\documentclass{article}
\usepackage{titling}
\author{Laura \textsc{Gay} d'apr\`es Florian \textsc{Lemonnier}}
\include{preambule}
\include{preambuleflo}
\renewcommand{\Lrm}{L}

\newboxedtheorem{defi}{Définition}{}
\newboxedtheorem{prop}{Proposition}{compteur2}
\newboxedtheorem{lem}{Lemme}{}
\newboxedtheorem{coro}{Corollaire}{}
\newboxedtheorem{thm}{Théorème}{}
\newboxedtheorem{exe}{Exemple}{compteur5}


\renewenvironment{proof}[1][]{{\underline{\bfseries \proofname #1 :}\\ }}{\hfill $\blacksquare$\\}

\begin{document}
\renewcommand{\proofname}{Preuve}
\begin{textblock*}{3cm}(10mm,12mm) 
\includegraphics[scale=0.5]{images/fisher.jpg} 
\end{textblock*} 
\begin{spacing}{2}
\setlength {\shadowsize }{2pt}
\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{15cm}
\centering     \begin{huge} 
\textsc{Théorème de Riesz-Fischer}\end{huge}
\end{minipage}} \end{center}\end{spacing}
~\\


\underline{Référence :} \textsc{Rudin} : Analyse réelle et complexe p. 83 et \textsc{Brézis} p. 58 \\

\textbf{Contexte} : Soit $(X, \mathcal{A}, \mu)$ un espace mesuré.\\
\textbf{Prérequis} : Pour $1 \leqslant p \leqslant \infty$, déf de $\mathcal{L}^p(\mu)$ (muni de $\norm{\cdot}_p$ est un e.v. semi-normé), déf de $L^p(\mu)$ (muni de $\norm{\cdot}_p$ est un evn), Lemme de Fatou, inégalité de Minkowski.\\

