\documentclass{article}
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\author{Laura \textsc{Gay} d'apr\`es Florian \textsc{Bouguet}}
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\newboxedtheorem{defi}{Définition}{compteur1}
\newboxedtheorem{prop}{Proposition}{compteur2}
\newboxedtheorem{lem}{Lemme}{}
\newboxedtheorem{coro}{Corollaire}{compteur3}
\newboxedtheorem{thm}{Théorème}{}
\newboxedtheorem{appli}{Application}{compteur5}

\renewcommand{\frak}{\mathcal}

\renewenvironment{proof}[1][]{{\underline{\bfseries \proofname #1 :}\\ }}{\hfill $\blacksquare$\\}

\begin{document}
\renewcommand{\proofname}{Preuve}

\begin{spacing}{2}
\setlength {\shadowsize }{2pt}
\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{15cm}
\centering     \begin{huge} 
\textsc{Table de $\mathcal{S}_4$}\end{huge}
\end{minipage}} \end{center}\end{spacing}
~\\


\underline{Référence :} \textsc{Peyré} : Algèbre discrète de la transformée de Fourier p.229\\


\begin{thm}
La table de caractères de $\frak S_4$ est :
\[\begin{tabular}{|r||c|c|c|c|c|}
\hline
&\textcolor{blue}{\boxed 1}&\textcolor{blue}{\boxed 6}&\textcolor{blue}{\boxed 8}&\textcolor{blue}{\boxed 6}&\textcolor{blue}{\boxed 3}\\
&(1)&(12)&(123)&(1234)&(12)(34)\\
\hline\hline
$\chi_{1}$&1&1&1&1&1\\
\hline
$\chi_\varepsilon$&1&-1&1&-1&1\\
\hline
$\chi_{s}$&3&1&0&-1&-1\\
\hline
$\chi_{\text{Hom}(V_s,V_\epsilon)}$&3&-1&0&1&-1\\
\hline
$\chi_5$&2&0&-1&0&2\\
\hline
\end{tabular}\]
\end{thm}
~\\
\begin{proof}
\begin{description}
\item[Classes de conjugaison]~\\
$\frak S_4$ possède 24 éléments repartis en 5\footnote{Donc il y aura 5 caractères irréductibles} classes de conjugaison \footnote{2 éléments de $\frak S_4$ sont conjugués ssi ils sont de même type}. En effet, il y a:
\begin{itemize}
\item Le neutre $(1)$ seul dans sa classe.
\item $\binom{4}{2}=6$ transpositions $(12)$
\item $2\times \binom{4}{3}=8$ 3-cycles $(123)$
\item $3\times2=6$ 4-cycles $(1234)$
\item $\frac12 \times \binom{4}{2}=3$ double transpositions\footnote{à supports disjoints!} $(12)(34)$
\end{itemize}
\item[Représentation triviale]~\\
Elle est de dimension 1 car elle va dans $\C$. On note son caractère $\chi_1$. Il vaut 1 tout le temps, on complète la première ligne.
\item[Représentation alternée]~\\
Elle est de dimension 1 car elle va dans $\C$ et correspond au morphisme de signature $\epsilon$. On note son caractère $\chi_\epsilon$. On complète la seconde ligne.
\item[Représentation standard]~\\
(p. 203) Regardons la représentation naturelle de $\frak S_4$ sur $\C^4$ obtenue par permutation des vecteurs de base. Le caractère associé $\chi_\text{p}$ est la trace d'une matrice de permutation, c'est-à-dire le nombre de 1 sur la diagonale. Autrement dit $\chi_\text{p}(\sigma)$ est le nombre de points fixes de $\sigma$. On a donc $\chi_\text{p}=[4,2,1,0,0]$\\
Cette représentation laisse $H_0=\text{Vect}\{(1,1,1,1)\}$ stable. On note $H_1$ le supplémentaire de $H_0$. On a $H_1=\{(x_1,\dots,x_4)\in \C^4~/~x_1+\dots+x_4=0\}$. \\
Sur $H_0$, la représentation par permutations est la représentation triviale. On pose $\rho_s=\rho_\text{p}|_{H_1}$ la représentation standard. Elle est dimension $3=4-1$. Il faut vérifier qu'elle est irréductible. Pour cela, on calcule son caractère: 
\[\chi_s=\chi_{\text{p}}-\chi_{1}=[3,1,0,-1,-1]\]
Le calcul nous donne
\[\langle \chi_s,\chi_s \rangle =\frac1{24}\bigg(1\times3^2+6\times1^2+8\times0^2+6\times(-1)^2+3\times(-1)^2\bigg)=1\]

