\documentclass{article}
\usepackage{titling}
\author{Laura \textsc{Gay}}
\include{preambule}

\newboxedtheorem{defi}{Définition}{}
\newboxedtheorem{prop}{Proposition}{}
\newboxedtheorem{cexe}{Contre-exemple}{}
\newboxedtheorem{coro}{Corollaire}{}
\newboxedtheorem{thm}{Théorème}{}
\newboxedtheorem{exe}{Exemple}{}


\renewenvironment{proof}[1][]{{\underline{\bfseries \proofname #1 :}\\ }}{\hfill $\blacksquare$\\}

\begin{document}
\renewcommand{\proofname}{Preuve}

\begin{spacing}{2}
\setlength {\shadowsize }{2pt}
\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{15cm}
\centering     \begin{huge} 
\textsc{Surjectivité de l'exponentielle}\end{huge}
\end{minipage}} \end{center}\end{spacing}
~\\


\underline{Référence :} \textsc{Zavidovique} : {Un Max de Math} p. 49 et p.53\\


\begin{thm}
Soit $A \in \GLnC$. Alors il existe $P \in \C[X]$ tel que $A=\exp(P(A))$. En particulier, la fonction ${\exp :\MnC \longrightarrow \GLnC}$ est surjective.
\end{thm}
~\\

\textbf{\underline{Preuve du Théorème}}\\
\begin{itemize}
\item (question 2) Préliminaire: Montrons déjà que $\C[C]^\times = \C[C] \cap \GLnC$. ``$\subset$'' est triviale. Soit $M \in \C[C] \cap \GLnC$. Alors $M^{-1}$ est un polynôme en $M$ (avec Cayley-Hamilton par exemple) \footnote{
Ou plus simplement: Soit $\mu_M$ le polynôme minimal d'une matrice $M$ inversible. Supposons que son coefficient constant est nul. Alors $\mu_M$ peut s'écrire $\mu_M=XQ$. Comme $M$ est inversible, $\mu_M(M)=MQ(M)=0$ donc $Q(M)=0$. Absurdité du polynôme minimal. Donc nécessairement $\mu_M= a_0  + XQ$ avec $a_0$ non nul. On a donc $M^{-1}=-\frac1{a_0}Q(M)$
 Gourdon p.178}. Donc a fortiori, $M^{-1}$ est un polynôme en $C$ donc $M \in \C[C]^\times$.\\ 
\item (question 3) $\C[C]^\times$ est connexe. On montre pour cela qu'il est connexe par arcs.\\
Soit $M,N\in\C[C]^\times$, alors $P(z):=\det(zM+(1-z)N)$ est un polynôme non nul (car $P(0)=\det(N)\neq 0$) donc l'ensemble $Z$ de ses racines est fini. $\C\setminus Z$ est connexe par arcs et contient 0 et 1 donc il existe un chemin $\gamma$ reliant 0 à 1 dans $\C\setminus Z$. Le chemin $\gamma(t)M+(1-\gamma(t))N$ relie alors $N$ à $M$ dans $\C[C]^\times$.\\
\item (questions 1 et 2) Montrons que l'application $$\fnct{\varphi}{(\C[C],+)}{(\C[C]^\times,\cdot)}{X}{\exp(X)}$$ est bien définie et est un morphisme de groupes.\\
$\C[C]$ est un sous-espace vectoriel de $\MnC$ de dimension finie \footnote{La dimension de $\C[C] \simeq \C[X] / (\mu_C(X))$ est exactement le degré du polynôme minimal $\mu_C(X)$ de $C$.} donc est fermé.\\
 Or, si $X \in \C[C]$,  $\exp(X) = \lim_{n \rightarrow + \infty} \sum_{k=0}^N\frac 1{k!}X^k$ est une limite de polynômes en $C$ donc d'éléments de $\C[C]$, donc $\exp(X)\in\C[C]$.\\
Par ailleurs, $\exp(X)\in GL_n(\C)$ car d'inverse $\exp(-X)$, donc l'application est bien définie.\\
C'est un morphisme de groupes car les éléments de $\C[C]$ commutent, et $\C[C]$ stable par produit.\\
Ainsi, $\exp(\C[C]) \subset \C[C]^\times$. \underline{But:} montrer que c'est un ouvert fermé du connexe $\C[C]^\times$.\\
\item 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ car\footnote{Détails: $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$.
  \[
\begin{split}
\varphi(X+H) &= \exp(X+H) = \exp(X)\exp(H) \\
&= \exp(X) \left( I + H + o(\norm{H}) \right) \\
&= \varphi(X) + \exp(X)H + o(\norm{H}).
\end{split}
\]
Donc $\varphi$ est différentiable en tout $X \in  \C[C]$ et $D\varphi_{X}$ s'identifie à la multiplication par $\exp(X)$ donc  $D\varphi$ est continue, donc $\varphi$ est bien de classe $\mathcal{C}^{1}$.} $\exp(X)$ l'est.
\item[$\bullet$] La différentielle en $0$ de $\varphi$ est donc l'identité qui est bijective.
\item[$\bullet$] $\C[C]^\times$ est ouvert de $\C[C]$ . En effet, $\C[C]^\times = \C[C] \cap \underbrace{\det {^{-1}}(\R^*)}_{\text{ouvert}}$.
\end{itemize}
DONC, d'après le théorème d'inversion locale, $\varphi$ réalise un $\mathcal C^1$-difféomorphisme entre un voisinage $U$ de 0 dans $\C[C]$ et un voisinage $V$ de $I_n$ dans $\C[C]^\times$. En particulier, $V=\exp(U) \subset \exp(\C[C])$.\\
\item (question 4) Montrons que $\exp(\C[C])$ est un ouvert de $\C[C]^\times$. Pour cela, on va montrer que $\exp(\C[C])$ est voisinage de chacun de ses points. \\
Si\footnote{Détails: $\exp(A+U)=\exp(A)V$. Soit $E \in U$. On a $\exp(A+E)=\exp(A)\exp(E) \in \exp(A)V$ \\
Réciproquement, soit $F \in V$. Par le difféomorphisme obtenu, $\exists E \in U$ tel que $F=\exp(E)$. Alors, par le même principe $\exp(A)V=\exp(A+E) \in \exp(A+U)$.} $A \in \C[C]$, $\exp(A+U)=\exp(A)V$. \\
Comme $\exp(A)$ est inversible, la multiplication par cette matrice est un difféomorphisme donc est continue. Ainsi, $\exp(A)V$ est un ouvert et donc un voisinage de $\exp(A)$. Or $\exp(A)V \subset \exp(\C[C])$ (par l'égalité du dessus). Donc $\exp(\C[C])$ est un voisinage de chacun de ses points. Donc $\exp(\C[C])$ est un ouvert de $\C[C]$.\\
\item (question 5) Montrons maintenant que $\exp(\C[C])$ est un fermé de $\C[C]$. On a (par double inclusion assez facile):
\[\C[C]^\times \backslash \exp(\C[C]) =\bigcup_{M \in \C[C]^\times \backslash \exp(\C[C])}M\exp(\C[C]) \]
L'ensemble $\exp(\C[C])$ est donc fermé, puisque les ensembles $M\exp(\C[C])$ sont ouverts (car toujours $\exp(\C[C])$ est ouvert et la multiplication par un inversible est un difféomorphisme...). \\
\item (question 6) Bilan:  $\exp(\C[C])$ est fermé et ouvert dans le connexe $\C[C]^\times$. Comme $\exp(\C[C])$ est non vide, on a ${\exp(\C[C])=\C[C]^\times}$. On a donc, pour tout $A \in \GLnC$, il existe $P \in \C[X]$ tel que $A=\exp(P(A))$. Donc la surjectivité de l'exponentielle.   \hfill $\blacksquare$ \\
\end{itemize}

