\documentclass{article}
\usepackage{titling}
\author{Laura \textsc{Gay}}
\include{preambule}
\usepackage{tabularx}

\newboxedtheorem{defi}{Définition}{}
\newboxedtheorem{prop}{Proposition}{}
\newboxedtheorem{lem}{Lemme}{compteurLEM}
\newboxedtheorem{coro}{Corollaire}{compteur3}
\newboxedtheorem{thm}{Théorème}{}
\newboxedtheorem{appli}{Application}{compteur5}

\newcolumntype{C}{>{\centering}X}

\newcommand{\Scal}{\mathcal{S}}

\renewenvironment{proof}[1][]{{\underline{\bfseries \proofname #1 :}\\ }}{\hfill $\blacksquare$\\}

\begin{document}
\renewcommand{\proofname}{Preuve}
\begin{textblock*}{1cm}(13mm,0mm) 
\includegraphics[scale=1.2]{images/simplet.jpg} 
\end{textblock*} 
\begin{spacing}{2}
\setlength {\shadowsize }{2pt}
\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{15cm}
\centering     \begin{huge} 
\textsc{Simplicité de $\Acal_n$, $n \geqslant 5$}\end{huge}
\end{minipage}} \end{center}\end{spacing}
~\\


\underline{Référence :} \textsc{Perrin} : Cours d'algèbre p. 28, \textsc{Ulmer} : Théorie des groupes p. 73\\


\begin{lem}[p. 11]
	$\Acal_n$ est engendré par les 3-cycles pour $n \geqslant 3$.
\end{lem}

\bigskip
\textbf{\underline{Preuve du Lemme 1}}\\ 
Soit $\sigma\in \Acal_n$, $\sigma$ s'écrit comme un produit pair de transposition (car les transpositions engendrent le groupes des permutations et que la signature de $\sigma$ est 1). Montrons que cette écriture peut se ramener à un produit de 3 cycles.

\begin{itemize}
	\item $(a~b)(a~b)=Id$.
	\item $(a~b)(b~c)=(a~b~c)$
	\item $(a~b)(a~c)=(a~c~b)$
	\item $(a~b)(c~d)=(a~b)(b~c)(b~c)(c~d)=(a~b~c)(b~c~d)$
\end{itemize}

Comme chaque cas consomme deux transpositions, nous avons ce que nous voulions. \hfill $\blacksquare$\\
Au passage, nous avons montré que les cycles d'ordre 3 sont dans $\Acal_n$.
~\\

\section*{Les éléments de $\Acal_5$}
$\Acal_5$ possède 60 éléments. En effet, il y a:
\begin{itemize}
\item Le neutre
\item 15 élements d'ordre 2: ce sont les double transpositions disjointes (car une transposition seule a pour signature -1). Il y en a $\frac1{2}\binom{5}{2}\binom{3}{2}=15$  (il faut diviser par $2$ car comme elles sont disjointes $\tau_1\tau_2=\tau_2\tau_1)$.) Ou sinon on dit $\frac{5 \times 4 \times 3 \times 2}{2 \times 2 \times 2}$ (nombre de choix à inversion près pour chaque transposition ($2 \times 2$) à inversion près de la transposition totale ($2$)).
\item 20 élements d'ordre 3: ce sont les 3-cycles. Il y en a $\frac{5 \times 4 \times 3}{3}$ (car on peut changer l'ordre des coefficients dedans). Ou sinon on dit $2\binom{5}{3}=20$ (penser que les coefficients binomiaux ne prennent pas compte de l'ordre)
\item 24 élements d'ordre 5: $4!=24$ 5-cycles (on fixe les 4 premiers éléments et le dernier est imposé)
\end{itemize}
~\\
\section*{Simplicité de $\Acal_5$ (Ulmer)}

\textbf{\underline{Preuve}}\\
\begin{lem}
Rappel: $Z_G(h)=\{g \in G | ghg^{-1}=h \}=G_h$ (deuxième égalité le stabilisateur pour l'action par conjugaison). \\
Soit $\sigma \in \Acal_n$. Notons $\Acal_n \centerdot \sigma=\{ \gamma \sigma \gamma^{-1} | \gamma \in \Acal_n \}$ la classe de conjugaison (=l'orbite) de $\sigma$ dans $\Acal_n$ . Et $\Scal_n \centerdot \sigma=\{ \gamma \sigma \gamma^{-1} | \gamma \in \Scal_n\}$ la classe de conjugaison de $\sigma$ dans $\Scal_n$.\\
$\rightarrow$ Soit $Z_{\Scal_n}(\sigma)=Z_{\Acal_n}(\sigma) \subseteq \Acal_n$ et donc $\abs{\Acal_n \centerdot \sigma} = \frac12 \abs{\Scal_n \centerdot \sigma}$.\\
$\rightarrow$ Soit $ \exists \alpha \in \Scal_n \backslash \Acal_n$ tel que $\alpha \sigma = \sigma \alpha$. Alors $\Acal_n \centerdot \sigma = \Scal_n \centerdot \sigma$ et donc $\abs{\Acal_n \centerdot \sigma} = \abs{\Scal_n \centerdot \sigma}$.
\end{lem}

