\documentclass{article}
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\author{Laura \textsc{Gay}}
\include{preambule}

\newboxedtheorem{defi}{Définition}{compteur1}
\newboxedtheorem{prop}{Proposition}{compteur2}
\newboxedtheorem{lem}{Lemme}{}
\newboxedtheorem{cor}{Corollaire}{}
\newboxedtheorem{thm}{Théorème}{}
\newboxedtheorem{appli}{Application}{compteur5}
\newcommand{\Res}{\text{Res}}


\renewenvironment{proof}[1][]{{\underline{\bfseries \proofname #1 :}\\ }}{\hfill $\blacksquare$\\}
\allowdisplaybreaks

\begin{document}
\renewcommand{\proofname}{Preuve}

\begin{spacing}{2}
\setlength {\shadowsize }{2pt}
\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{15cm}
\centering     \begin{huge} 
\textsc{Résultant de deux polynômes et application}\end{huge}
\end{minipage}} \end{center}\end{spacing}
~\\

\underline{Référence :} \textsc{Gourdon } :  Algèbre p. 208\\

\begin{lem}
($P$ et $Q$ ont un facteur commun non constant) $\Leftrightarrow$ ($\exists A,B \in \C[X]$, $A\neq 0$, $B\neq 0$ tq $AP=BQ$ et $\deg(A) < \deg(Q)$, $\deg(B) < \deg(P)$)
\end{lem}

\begin{proof}
$\Rightarrow$ Supposons l'existence de $R \in \C[X]$, $\deg(R) \geq 1$ facteur commun de $P$ et $Q$. Il suffit alors de prendre $A$ et $B \in \C[X]$ tq $P=RB$ et $Q=RA$. \\
$\Leftarrow$ On va montrer non (1)$\Rightarrow$ non (2). Supposons que $P$ et $Q$ n'aient aucun facteur commun non constant ie $P \wedge Q =\text{cste}$ \footnote{Si le pgcd de deux polynômes est une constante on dit qu'ils sont premiers entre eux}. Si par l'absurde $\exists A,B \in \C[X]$, $A\neq 0$, $B\neq 0$ tq $AP=BQ$ et $\deg(A) < \deg(Q)$, $\deg(B) < \deg(P)$. On aurait d'après le thm de Gauss $P \vert B$. Comme $B\neq 0$ on aurait $\deg(B) \geq \deg(P)$ $\Rightarrow$ absurde.
\end{proof}

\begin{thm}
Soient $P$ et $Q$ deux polynômes non constants de $\C[X]$. $P$ et $Q$ sont premiers entre eux ssi $\Res(P,Q) \neq 0$.
\end{thm}
~\\
\begin{proof}
Pour tout $r \in \R$ on note $\Gamma_r=\{P \in \C[X]~/~\deg P =  r \}$. Posons $P= \sum_{k=0}^m a_k X^k \in \Gamma_m$ et $Q= \sum_{k=0}^n b_k X^k \in \Gamma_n$.\\ 
On sait que Res définie\footnote{On transpose par rapport à d'hab mais ça ne change rien au det} par $\Res(P,Q)=\left|\begin{matrix}
0&\cdots&0&a_0&a_1&\cdots&a_m\\ 
\vdots&\ddots&\ddots&&&\ddots&0\\ 
0&a_0&a_1&\cdots&a_m&\ddots&\vdots\\
  a_0&a_1&\cdots&a_m&0&\cdots&0\\
0&\cdots&0&b_0&\cdots&b_{n-1}&b_n\\
\vdots&\ddots&\ddots&&\ddots&\ddots&0\\
0&b_0&\cdots&b_{n-1}&b_n&\ddots&\vdots\\
b_0&\cdots&b_{n-1}&b_n&0&\cdots&0
\end{matrix}\right|$ est définie sur $\Gamma_m \times \Gamma_n$.\\