\vspace{0.2cm}
\begin{thm}[Théorème de Riesz-Fischer - 1907]
Pour $1 \leqslant p \leqslant \infty$, $L^p(\mu)$ est un espace de Banach.
\end{thm}
~\\
\begin{proof}~
\begin{description}
\item[Étape 1 :] Montrons que $\Lrm^\infty(\mu)$ est complet.\\
    Soit $\left(f_n\right)_{n \in \IN}$ une suite de Cauchy dans $\Lrm^\infty(\mu)$.\\
		Ainsi, $\dst \forall k \in \IN^*, \exists N_k \in \IN, \forall m,n \geq N_k, \left\|f_n-f_m\right\|_{\infty} \leq \frac{1}{k}$.\\
		Donc il existe une famille $\left(E_{k,m,n}\right)_{k \in \IN^*}$ d'ensembles $\mu$-négligeables, vérifiant :
		\[ \forall k \in \IN^*, \exists N_k \in \IN, \forall m,n \geq N_k, \forall x \in X \backslash E_{k,m,n}, \left|f_n(x)-f_m(x)\right| \leq \frac{1}{k}\]
		On définit $\dst E = \bigcup\limits_{k,m,n \in \IN^*}{E_{k,m,n}}$ ; et comme l'union est dénombrable : $\mu(E) = 0$.\\
		Et donc, on obtient : 
		\begin{equation}\label{RF1}
		\forall k \in \IN^*, \exists N_k \in \IN, \forall m,n \geq N_k, \forall x \in X \backslash E, \left|f_n(x)-f_m(x)\right| \leq \frac{1}{k} 
		\end{equation}
		Puis $\dst \forall x \in X \backslash E, \forall k \in \IN^*, \exists N_k \in \IN, \forall m,n \geq N_k, \left|f_n(x)-f_m(x)\right| \leq \frac{1}{k}$, \\
		autrement dit : $\forall x \in X \backslash E$, $\left(f_n(x)\right)_{n \in \IN}$ est une suite de Cauchy dans $\IC$.\\
		Et comme $\IR$ est complet, cette suite converge ; on note $f(x)$ sa limite.\\
		On va montrer que la fonction $f$ ainsi définie $\mu$-presque partout est bien dans $\Lrm^\infty(\mu)$ et que c'est bien la limite de la suite $\left(f_n\right)_{n \in \IN}$ en norme $\|.\|_{\infty}$.\\
		Par passage à la limite dans (\ref{RF1}), on obtient :
		\[ \forall k \in \IN^*, \exists N_k \in \IN, \forall n \geq N_k, \forall x \in X \backslash E, \left|f_n(x)-f(x)\right| \leq \frac{1}{k} \]
		Enfin, $\dst \forall k \in \IN^*, \exists N_k \in \IN, \forall n \geq N_k, \left\|f_n-f\right\|_{\infty} \leq \frac{1}{k}$.\\
		Comme $L^{\infty}$ est un espace vectoriel $f =f-f_n + f_n \in \Lrm^\infty(\mu)$
		Donc : $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left\|f_n-f\right\|_\infty} = 0$.
\item[Étape 2 :] Pour $p \in [1,+\infty[$, $\mathrm{L}^p(\mu)$ est également complet.\\
    Soit $\left(f_n\right)_{n \in \IN}$ une suite de Cauchy dans $\Lrm^p(\mu)$.\\
		\fbox{On va en fait montrer qu'une sous-suite converge dans $\Lrm^p(\mu)$}
		\begin{pushright} En effet, prenons $\varepsilon > 0$.\\
		Si d'une part : $\dst \exists K_0 \in \IN, \forall k \geq K_0, \left\|f_{n_k}-f\right\|_p \leq \frac{\varepsilon}{2}$, \\
		et d'autre part : $\dst \exists N_0 \in \IN, \forall m,n \geq N_0, \left\|f_n-f_m\right\|_p \leq \frac{\varepsilon}{2}$,\\
		Alors finalement, en posant $N = \max \left\{n_{K_0}, N_0 \right\}$ on obtient : $\forall n \geq N, \left\|f-f_n\right\|_p \leq \varepsilon$, et le théorème est prouvé.\\ \end{pushright}
		Soit donc $\left(n_k\right)_{k \in \IN}$ une suite strictement croissante d'entiers telle que : 
		\[ \forall k \in \IN, \forall m,n \geq n_k, \left\|f_n-f_m\right\|_p \leq \frac{1}{2^k} 
\]
		Ainsi, $\dst \forall k \in \IN, \left\|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}\right\|_p \leq \frac{1}{2^k}$.\\
		Notons désormais $\hat{f}_k$ pour $f_{n_k}$, ainsi $\dst \forall k \in \IN, \left\|\hat{f}_{k+1}-\hat{f}_k\right\|_p \leq \frac{1}{2^k}$.\\
		Posons alors, pour $n \in \IN$ : $\dst g_n = \sum\limits_{k=0}^n{\left|\hat{f}_{k+1}-\hat{f}_k\right|}$. Comme $(g_N)$ est une somme de termes positifs, c'est une suite croissante positive donc $(g_N)$ converge simplement vers $g = \sum\limits_{k=1}^{+ \infty} \abs{f_{\phi(k+1)} - f_{\phi(k)}}$ (éventuellement infini).\\
L'inégalité de Minkowski donne, pour tout $n$:
		\[ \left\|g_n\right\|_p \leq \sum_{k=0}^n{\left\|\hat{f}_{k+1}-\hat{f}_k\right\|_p} \leq \sum_{k=0}^n{\frac{1}{2^k}} \leq 2 \]
		Les fonctions $g_n$ étant à valeurs dans $[0,+\infty]$, on a :
		\[ \|g\|_p^p = \int_X{|g(x)|^p \, \drm x} = \int_X{\liminf_{n \rightarrow \infty}{\left|g_n(x)\right|^p} \, \drm x} \leq \liminf_{n \rightarrow \infty}{\int_X{\left|g_n(x)\right|^p \, \drm x}} \leq 2^p.\]
		Donc $g \in \Lrm^p(\mu)$.\footnote{C'est pour montrer que $g \in \Lrm^p(\mu)$ qu'on a besoin d'utiliser Rudin.}\\
		Soit $x \in X \backslash E$, soit $N \in \IN$ :
		\begin{align}\label{RF2}
		\forall n \geq m \geq N, \left|\hat{f}_n(x) - \hat{f}_m(x)\right| &\leq \left|\hat{f}_n(x) - \hat{f}_{n-1}(x)\right| + \ldots + \left|\hat{f}_{m+1}(x) - \hat{f}_m(x)\right| = g_{n-1}(x) - g_{m-1}(x) 
		\end{align}
		Donc $\forall x \in X \backslash E, \left(\hat{f}_n(x)\right)$ est une suite de Cauchy (car $(g_n(x))$ l'est) dans $\IC$ qui est complet donc elle converge ; on note $\hat{f}(x)$ sa limite.\\
		Par passage à la limite dans (\ref{RF2}) en $n$ (ça ne fait pas bouger $m$):  
		$$\forall x \in X \backslash E, \left|\hat{f}(x)-\hat{f}_m(x)\right|^p \leq \left(g(x)-g_{m-1}(x)\right)^p \underset{m \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0$$
		et $\left|\hat{f}(x)-\hat{f}_m(x)\right|^p \leq g(x)^p$ et $g \in \Lrm^p(\mu)$. Donc $(\hat{f}-\hat{f}_m) \in \Lrm^p(\mu)$. Comme $L^p$ est un ev, on a bien $\hat{f} \in \Lrm^p(\mu)$.\\
		Donc, par convergence dominée, il vient :
		\[\left\|\hat{f}-\hat{f}_n\right\|_p \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0 \]
		\\
\end{description}
\end{proof}
\vspace{1cm}
\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\
\checkmark ~\textbf{A l'oral}, \\
\checkmark ~Rappel: inégalité de Minkowski. Si $f$ et $g$ sont mesurables, $\norm{f+g}_p \leqslant \norm{f}_p + \norm{g}_p$\\
\checkmark ~Rappel: Lemme de Fatou. Si $\forall n >0$, $f_n: X \rightarrow [0,+\infty]$ est une fonction mesurable. Alors $$\int_{X} \liminf_{n \rightarrow +\infty }f_n \ \mathrm{d}\mu \leqslant \liminf_{n \rightarrow +\infty} \int_{X} f_n \ \mathrm{d}\mu$$
$\clubsuit$ Frigyes \textsc{Riesz} (1880-1956) est un mathématicien hongrois. Il fut l'un des fondateurs de l'analyse fonctionnelle. Il est à l'origine du théorème de compacité de Riesz et du théorème de représentation de Riesz.\\
$\clubsuit$ Ernst \textsc{Fischer} (1875 - 1954) est un mathématicien autrichien qui a travaillé à la fois en analyse et en algèbre. Il introduisit la notion de convergence en moyenne quadratique. 



\end{document}