\textbf{\underline{Preuve du Lemme 2}}\\
~~\\
Indication: utiliser les morphismes signatures $\varepsilon_1: Z_{\Scal_n} \rightarrow \{ \pm 1\}$ et $\varepsilon_2: Z_{\Acal_n} \rightarrow \{ \pm 1\}$ ainsi que la relation orbite-stabilisateur. \\
$\rightarrow$ Si $\varepsilon_1$ est trivial, il envoie tout sur 1. Donc $Z_{\Scal_n}(\sigma)=Z_{\Acal_n}(\sigma)$.\\
Relation orbite-stabilisateur (utilisée 2 fois):  
$$\abs{\Acal_n \centerdot \sigma}=\frac{\abs{\Acal_n}}{\abs{Z_{\Acal_n}(\sigma)}}=\frac12 \frac{\abs{\Scal_n}}{\abs{Z_{\Acal_n}(\sigma)}}=\frac12 \frac{\abs{\Scal_n}}{\abs{Z_{\Scal_n}(\sigma)}}=\frac12 \abs{\Scal_n \centerdot \sigma}$$
$\rightarrow$ Si $\varepsilon_1$ n'est pas trivial,   $ \exists \alpha \in  Z_{\Scal_n}(\sigma)$ tel que sign$(\alpha)=-1$. Et Id$\in  Z_{\Scal_n}$ est telle que sign$(\text{Id})=1$. Donc Im$(\varepsilon_1)=\{ \pm 1\}$. Le théorème d'isomorphisme donne
$$\frac{\abs{Z_{\Scal_n}(\sigma)}}{\abs{\text{Ker}(\varepsilon_1)}}=2$$
Mais $\text{Ker}(\varepsilon_1)=Z_{\Acal_n}(\sigma)$ donne $2\abs{Z_{\Acal_n}(\sigma)}=\abs{Z_{\Scal_n}(\sigma)}$. Donc (relation orbite-stabilisateur) :
$$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~~~ \abs{\Acal_n \centerdot \sigma}=\frac{\abs{\Acal_n}}{\abs{Z_{\Acal_n}(\sigma)}}=\frac{2\abs{\Acal_n}}{\abs{Z_{\Scal_n}(\sigma)}}= \frac{\abs{\Scal_n}}{\abs{Z_{\Scal_n}(\sigma)}}=\abs{\Scal_n \centerdot \sigma} ~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~  \blacksquare$$

Pour $\sigma \in \Acal_5$, la classe de conjugaison de $\sigma$ dans $\Acal_5$ est soit identique (de même taille) que la classe de conjugaison de $\sigma$ dans $\Scal_5$, soit de taille moitié.\\
De plus, la classe de conjugaison dans $\Scal_5$ d'un cycle de n'importe quelle taille est l'ensemble des cycles de cette taille (par $\tau (a~b~c ...) \tau^{-1}=(\tau(a)~\tau(b)~\tau(c) ...)$). \\
On réunit les informations: 
\begin{center}
\begin{tabularx}{18cm}{c|c|c|C}
Type d'éléments de $\Acal_5$ & Cardinal & \# de la classe dans $\Scal_5$ & \# de la classe dans $\Acal_5$\tabularnewline
\hline
Neutre & 1 &1 & Impair donc 1 \tabularnewline
~&&&\\
Double-transposition &15 &15 & Impair donc 15 \tabularnewline
~&&&\\
3-cycle & 20 & 20 &Si $\gamma=(a~b~c)$. 
Avec $(d~e) \in \Scal_5 \backslash \Acal_5$, on a $(d~e)(a~b~c)(d~e)=(a~b~c)$ donc $(d~e)$ stabilise $\gamma$.\\
D'après le \textbf{Lemme 2}, $\abs{\Acal_5 \centerdot \gamma} = \abs{\Scal_5 \centerdot \gamma}=20$ \tabularnewline
~&&&\\
5-cycle & 24 & 24 & D'après la formule des classes $\abs{\Acal_5 \centerdot \tau}\abs{Z_{\Acal_5}(\tau)}=\abs{\Acal_5}=60$.\\ Or $24 \nmid 60$ donc nécessairement le cardinal est de moitié: 12\tabularnewline
\end{tabularx}
\end{center}
~\\
Donc les tailles des classes de conjugaison dans $\Acal_5$ sont 1,12,15 ou 20. Or, un sous-groupe distingué contient l'identité et une union de classe de conjugaison (car s'il a un élément, il a sa classe de conjugaison par définition de distingué). Le cardinal d'un sous-groupe distingué de $\Acal_5$ divise 60 donc appartient à 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,60. Un sous-groupe distingué de $\Acal_5$ est forcément le neutre ou $\Acal_5$.

