\documentclass{article}
\usepackage{titling}
\author{Florian \textsc{Lemonnier} adapt\'e par Laura \textsc{Gay}}
\include{preambule}

\newboxedtheorem{defi}{Définition}{compteur1}
\newboxedtheorem{prop}{Proposition}{}
\newboxedtheorem{lem}{Lemme}{compteur2}
\newboxedtheorem{coro}{Corollaire}{compteur3}
\newboxedtheorem{thm}{Théorème}{}
\newboxedtheorem{exe}{Exemple}{compteur5}

\renewenvironment{proof}[1][]{{\underline{\bfseries \proofname #1 :}\\ }}{\hfill $\blacksquare$\\}
\newcommand{\Id}{Id}


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\def\restrictionaux#1#2{{#1\,\smash{\vrule height .8\ht1 depth .85\dp1}}_{\,#2}} 

\begin{document}

\newcommand*{\sca}[1]{\langle #1  \rangle} %produit scalaire
\newcommand*{\scal}[2]{\langle #1 , #2 \rangle} %produit scalaire
\renewcommand{\proofname}{Preuve}


\begin{spacing}{2}
\setlength {\shadowsize }{2pt}
\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{15cm}
\centering     \begin{huge} 
\textsc{$SO_3(\R)$ est simple}\end{huge}
\end{minipage}} \end{center}\end{spacing}
~\\


\underline{Référence :} \textsc{Caldero-Germoni} H2G2 p.237 et \textsc{Perrin} pour les ptits trucs p.143\\
\underline{Leçons :} 101,103,106,108,150,160,161,183,203,204 \\

\section*{Des petits rappels}
\begin{enumerate}
\item une symétrie c'est semblable à $\left(\begin{smallmatrix} I_p & 0\\ 0 & I_{n-p} \end{smallmatrix}\right)$
\item une réflexion orthogonale, c'est une matrice diagonalisable de spectre $\{-1,1\}$, avec $-1$ de multiplicité $1$.
\item un retournement = un renversement = une rotation d'angle $\pi$ = une symétrie semblable à $\left(\begin{smallmatrix}
1&&&&\\
&\ddots&&&\\
&&1&&\\
&&&-1&\\
&&&&-1
\end{smallmatrix} \right)$ ie si $n=3$ cela donne $\begin{pmatrix}
1&&\\
&-1&\\
&&-1
\end{pmatrix} $
\item tous les gens de $SO_3$ sont des rotations.
\end{enumerate}

\begin{lem}
Pour $n \geq 3$, $SO_n(\R)$ est engendré par les retournements.
\end{lem}
~\\
\begin{proof}
(Perrin p.143) Soit $n \in \N^*$, on va d'abord montrer que les réflexions orthogonales engendrent $O_n(\R)$.
Soit $u \in O_n(\R)$ et $F_u = \left\{ x \in E \middle| u(x)=x \right\}$ l'espace de ses points fixes.
On pose $p_u = n - \dim F_u$ et on va en fait montrer que $u$ est produit d'au plus $p_u$ réflexions orthogonales.
On raisonne par récurrence sur $p_u \in \N$.
Le cas $p_u = 0$ est trivial puisqu'il correspond à $u = I_n$.
Supposons donc $p_u > 0$ ; soit $x \in F_u^\perp \backslash \{0\}$, et soit $y=u(x)$.
Comme $x \notin F_u$, $y \neq x$ ; et comme $F_u$ et $F_u^\perp$ sont $u$-stables, $y \in F_u^\perp$.
De plus, $\langle x-y,x+y \rangle = \|x\|^2 - \|y\|^2 = 0$ (car $u$ est une isométrie), donc $x-y$ et $x+y$ sont orthogonaux.
Soit alors $\tau$ la réflexion orthogonale associée au vecteur $x-y$ (ie telle que $E_{-1} = \Vect\{x-y\}$).
On a donc : $\tau(x-y) = y-x$ et $\tau(x+y) = x+y$, d'où, par demi-différence : $\tau(u(x)) = \tau(y) = x$.
Aussi, $x-y \in F_u^\perp$, ce qui implique sur $\restriction{\tau}{F_u} = \Id_{F_u}$.
En conséquence, $F_u \subset F_{\tau u}$ ; mais $x \in F_{\tau u} \backslash F_u$, donc $p_u > p_{\tau u}$.
On utilise donc notre hypothèse de récurrence sur $\tau u$ : $\tau u = \tau_1 \ldots \tau_r$, où les $\tau_i$ sont des réflexions orthogonales et $r \leq p_{\tau u}$.
Mais alors on a $u = \tau \tau_1 \ldots \tau_r$ et $r+1 \leq p_u$, ce qui achève la récurrence.

Désormais, soit $u \in SO_n(\R)$.

