F$ est stable par $u$ et par $u^*$ \underline{\textbf{Lemme 1}} donc on peut considérer les endomorphismes induits \underline{$u_{|F}$ et $u^*_{|F}$} qui commutent (car $u$ est normal). Comme $\dim(F) \leqslant n-1$ il existe, par hypothèse de récurrence, une BON $B_{2}$ de $F$ telle que $\mat_{B_{1}}(u_{|F})$  soit de la forme $(*)$. Alors si $B_{1}$ est une BON de $E_{\lambda}$ \footnote{Elle va seulement rajouter un diag$(\lambda, \dots, \lambda)$} on a que $B=(B_1 , B_2)$ est une BON de $E = F^{\perp} \oplus F $ \footnote{dimension finie} dans laquelle $\mat_{B}(u)$ est de la forme $(*)$. 

\item Sinon \underline{$u$ est sans valeur propre réelle}. Idée: se ramener au cas $n=2$ avec un bon espace.\\
Considérons \underline{$Q = X^2 -2\alpha X +\beta $} un facteur irréductible (donc $\alpha^2 - \beta <0$) du polynôme caractéristique de $u$ (ie $\chi_u=QP$, possible ici car $n \geqslant 2$). Posons \underline{$N = \text{Ker}(Q(u))$}. 
\begin{itemize}[label=$\diamond$]
\item Montrons que \underline{$N \neq \{0\} $}. \\
En effet, on peut écrire $Q = (X-\lambda)(X-\bar{\lambda})$ où $\lambda \in \mathbb{C}$. $\lambda$ est racine de $Q$ donc de $\chi_u$, donc est une \underline{valeur propre complexe} de $u$ donc $\det(u-\lambda \text{Id}_E)=0$. Alors on a 
\[\det(Q(u)) = \det(u-\lambda Id)\det(u-\bar{\lambda} Id)=0\]
ie $\text{Ker}(Q(u)) \neq \{0\}$. 
\item \underline{$N$ est stable par $u$ et par $u^*$} (l'écrire, ça vient de $u$ et $u^*$ commutent). \\
On peut donc considérer $v = u_{|N}$. On a $v^* = u^{*}_{|N}$, et ainsi l'endomorphisme $v^{*}v = (u^{*}u)_{|N}$ est symétrique \underline{réel} donc admet une valeur propre $\mu\in \mathbb{R}$. Considérons \underline{$x \in N \setminus \{0\}$ un vecteur propre (pour $v^{*}v$)} associé à $ \mu$. 
\item Posons \underline{$F = \text{Vect}(x, u(x))$}. Comme $u$ n'admet pas de valeur propre réelle, $(x,u(x))$ est une famille libre et donc \underline{$\dim(F)=2$}. \\
\underline{$F$ est stable par $u$} car $x \in N=\text{Ker}(Q(u))$  donc $u^{2}(x)=2\alpha u(x)-\beta x \in F $    $(**)$.\newline
Montrons que $F$ est aussi stable par $u^*$. La relation $(**)$ entraine que $F = \text{Vect}(u(x), u^{2}(x))$ (car $\beta \neq 0$ puisque $\alpha^2 - \beta <0$). \\
On a \[u^{*}(u(x)) = v^{*}(v(x)) = \mu x \in F\] et comme $u$ et $u^*$ commutent, \[ u^{*}(u^{2}(x)) = u(u^{*}u(x)) = u(\mu x) = \mu u(x) \in F \] ce qui montre que \underline{$F$ est stable par $u^*$} car $(u(x), u^{2}(x))$ est une base de $F$.\newline \newline
Comme \underline{$ (u_{|F})^{*} = (u^{*})_{|F} $}, $u_{|F}$ est un endomorphisme normal. Par le \textbf{Lemme 2}, dans une BON $B_2$ de $F$, $\mat_{B_2}(u_{|F})$ est de la forme \[ \tau = \begin{pmatrix}
   a & -b \\
   b & a 
\end{pmatrix}  . \]
Or, \underline{$F^{\perp}$ est stable par $(u^*)^*$ (car $F$ est stable par $u^*$) et par $u^*$} (car $F$ est stable par $u$). Donc $(u_{F^{\perp}})^{*} = (u^*)_{|F^{\perp}} $, ce qui prouve que \underline{$u_{|F^{\perp}}$ est normal}. \\
Ainsi par \underline{hypothèse de récurrence} (car dim$(F)=n-2$), il existe une BON $B_1$ de $F^{\perp}$ telle que $ \mat_{B_1}(u_{|F^{\perp}})$ soit de la forme $(*)$. \newline
\item Ainsi la base $B = (B_1, B_2)$ est une BON de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est de la forme $(*)$.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{proof}