\section*{$n\geq 5$ quelconque (Perrin)}


\textbf{\underline{Preuve}}\\

Posons $E=\llbracket 1,n \rrbracket$. Soit $H\vartriangleleft \Acal_n \setminus\{Id\}$. Soit  $\sigma\in H\setminus\{Id\}$. \\
~\\
\begin{description}

\item[Etape 1] Construire un ensemble à 5 éléments, pour cela fabriquer à partir de $\sigma$ un élément non trivial de $H$ qui n'agisse que sur un ensemble à 5 éléments. \\
Comme $\sigma \neq Id$, il existe $ a\in E$ tel que $b=\sigma(a)\neq a$.\\
Soit également $c\notin\{a,b,\sigma(b)\}$ et $\tau$ le 3-cycle $(a~c~b) \in \Acal_n$. Ainsi, $\tau^{-1}=(a~b~c)$. On pose $\rho=(\tau\sigma\tau^{-1})\sigma^{-1} \in H$ comme commutateur $\times$ un élément de $H$.\\
On a $\rho  = \tau(\sigma\tau^{-1}\sigma^{-1}) = (a~c~b)(\sigma (a~b~c) \sigma^{-1})= (a~c~b)\left(\sigma(a)~\sigma(b)~\sigma(c)\right)$\\
Comme $b=\sigma(a)$, l'ensemble $F:=\{a,b,c,\sigma(a),\sigma(b),\sigma(c)\} = \text{Supp}(\rho)$ a au plus 5 éléments et $\rho |_{E \setminus F}=Id_{E \setminus F}$.\\

Quitte a rajouter des éléments dans $F$, on peut supposer que $\abs{F}=5$.\\
\item[Etape 2] Trouver un sous-groupe distingué dans cet ensemble. \\
Soit maintenant $\Acal(F)$ l'ensemble des permutations paires d'éléments de $F$. On a $\Acal(F) \cong \Acal_5$.\\
Considérons le morphisme $i$ d'injection de $\Acal(F)$ dans $\Acal_n$`\\
$i: \begin{array}{clc}
\Acal(F) &\rightarrow &\Acal_n \\
u &\mapsto &\bar u
\end{array}$\\
 avec $\bar u|_F=u$ et $\bar u|_{E \setminus F}=Id_{E \setminus F}$ (on a prolongé $u$ par l'identité).\\
 ~\\
Posons $H_0=\{ u \in \Acal(F) ~|~\bar u \in H\}$. \\ 
$H_0 \vartriangleleft \Acal(F)$ (car $H\vartriangleleft \Acal_n$, s'écrit bien).\\
\item[Etape 3] Conclure\\
De plus, $H_0$ non réduit à  $\{Id\}$ car $\rho|_{F} \in H_0$. En effet $\rho \in H$ et $\rho\neq Id$ car $\rho(b)=(\tau\sigma\tau^{-1})\sigma^{-1}(b)=(\tau\sigma\tau^{-1})(a)=\tau\sigma(b)\neq \tau(c)=b$ car $c \neq \sigma(b)$.\\
Comme $\Acal(F) \cong \Acal_5$ et $\Acal_5$ simple, on a $H_0=\Acal(F)$. \\
Donc $H_0$ contient en particulier un 3-cycle, donc $\bar u$ est également un 3-cycle et appartient à $H$. $H$ contient donc tous les 3-cycles puisque ceux-ci sont conjugués dans $\Acal_n$. \\
Or $\Acal_n$ est engendré par les 3-cycles, et finalement $H=\Acal_n$. \hfill $\blacksquare$ \end{description}

\section*{Bonus}

\begin{prop}
$\Acal_n$ est $(n-2)$-transitif sur $\llbracket 1, n \rrbracket$ ie si on a $a_1,\dots,a_{n-2}$ distincts et $b_1,\dots,b_{n-2}$ distincts, il existe $\sigma \in \Acal_n$ tel que $\sigma(a_i)=b_i$. 
\end{prop}
~\\
\textbf{\underline{Preuve}}\\
On écrit $\llbracket 1, n \rrbracket= \{a_1,\dots,a_{n-2},a_{n-1},a_{n}\}=\{b_1,\dots,b_{n-2},b_{n-1},b_{n}\}$.\\
On considère $\tau \in \Scal_n$ telle que $\tau(a_i)=b_i$. Si $\tau$ est paire, c'est terminé. Sinon, on compose $\tau$ avec la transposition $(a_{n-1}~a_n)$, cela nous donne $\sigma$.\hfill $\blacksquare$

\vspace{2cm}


\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\
\checkmark ~\textbf{A l'oral}, $n=5$: 7'40 puis 8'34. Quand on dénombre $\mathcal{A}_5$ on commence déjà le tableau. Tout: 14'16 au feutre en speedant. Développement à retravailler car dur ! En speedant 6'05 pour $\mathcal{A}_5$ et 12'40 au total. Donc on peut aller un peu plus doucement. \\
\checkmark ~La signature c'est $(-1)^{\text{nombre de transpositions}}$ lorsqu'on a décomposé en produit de transpositions (non forcément disjointes).\\



\end{document}