Pour $n=3$, on conclut alors que les retournements engendrent $SO_3(\R)$ : si $u \neq I_3$, alors $u = \tau_1 \tau_2 = (-\tau_1)(-\tau_2)$ et les opposés des réflexions orthogonales sont ici des retournements.

Quand $n \geq 3$, il y a encore un peu de travail ; on peut déjà écrire $u=\tau_1 \ldots \tau_{2p}$ avec $2p \leq n$, les $\tau_i$ étant des réflexions orthogonales.
Prenons une paire de réflexions orthogonales $\tau_1$, $\tau_2$ ; alors on peut trouver une paire de retournements $\sigma_1$, $\sigma_2$ telle que : $\tau_1 \tau_2 = \sigma_1 \sigma_2$.
En effet : soient $H_1$ et $H_2$ les hyperplans laissés fixes par $\tau_1$ et $\tau_2$ et soit $V$ un sev de $H_1 \cap H_2$ qui soit de dimension $n-3$.
Alors $\restriction{\tau_1\tau_2}{V} = \Id$ et donc $\tau_1\tau_2\left(V^\perp\right) \subset V^\perp$.
Mais d'après le cas $n=3$, on peut écrire $\restriction{\tau_1\tau_2}{V^\perp} = \sigma_1\sigma_2$, où les $\sigma_i$ sont des retournements de $V^\perp$.
Il ne reste qu'à les prolonger par l'identité sur $V$, et on a gagné.
\end{proof}

\begin{lem}
$SO_3(\R)$ est connexe et compact.
\end{lem}
~\\
\begin{proof}
\begin{description}
\item[$\rightarrow$] Montrons que $SO_3(\R)$ est compact (H2G2 p.39).\footnote{Notons que la connexité et la compacité de $SO_n(\R)$ se montre exactement de la même façon, pour tout $n \in \N^*$.}\\
On a $SO_3(\R) = \psi^{-1}\left(\left\{I_3\right\}\right) \cap \det^{-1}(\{1\})$ est fermé dans $\mathcal{M}_3(\R)$, où $\psi : \left| \begin{array}{ccl}  \mathcal{M}_3(\R) & \rightarrow & \mathcal{M}_3(\R) \\ M & \mapsto & ^t MM \end{array} \right.$ est une application continue.\\
Aussi, $O_3(\R)$ est borné car ses éléments sont des isométries ; donc $SO_3(\R)$ est borné.\\
Ainsi, comme $\mathcal{M}_3(\R)$ est de dimension finie, $SO_3(\R)$ est compact.
\item[$\rightarrow$] Aussi, $SO_3(\R)$ est connexe (par arcs) (Audin p.66); on va montrer qu'on peut relier continûment ses éléments à $I_3$.\\
Soit $M \in SO_3(\R)$, on dispose du résultat de réduction : 
\[\exists P \in O_3(\R), M=PU_\theta P^{-1} \text{, où } U_\theta = \left(\begin{array}{c|cc} 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right) \text{ avec } \theta \in \R.\]
Soit alors $\gamma : \left| \begin{array}{ccl} [0,1] & \rightarrow & SO_3(\R) \\ t & \mapsto & PU_{t\theta}P^{-1} \end{array} \right.$ ; $\gamma$ est un chemin continu reliant $M$ à $I_3$, et restant dans $SO_3(\R)$.\\
Donc $SO_3(\R)$ est connexe (par arcs).
\end{description}
\end{proof}

\begin{lem}
$SO_3(\R)$ agit transitivement sur l'ensemble des droites de $\R^3$.\footnotemark
\end{lem}
\footnotetext{On a plus généralement que $SO_n(\R)$ agit transitivement sur l'ensemble des sous-espaces vectoriels de $E$ de dimension $\leq n$}
\begin{proof}~\\
(Perrin p.144) Soient $D$, $D'$ deux droites de $\R^3$, engendrées par les vecteurs unitaires $d$ et $d'$.\\
Soient $\left(e_1,e_2\right)$ et $\left(e'_1,e'_2\right)$ des bases orthonormales de $D^\perp$ et de $D'^\perp$.\\
On a donc construit deux bases orthonormales de $\R^3$ ; la matrice de passage $P$ de l'une à l'autre est donc dans $O_3(\R)$.\\
Mais quitte à changer $d'$ en $-d'$, on peut supposer que $P \in SO_3(\R)$ (pour que ce soit bien de déterminant 1).
\end{proof}

