\documentclass{article}
\usepackage{titling}
\author{Laura \textsc{Gay}}
\include{preambule}

\newboxedtheorem{defi}{Définition}{compteur1}
\newboxedtheorem{prop}{Proposition}{compteur2}
\newboxedtheorem{lem}{Lemme}{}
\newboxedtheorem{coro}{Corollaire}{compteur3}
\newboxedtheorem{thm}{Théorème}{compteur4}
\newboxedtheorem{appli}{Application}{compteur5}

\renewenvironment{proof}[1][]{{\underline{\bfseries \proofname #1 :}\\ }}{\hfill $\blacksquare$\\}

\begin{document}
\renewcommand{\proofname}{Preuve}

\begin{spacing}{2}
\setlength {\shadowsize }{2pt}
\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{15cm}
\centering     \begin{huge} 
\textsc{Simplicité de $SO_3$}\end{huge}
\end{minipage}} \end{center}\end{spacing}
~\\


\underline{Référence :} \textsc{FGNal3} exercice 1.37 p.67 édition 2008 (+exo 1.33 p61 pour le bonus)\\


\section*{Rappels et notations}

On note $O_3:=O_3(\R):=\{ A \in \mathcal{M}_{3}(\R)~/~^tAA=\text{Id}\} < GL_3(\R)$.\\

\begin{prop}
L'ensemble $SO_3:=SO_3(\R)=\{ A \in O_{3}(\R)~/~\det(A)=1\}$ est un groupe, il est distingué dans $O_3$. C'est l'ensemble des rotations de l'espace euclidien $\R^3$.
\end{prop}

On notera sous forme multiplicative la composée de deux éléments de $SO_3$

\begin{prop}
Soit $A \in SO_3$. Alors il existe $P \in GL_3(\R)$ tel que 
$$A=P^{-1}\begin{pmatrix} 
\cos\theta & -\sin\theta & 0\\
\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} P$$
\end{prop}

On a également que $SO_3$ est une partie de l'espace vectoriel $\mathcal{L}(\R^3)$ muni de sa topologie d'evn. 

\section*{Démonstration}

Soit $G$ un sous-groupe distingué de $SO_3$, et soit $G_0$ la composante connexe par arcs dans $G$ de l'identité. \\