 D'après le \textbf{Lemme}, \\
\begin{tabular}{p{5cm}p{0.2cm}p{10cm}}
$P$ et $Q$ ont un facteur commun non constant &$\Leftrightarrow$ &$\exists A,B \in \C[X]$, $A\neq 0$, $B\neq 0$ tq $AP=BQ$ et $\deg(A) < \deg(Q)$, $\deg(B) < \deg(P)$ \tabularnewline
 &$\Leftrightarrow$ & les vecteurs $(P,XP,\dots,X^{n-1}P)$ et $(Q,XQ,\dots,X^{m-1}Q)$  forment une famille liée de $\C[X]$  \tabularnewline
  &$\Leftrightarrow$ & $\det_{\mathcal B}(X^{n-1},\dots,XP,P,X^{m-1}Q,\dots,XQ,Q)=0$  où  ${\mathcal B}$ désigne la base  canonique de $\C_{m+n-1}[X]$ ie ${\mathcal B}=(1,X,\dots,X^{m+n-1})$ \tabularnewline
  $P$ et $Q$ ne sont pas premiers entre eux &$\Leftrightarrow$& $\Res(P,Q)=\left|\begin{matrix}
0&\cdots&0&a_0&a_1&\cdots&a_m\\ 
\vdots&\ddots&\ddots&&&\ddots&0\\ 
0&a_0&a_1&\cdots&a_m&\ddots&\vdots\\
  a_0&a_1&\cdots&a_m&0&\cdots&0\\
0&\cdots&0&b_0&\cdots&b_{n-1}&b_n\\
\vdots&\ddots&\ddots&&\ddots&\ddots&0\\
0&b_0&\cdots&b_{n-1}&b_n&\ddots&\vdots\\
b_0&\cdots&b_{n-1}&b_n&0&\cdots&0
\end{matrix}\right|=0$
\end{tabular}
\end{proof}

\begin{cor}
Pour $n \in \N^*$, on note $D=\mathcal{D}_n(\C)$ l'ensemble des matrices diagonalisables de $\mathcal{M}_n(\C)$. Alors l'intérieur $\mathring{D}$ de $\mathcal{D}_n(\C)$ est l'ensemble $\Gamma$ des matrices diagonalisables dont les valeurs propres sont toutes distinctes.
\end{cor}
\begin{proof}
\begin{description}
\item[Etape 1] Montrons $\Gamma \subset \mathring{D}$.\\
\begin{tabular}{ccc}
$M \in \Gamma$ &$\Leftrightarrow$ &$\chi_M$ n'a que des racines simples \tabularnewline
 &$\Leftrightarrow$ & $\chi_M$ et $\chi'_M$ sont premiers entre eux \tabularnewline
  &$\Leftrightarrow$ & $\Res(\chi_M,\chi'_M)\neq 0$
\end{tabular}\\
Or l'application $$\fnct{\varphi}{\mathcal{M}_n(\C)}{\C}{M}{\Res(\chi_M,\chi'_M)}$$
est continue et on vient de voir que $\Gamma=\varphi^{-1}(\C^*)$ donc $\Gamma$ est ouvert (car $\varphi$ continue). \\
Or $\Gamma \subset D$ par définition. Donc $\Gamma \subset \mathring{D}$.
\item[Etape 2] Montrons $\mathring{D} \subset \Gamma$.\\
Soit $M \in \mathring{D}$. Supposons par l'absurde que $M \notin \Gamma$. Ceci signifie que la matrice $M$ est diagonalisable et qu'elle admet une valeur propre multiple $\lambda$. Il existe donc $P \in GL_n(\C)$ tq $$P^{-1}MP=\text{diag}(\lambda,\lambda,\lambda_3,\dots,\lambda_n)=\begin{pmatrix}
\lambda & & & & \\
 & \lambda & &0 &\\
 & & \lambda_3 & & \\
 & 0& & \ddots & \\
 & & & & \lambda_n
\end{pmatrix}$$
Pour tout entier $p >0$ on pose $M_p=\begin{pmatrix}
\lambda & \frac1p & & & \\
 & \lambda & &0 &\\
 & & \lambda_3 & & \\
 & 0& & \ddots & \\
 & & & & \lambda_n
\end{pmatrix}$ qui n'est pas diagonalisable sinon la restriction de $M_p$ aux deux premiers vecteurs de la base canonique de $\C^n$ qui est $\begin{pmatrix}
\lambda & \frac1p\\
0 & \lambda
\end{pmatrix}$ serait diagonalisable. Absurde car sinon cette dernière serait semblable à $\lambda I_2$ donc égale à $\lambda I_2$. \\
Mais $PM_pP^{-1} \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} M$ donc $M$ est limite d'une suite de matrices n'appartenant pas à $D$ donc $M \notin \mathring{D}$. Absurde. Donc $M \in \Gamma$.
\end{description}
\end{proof}

\vspace{1cm}

\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\
\checkmark ~\textbf{A l'oral}, bla\\
\checkmark ~On pourrait montrer que $\Gamma$ est dense dans $\mathcal{M}_n(\C)$.


\end{document}