\begin{lem}
$Z(SO_n) =\begin{cases} \{I_n,-I_n\} &\mbox{si $n$ pair}\\ 
\{I_n\} & \mbox{si $n$ impair }\end{cases}$
\end{lem}
~\\
\begin{proof}
(Perrin p.142  + H2G2 p.239) En effet, soit $n \geq 2$, et $h \in Z\left(SO_n(\R)\right)$ ; on va montrer que $h$ est une homothétie car alors $\norm{h(x)}=\norm{x}=\abs{\lambda}\norm{x}$.\\
Soit $D$ une droite de $\R^n$ ; on a : $R_{h(D)} = h R_D h^{-1} = R_D$, car $h$ est central dnc commute avec tout les gens de $SO_3$.\\
Donc $h$ laisse stables toutes les droites de $\R^n$, c'est donc une homothétie (c'est facile : on prend deux vecteurs non-colinéaires, ce sont des vecteurs propres de $h$, leur somme également, et on montre que tous les vecteurs sont de même valeur propre.)
\end{proof}

\begin{thm}
$SO_3(\R)$ est un simple.
\end{thm}

\begin{proof}
Soit $H \triangleleft SO_3(\R)$, non-réduit à $\left\{I_3\right\}$. Voilà ce qu'on va faire : on va montrer que les retournements de $\R^3$ sont tous conjugués dans $SO_3(\R)$, puis que $H$ en contient un ; ainsi $H$ les contiendra tous, et comme ils engendrent $SO_3(\R)$ (\textbf{Lemme 1}), on aura $H = SO_3(\R)$, d'où la simplicité de $SO_3(\R)$. 
Soient $R_D$ et $R_{D'}$ deux retournements de $\R^3$ d'axes respectifs $D$ et $D'$.\\
Par le \textbf{Lemme 3}, il existe $S \in SO_3(\R)$ envoyant $D$ sur $D'$.\\
Alors $S R_D S^{-1} \in SO_3(\R)$ est semblable à $R_D$, comme $R_D$ semblable à $\left(\begin{smallmatrix}
1&&\\
&-1&\\
&&-1
\end{smallmatrix}\right) $, $S R_D S^{-1}$ aussi c'est donc un retournement de $\R^3$.\\
Soit $x \in D'$, on a : $S R_D \underbrace{S^{-1} x}_{\in D} = S S^{-1} x = x$ ; ainsi l'axe de $S R_D S^{-1}$ est $D'$, id est : $S R_D S^{-1} = R_{D'}$. On a ainsi montré que tous les retournements sont conjugués dans $SO_3(\R)$.\\
Reste à trouver un retournement dans $H$.\\
Soit $h \in H$ avec $h \neq I_3$. On pose :
$\varphi : \left| \begin{array}{ccl} SO_3(\R) & \rightarrow & \R \\ g & \mapsto & \tr\left(ghg^{-1}h^{-1}\right) \end{array} \right.$.\\
$\varphi$ est une application continue, donc $\varphi\left(SO_3(\R)\right)$ est un compact connexe de $\R$, un segment $[a,b]$.\\
$\forall g \in SO_3(\R), ghg^{-1}h^{-1} \in SO_3(\R)$ donc $\varphi(g)$ est de la forme $1 + 2\cos \theta \leq 3$, avec $\theta \in \R$ (par le théorème de réduction des éléments de $SO_3(\R)$).\\
Comme en plus $\varphi\left(I_3\right) = 3$, on en déduit que $\varphi\left(SO_3(\R)\right) = [a,3]$\\
Par l'absurde, supposons que $a=3$.\\
Alors $\forall g \in SO_3(\R), \tr \left(ghg^{-1}h^{-1}\right) = 3$, et donc $ghg^{-1}h^{-1} = I_3$.\\
En conséquence, $h \in Z\left(SO_3(\R)\right) = \left\{I_3\right\}$ (\textbf{Lemme 4}), ce qui est exclu.\\
On a donc bien $a<3$.\\
La suite $ \left(1+2\cos \frac{\pi}{n}\right)_{n \in \N}$ ayant $3$ pour limite croissante, on peut prendre $n \in \N^*$ tel que $ a < 1 + 2\cos \frac{\pi}{n} < 3$.\\
Soit alors $g_n \in SO_3(\R)$ tel que $ \varphi\left(g_n\right) = 1 + 2 \cos \frac{\pi}{n}$ (possible par définition de l'image de $\varphi$).\\
On pose $h_n = g_nhg_n^{-1}h^{-1}$ ; $h_n \in H$, car $H$ est conjugué dans $SO_3(\R)$ et car $h \in H$.\\
Comme $ \tr\ h_n = 1 + 2 \cos \frac{\pi}{n}$, on obtient que $h_n$ est une rotation d'angle $ \pm \frac{\pi}{n}$ ; ainsi $h_n^n \in H$ est une rotation d'angle $\pi$, autrement dit, un retournement. Ce qui conclut la preuve.
\end{proof}


\vspace{2cm}
\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\ 
\checkmark ~\textbf{A l'oral}, 12'30 en prenant temps. Rajouter éventuellement le centre ou l'action transitive.


\end{document}