\section*{Applications de ce théorème}

\textbf{Définition}: $f \in \mathcal{L}(E)$ est dit \textit{symétrique} ou \textit{auto-adjoint} si $f = f^{*}$ (où $f^*$ désigne l'adjoint de $f$).\newline
$f$ est antisymétrique si $f = -f^{*}$.\newline

\textbf{Corollaire: (théorème spectral):} Soit $E$ un espace euclidien (ou hermitien) et $f \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme auto-adjoint. Alors il existe une BON de vecteurs propres de $f$, et les valeurs propres de $f$ sont réelles.\newline

\begin{center}\textbf{Corollaires:}\end{center}
\begin{multicols}{2}
\textbf{Réduction des matrices antisymétriques:}\newline
1) Soit $M \in M_n(\mathbb{C})$ vérifiant $M + M^{*} = 0$. Alors il existe une matrice unitaire $U$ telle que $U^{-1}MU = U^{*}MU = D$ soit diagonale à coefficient diagonaux imaginaires purs.\newline
2) Soit $M \in M_n(\mathbb{R})$ une matrice antisymétrique. Alors il existe une matrice orthogonale $P$ telle que \[ P^{-1}MP = P^{*}MP = \begin{pmatrix}
   0 & & & & & & \\
    & \ddots & & & 0 & &    \\
		& & 0 & & & & \\
		& & &  \tau_{1} & & & \\
		& 0 & & & \ddots & & \\
		& & & & & \tau_{s}
		
\end{pmatrix}\] où les $\tau_i $ sont des matrices de $M_2(\mathbb{R})$ de la forme $\begin{pmatrix}
   0 & -b_i \\
   b_i & 0
\end{pmatrix}$\\
\textbf{Réduction des isométries:} \\
Soit $E$ un espace euclidien et $u \in \mathcal{L}(E)$ une isométrie (c'est à dire qui préserve la norme). Alors il existe une BON $B$ de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ a la forme par bloc: \[\begin{pmatrix}
   \varepsilon_1& & & & & & \\
    & \ddots & & & 0 & &    \\
		& & \varepsilon_s & & & & \\
		& & &  R(\theta_1) & & & \\
		& 0 & & & \ddots & & \\
		& & & & & R(\theta_r)
		
\end{pmatrix}\] où pour tout $j$, $\varepsilon_j \in \left\{ -1 , 1 \right\}$ et pour tout $i$ $R(\theta_i) = \begin{pmatrix}
\cos(\theta_i) & -\sin(\theta_i) \\
\sin(\theta_i) & \cos(\theta_i) 
\end{pmatrix}$.
\end{multicols}

\vspace{1cm}

\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\
\checkmark ~\textbf{A l'oral}, on énonce le \textbf{Lemme 1}, mais on démontre le \textbf{Lemme 2}, au début.\\
\checkmark ~Attention à l'erreur dans l'énoncé du \textsc{Gourdon}. On a bien une base orthonormale et non juste orthogonale.\\
\checkmark ~Quand a-t-on $u^{**}=u$ ? Toujours, dès que $u^*$ existe.\\
\checkmark ~Théorème : Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ (et $E$ un espace hermitien). Les assertions suivantes sont équivalentes:\\
$u$ est normal $\Leftrightarrow$ $u$ se diagonalise dans une BON de $E$ $\Leftrightarrow$ $u$ et $u^*$ se diagonalisent dans une BON commune.\newline
{Contre-exemple}: Ce théorème n'est plus vrai dans un espace euclidien (considérer par exemple la matrice de rotation $\begin{pmatrix}
   0 & -1 \\
   1 & 0
\end{pmatrix}$ qui est normale mais non diagonalisable ).
\end{document}