\begin{lem}
Si de plus $G$ est connexe par arcs et non réduit à \{Id\} alors $G=SO_3$.
\end{lem}
~\\
\begin{proof}
~\\
On va montrer que $G$ contient un retournement (une rotation d'angle $\pi$). On en déduira alors que $G=SO_3$. \\  
$\bullet$ Soit $g\in SO_3$. On note $\theta_g$ l'angle de cette rotation \footnote{$\theta_g$ est défini au signe près car si l'on change l'orientation de l'axe de la rotation, l'angle est changé en son opposé}. Nous savons qu'il existe une base orthonormale dans laquelle sa matrice est 
\[ \begin{pmatrix} 
\cos\theta_g & -\sin\theta_g & 0\\
\sin\theta_g & \cos\theta_g & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\]
si bien que $\tr(g) = 1 + 2 \cos \theta_g$, donc l'application 
\[ \phi : \begin{array}{clc}
     SO_3 & \longrightarrow [-1,1] \\
     g & \longmapsto \cos \theta_g=\frac{\tr(g)-1}{2} \\
     \end{array}
   \]
est bien définie et continue.
Il suffit de montrer que $\phi$ prend la valeur $-1$ pour avoir une rotation $g\in G$ d'angle $\pi$. Cependant, avec l'argument de connexité il va être plus facile de trouver un élément de $G$ d'angle $\theta$ tel que $\cos \theta=0$. Autrement dit, nous allons prouver que $G$ contient une rotation $r$ d'angle $\pm \frac{\pi}{2}$. Alors $r^2$ sera un élément de $G$ d'angle $\pi$. \\
~\\
$\bullet$ Cherchons pour commencer un élément $s \in G$ tel que $\phi (s)=\cos\theta_s \leq 0$.\\
Par hypothèse, $G$ possède un élément $g$ différent de Id. 
Quitte à changer la direction de l'axe de la rotation, on peut supposer que $\theta_g \in ] 0 , \pi ]$. \\
Si $\cos \theta_g \leq 0$ ie $\theta_g \in [ \pi / 2 , \pi ]$ alors $s=g$ convient. \\
Sinon, $\theta_g \in ]0, \frac{\pi}{2}$ et on pose $N = E\left(\frac{\pi}{2\theta}\right)$. On a
\[ N\theta \leq \frac{\pi}{2} < (N+1)\theta \leq \frac{\pi}{2} + \theta \leq \pi, \]
donc $g^{N+1}$ est une rotation d'angle $(N+1)\theta \in [\frac{\pi}{2},\pi[$ donc $s = g^{N+1}$ convient.\\
~\\
$\bullet$ Puisque $G$ est connexe par arcs, il existe un chemin $\gamma$ de $G$ reliant $\text{Id}$ à $s$. L'application
\[ \varphi=\phi \circ \gamma: t \in [0,1] \mapsto \frac{1}{2}(\tr(\gamma(t)) - 1) \] est continue puisque tr et $\gamma$ le sont.\\
De plus, $\varphi(0) = \cos 0 = 1$ et $\varphi(1)=\cos \theta_s \leq 0$ par construction de $s$. \\
Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $t_0 \in [0,1]$ tel que $\varphi(t_0) = 0$. La rotation $r = \gamma(t_0)$ a un angle de $\pm \frac{\pi}{2}$ et $R=r^2 \in G$ un angle de $\pi$ et donc $R$ est donc un retournement et appartient à $G$. \\
~\\
$\bullet$ Montrons qu'alors $G=SO_3$. Pour tout $g \in SO_3$, l'élément $gRg^{-1}$ est dans $G$ car $G$ est distingué par hypothèse. De plus, $\tr(gRg^{-1})=\tr(R)$ donc $gRg^{-1}$ est aussi un retournement. Soit$\Delta$ l'axe de $R$. Soit $u$ un vecteur appartenant à $\Delta$, alors $(gRg^{-1})(g(u))=g(u)$ donc $gRg^{-1}$ est le retournement d'axe $g(\Delta)$. Or étant donné une droite $D$ de $\R^3$, il est toujours possible\footnote{C'est en fait l'action transitive de $SO_3$ sur les droites de $\R^3$} de trouver une rotation $g$ telle que $D=g(\Delta)$ en prenant un axe orthogonal à $D$ et $\Delta$ et un angle bien choisi\footnote{N'oublions pas ici que les droites sont vectorielles donc passent toutes par 0.} Ainsi, $G$ contient tous les retournements. Or $SO_3$ est engendré par les retournements, ce qui conclut.
\end{proof}
~\\
~\\
\begin{proof}[ de la simplicité de $SO_3$]
\begin{description}
\item[Étape 1 :]Montrons que $G_0$ est un sous-groupe de $SO_3$.\footnote{Autre version: L'application $\varphi :
	\begin{array}{clc}
      G_0 \times G_0 &\longrightarrow &G \\
     (x,y) &\longmapsto &xy^{-1} \\
     \end{array}$ est continue, et $G_0 \times G_0$ étant connexe, on en déduit que l'image de $\varphi$ est un connexe de $G$. De plus elle contient l'identité, donc est incluse dans $G_0$, ce qui montre que $G_0$ est un sous-groupe de $G$.}\\
Par définition $G_0$ contient l'identité.	
Soient $g$ et $h$ deux éléments de $G_0$. Comme $G_0$ est connexe également, il existe $\gamma$ et $\gamma'$ des chemins de $G_0$ reliant $\text{Id}$ à $g$ et $h$ respectivement. Considérons l'application
\[ \gamma'': \begin{array}{clc} [0,1] &\longrightarrow &G\\
                            t &\longmapsto &\gamma(t)(\gamma'(t))^{-1}
														\end{array} \]
Déjà, l'application est bien définie car pour tout $t \in [0,1]$, $ \gamma(t)(\gamma'(t))^{-1} \in G$ ($G$ sous-groupe de $SO_3$).\\														
De plus, l'application $g \mapsto g^{-1}$ est une application continue sur $SO_3$ car si l'on identifie un élément $g$ de $SO_3$ à sa matrice dans la base canonique, les coefficients de $g^{-1}$ dépendent polynomialement des coefficients de $g$. \\
Enfin, $\gamma''(0)=\text{Id}$ et $\gamma''(1)=gh^{-1}$. Ainsi, $\gamma''$ est bien un chemin de $G$ reliant $\text{Id}$ à $gh^{-1}$ donc $gh^{-1} \in G_0$\footnote{Ici, le livre ne prend pas la même définition de composante connexe que celle de notre plan mais cela marche quand même sans soucis. En effet l'ensemble $\gamma''([0,1])$ est un connexe par arcs qui contient $\text{Id}$ il est donc inclus dans la composante connexe de $\text{Id}$ qui est $G_0$. Donc $\gamma''(1) \in G_0$.} donc $G_0 < G$.\\