$\chi_s$ est donc bien irréductible, on complète la troisième ligne.\\
\item[Les 2 dernières]~\\
On note $n_4$ et $n_5$ les degrés des 2 derniers caractères restants (on en a 3 et on sait qu'il y en a 5). Mais on sait que $\sum n_i^2=24$ donc $n_4^2+n_5^2=24-1^2-1^2-3^2=13$. Les seuls solutions possibles sont 3 et 2.
\begin{description}
\item[L'avant dernière]~\\
On va regarder la représentation de morphismes donné par les représentations standard et alternée. On pose $\chi_{\text{Hom}(V_s,V_\epsilon)}$. On sait que le caractère va être de degré $3\times1=3$. \\
Par propriétés, on sait que $\chi_{\text{Hom}(V_s,V_\epsilon)}=\chi_s \overline{\chi_\epsilon}=\chi_s \chi_\epsilon$. On calcule (4ème ligne), ce caractère est bien différent des autres et on peut faire le calcul pour voir que $\langle \chi_{\text{Hom}(V_s,V_\epsilon)}, \chi_{\text{Hom}(V_s,V_\epsilon)} \rangle=1$ ie la représentation est irréductible.
\item[La dernière]~\\
On sait que le degré du caractère va être 2. On peut donc compléter $\chi_5((1))=2$. On remplit ensuite le reste de la ligne par orthogonalité des colonnes. 
\end{description}
\end{description}
\end{proof}

\section*{Vision géométrique pour $\chi_{\text{Hom}(V_s,V_\epsilon)}$ (\textsc{Rauch} p.47)}

Une des réalisations de $\mathcal{S}_4$ est Isom$^+(C_6)$. Pour cela on fait agir le groupe $\mathcal{S}_4$ sur les 4 diagonales du cube. On va noter $\chi_\text{cube}$ cette représentation.\\
~\\
\begin{minipage}[c]{.46\linewidth}
 L'identité ... $$\chi_\text{cube}((1))=\tr(\text{Id})=3$$ \end{minipage} \hfill 
\begin{minipage}[c]{.46\linewidth}\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{.46\linewidth}
Une transposition s'identifie à un demi-tour (angle $\pm \pi$) autour de la médiatrice commune à deux arêtes symétriques par rapport au centre du cube.
$$\chi_\text{cube}((1))=1+2\cos(\pi)=-1$$ \end{minipage} \hfill 
\begin{minipage}[c]{.46\linewidth}
\includegraphics[scale=0.4]{images/transpo.jpg}\end{minipage}  
\begin{minipage}[c]{.46\linewidth}
Un 3-cycle est identifié à une rotation d'angle $\pm \frac{2\pi}{3}$ autour de l'une des 4 diagonales du cube.\\
$\chi_\text{cube}((123))=1+2\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=0$ \end{minipage} \hfill 
\begin{minipage}[c]{.46\linewidth}
 \includegraphics[scale=0.4]{images/3cycle.jpg}\end{minipage} 
\begin{minipage}[c]{.46\linewidth}
Un 4-cycle s'identifie à une rotation d'angle $\pm \frac{\pi}{2}$ autour de l'un des trois axes quaternaires du cube (axe passant par les centres de deux faces opposées)
$$\chi_\text{cube}((1234))=1+2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$$ 
\end{minipage} \hfill 
\begin{minipage}[c]{.46\linewidth}
\begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{images/cycle.jpg} \end{center}\end{minipage} 

\begin{minipage}[c]{.46\linewidth}
Une double transposition est identifiée à un demi-tour (angle $\pm \pi$) autour de l'un des trois axes quaternaires du cube (axe passant par les centres de deux faces opposées)
$$\chi_\text{cube}((12)(34))=1+2\cos(\pi)=-1$$
 \end{minipage} \hfill 
\begin{minipage}[c]{.46\linewidth}
\begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{images/doubletranspo.jpg} \end{center}\end{minipage} 

On obtient bien $\chi_\text{cube}=\chi_{\text{Hom}(V_s,V_\epsilon)}=[3,-1,0,1,-1]$.\\
On calcule $\langle \chi_\text{cube}, \chi_\text{cube} \rangle$ pour vérifier qu'elle est irréductible.


\vspace{2cm}

\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\
\checkmark ~\textbf{A l'oral}, on ne peut mettre pas en lemme le fait que 2 éléments sont conjugués ssi ils ont même type (trop long). On fait les classes de conjugaisons directement sur la table. On remplit la table au fur et à mesure. \\
\checkmark ~\textbf{Temps:} feutre 11'. $\Rightarrow$ pour rallonger: table de $\mathcal{S}_3$ (Rauch) ou dire vision géométrique
\end{document}