\begin{prop}
On a $\exp(\MnR)=\{A^2,~A \in \GLnR\}$.
\end{prop}
~\\
\textbf{\underline{Preuve de la Proposition}}\\
(question 6) Soit $M \in \MnR$. Alors $\exp(M)=A$, alors $\left(\exp\left(\frac M2\right)\right)^2=A$.

Soit $A\in \GLnR$ appartenant à l'ensemble de droite. Alors il existe $C\in \GLnR$ telle que $C^2=A$. D'après le théorème, il existe $P\in\C[X]$ telle que $\exp(P(C))=C$. Or, comme $C$ est réelle, $C=\overline C=\exp(\overline P(C))$, donc $A=C\times\overline C=\exp(P(C)+\overline P(C))$ car $P(C)$ et $\overline P(C)$ commutent. Or $P+\overline P\in\R[X]$, donc la matrice $A$ est bien l'exponentielle d'une matrice réelle. \hfill $\blacksquare$\\ 
~\\
\begin{cexe}
$A:=\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix}$ n'a pas d'antécédent dans $\mathcal M_2(\R)$ par $\exp$. Supposons qu'il existe $B\in \mathcal M_2(\R)$ telle que $\exp(B)=A$, alors si $\lambda$ est valeur propre de $B$, $\exp\lambda$ est valeur propre de $A$ donc $\lambda=\text{i}\pi+2\text{i}k\pi$ pour $k\in\Z$. Donc $\lambda\neq\bar\lambda$, or $B$ est réelle donc $\bar\lambda$ est aussi valeur propre de $B$, donc $B$ est diagonalisable. On en déduit que $A$ est diagonalisable, ce qui est absurde.

On pouvait aussi donner une matrice de déterminant négatif, car $\det\exp(B)=\exp(\text{tr}(B))>0$ pour $B\in\mathcal M_n(\R)$.
\end{cexe}



\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\
\checkmark ~\textbf{A l'oral}, on fait la proposition s'il y a le temps.\\
\checkmark ~ Rappel: Théorème d'inversion locale. Soient $U$ un ouvert de $\R^n$, $a \in U$, et $f: U \rightarrow \R^n$ une application de classe $\mathcal{C}^1$. On suppose que la matrice jacobienne $\text{D} f(a)$ est inversible i.e. $\det \text{D} f(a) \neq 0$. Alors il existe un ouvert $V \subset U$ qui contient $a$ et un ouvert $W$ qui contient $f(a)$, tels que $f|_{V}$ soit un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme de $V$ sur $W=f(V)$.\\
\checkmark ~Connexe $\Leftrightarrow$ CPA lorsque ouvert d'un evn.\\


\end{document}