\item[Etape 2:] Montrons que $G_0 \lhd SO_3$ \footnote{Autre version: Soit $h \in SO_3$, alors l'application
	\[ \begin{aligned}
     \text{Int}_h : \enskip G & \longrightarrow G \\
     g & \longmapsto hgh^{-1} \\
     \end{aligned}
   \]
est bien définie. Le même argument que plus haut montre que Int$_h$ envoie $G_0$ dans $G_0$, et ce pour tout $h \in SO_3$, ce qui signifie que $G_0$ est un sous-groupe distingué de $SO_3$.}\\
Soit $g \in G_0$, $\gamma$ un chemin de $G$ reliant $\text{Id}$ à $g$ et soit $h \in SO_3$. Considérons l'application
\[ \gamma': \begin{array}{clc} [0,1] &\longrightarrow &G\\
                            t &\longmapsto &h\gamma(t)h^{-1}
														\end{array} \]
Déjà, l'application est bien définie car comme $G \lhd SO_3$, pour tout $t \in [0,1]$, $h\underbrace{\gamma(t)}_{\in G}h^{-1} \in G$.\\
L'application $\gamma$ est continue de même que la multiplication à droite ou à gauche par un élément de $SO_3$, donc $\gamma'$ est continue. \\
 Enfin, on a $\gamma'(0)=\text{Id}$ et $\gamma'(1)=hgh^{-1}$. L'application $\gamma'$ est bien un chemin de $G$ reliant $\text{Id}$ et $hgh^{-1}$ donc $hgh^{-1} \in G_0$ et ainsi $G_0 \lhd SO_3$.\\
~\\
\item[Étape 3 :] Montrons que $G=\left\{ \text{Id} \right\}$ ou $G=SO_3$.\\
$\bullet$ Si $G_0 \neq \{\text{Id}\}$, on peut appliquer le \textbf{Lemme} car par définition et par l'étape 2, $G_0$ est un sous-groupe distingué et connexe par arcs. Donc, $G_0=SO_3$, donc a fortiori $G=SO_3$. \\
$\bullet$ Si $G_0 = \left\{ \text{Id} \right\}$ alors montrons que $G=\left\{ \text{Id} \right\}$, ce qui terminera la preuve. \\
$\bullet$ Remarquons que dans ces conditions, toutes les composantes connexes par arcs de $G$ sont des singletons. En effet, si $g'$ est dans la composante connexe par arcs de $g$ relié par le chemin $\gamma$, alors $t \mapsto g^{-1}\gamma(t)$ est un chemin de $G$ reliant $\text{Id}$ à $g^{-1}g'$. Ainsi, $g^{-1}g' \in G_0 = \left\{\text{Id}\right\}$ donc $g' = g$ et donc toutes les composantes connexes par arc de $G$ sont des singletons. \\
$\bullet$ Raisonnons par l'absurde et supposons que $G$ contienne un élément $g \neq \text{Id}$. Soit $h$ une rotation quelconque, différente de \text{Id} et d'angle $\theta_h$. \\
Pour tout $t \in [0,1]$, on note $h_t$ la rotation de même axe et d'angle $t\theta_h$. \\
L'application $t \mapsto h_t$ est continue car matriciellement elle se traduit dans une certaine base orthonormale par 
\[ t \mapsto \begin{pmatrix} 
\cos(t\theta_h) & -\sin(t\theta_h) & 0\\
\sin(t\theta_h) & \cos(t\theta_h) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \]
Ainsi, l'application $t \in [0,1] \mapsto h_tgh_t^{-1}$ est un chemin de $G$ (car $G$ est distingué), d'origine $g$ et d'extrémité $hgh^{-1}$. Ainsi, $hgh^{-1}$ appartient à la composante connexe par arc de $g$ qui est un singleton et donc $hgh^{-1} = g$. \\
Or, si $g$ est une rotation d'axe $\Delta$, $hgh^{-1}$ est une rotation d'axe $h(\Delta)$ donc $h(\Delta) =\Delta$ C'est impossible: une droite ne peut pas être invariante par toutes les rotations de l'espace! Ainsi $G = \left\{\text{Id}\right\}$ ce qui montre la simplicité de $G$.
\end{description}
\end{proof}

\section*{Bonus}

\begin{prop}
$SO_3$ est engendré par les retournements.
\end{prop}
~\\
\begin{proof}
Soit $u \in SO_3 \setminus$\{Id\}. Comme Ker$(u-\text{Id})$ est de dimension 1 (c'est une droite, l'axe de $u$), on a rg$(u-\text{Id})=2$. Ainsi\footnote{On admet que si $u \in O_3$, $u$ peut s'écrire comme produit de $r$ réflexions où $r=\text{rg}(u-\text{Id})$.}, $u$ s'écrit comme produit de 2 réflexions: $u=s_1 \circ s_2$. Or, si $H$ est un plan de $E$ et $s$ est la réflexion par rapport à $H$, alors $-s$ est le retournement par rapport à la droite $D=H^{\perp}$. La relation $u=(-s_1)\circ(-s_2)$ montre que $u$ est la composée de 2 retournements. Donc les retournements engendrent $SO_3$.
\end{proof}

\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\
%\checkmark ~\textbf{A l'oral}, bla\\
\checkmark ~Rappels: un sous-groupe $H$ est distingué dans un groupe $G$ si $\forall g \in G$, $\forall h \in H$, $ghg^{-1}\in H$.\\



\end{document}