<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass{article}
\usepackage{titling}
\author{Laura \textsc{Gay} d'apr\`es Florian \textsc{Lemonnier}}
\include{preambule}
\usepackage{calc}
\newboxedtheorem{defi}{DÃ©finition}{}
\newboxedtheorem{prop}{Proposition}{compteur2}
\newboxedtheorem{lem}{Lemme}{}
\newboxedtheorem{coro}{Corollaire}{compteur3}
\newboxedtheorem{thm}{ThÃ©orÃ¨me}{compteur4}
\newboxedtheorem{exe}{Exemple}{}


\renewenvironment{proof}[1][]{ \small \underline{\bfseries \proofname #1 :} \begin{pushright} }{\hfill $\blacksquare$ \end{pushright}~\\}

\newcommand{\VP}{\text{vp}}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\begin{document}
\renewcommand{\proofname}{Preuve}

\begin{spacing}{2}
\setlength {\shadowsize }{2pt}
\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{15cm}
\centering     \begin{huge} 
\textsc{Valeur principale de $\frac{1}{x}$}\end{huge}
\end{minipage}} \end{center}\end{spacing}
~\\

\underline{RÃ©fÃ©rence :} \textsc{Zuily} : Elements de distributions et d'Ã©quations aux dÃ©rivÃ©es partielles (sur plusieurs pages)\\
\underline{LeÃ§ons :} 254,255.\\


\begin{defi}(p. 23) La fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ n'est pas localement intÃ©grable sur $\R$. Cependant, on peut quand mÃªme lui associer une distribution appelÃ©e valeur principale de $\frac{1}{x}$ et notÃ©e $\VP \frac{1}{x}$. On pose, pour $\phi \in \mathcal{C}_0^{\infty}(\R)={\mathcal D}({\mathbb R})$,
$$\langle\VP{1\over x},\phi\rangle=\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{\vert x\vert \geq \varepsilon} \frac{\phi(x)}{x} \drm x $$\end{defi}
{ \small On peut montrer que 
$$\langle\VP{1\over x},\phi\rangle=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{\vert x\vert \geq \varepsilon} {1\over x}\phi(x) dx= \int_{0}^{+\infty} {1\over x}(\phi(x)-\phi(-x)) dx ,~~~~\forall \phi\in{\mathcal D}({\mathbb R})$$}

\begin{prop}
$\VP{1\over x}$ est une distribution, d'ordre au plus 1.
\end{prop}
 ~\\
\begin{proof}[ (p. 23)]~\\
DÃ©jÃ&nbsp;, $\VP{1\over x}$ est clairement linÃ©aire.\\
Soit $K$ un compact de $\R$, $K \subset [-M,M]$. \\
Pour $\phi \in \mathcal{C}_0^{\infty}(\R)$, on a
$$\langle\VP{1\over x},\phi\rangle=\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{\varepsilon \leq \vert x\vert \leq M} \frac{\phi(x)}{x} \drm x $$
D'autre part, d'aprÃ¨s la formule de Taylor, on a
$$ \varphi(x) = \varphi(0) + \int_0^1{\frac{(1-t)^0}{0!} \varphi'(tx) x \, \drm t}
			              = \varphi(0) + x \int_0^1{\varphi'(tx) \, \drm t}$$
On pose $\psi(x)=\int_0^1 \phi'(tx) \drm t \in \mathcal{C}^{\infty}(\R)$ et $\abs{\psi(x)} \leq \sup_K \abs{\phi'}$.\\
On Ã©crit alors \[ \int_{\varepsilon \leq |x| \leq M}{\frac{\varphi(x)}{x} \, \drm x}
			   = \underbrace{\varphi(0) \int_{\varepsilon \leq |x| \leq M}{\frac{\drm x}{x}}}_{I_1}
				   + \underbrace{\int_{\varepsilon \leq |x| \leq M}{\psi(x) \, \drm x}}_{I_2} \]
D'une part, comme la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ est intÃ©grable sur $[\varepsilon,M]$ et impaire, $I_1 = 0$.\\
D'autre part, le thÃ©orÃ¨me de convergence dominÃ©e montre que $\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} I_2 =\int_{|x| \leq M}{\psi(x) \, \drm x}$.\\
Finalement, $\VP{1 \over x}=\int_{|x| \leq M}{\psi(x) \, \drm x} \leq C_m \sup_K \abs{\phi'}$.
\end{proof}

\begin{prop}
$\VP{1\over x}$ est exactement d'ordre 1.
\end{prop}
 ~\\
\begin{proof}[ (p. 23)]~\\
Supposons par l'absurde qu'elle soit d'ordre 0. Alors on aurait l'inÃ©galitÃ©: 
$$\VP{1 \over x} \leq C \sup_K \abs{\phi}$$
Pour $n \geq 1$, considÃ©rons la suite $(\phi_n) \subset \mathcal{C}_0^{\infty}(\R)$ telle que : 
			$\left\{ \begin{array}{l} 0 \leq \varphi_n \leq 1 \text{ sur } \R \\
			                          \varphi_n = 1 \text{ sur } \left[\frac{1}{n},1\right] \\
																\varphi_n = 0 \text{ sur } \left]-\infty,\frac{1}{2n}\right]\cup[2,+\infty[ \end{array} \right.$.\\
Il est facile de voir $\sup_\R\abs{\phi_n}=1$.\\
D'autre part, pour $\epsilon \leq \frac1{2n}$, on a 
\[ \int_{|x| \geq \varepsilon}{\frac{\varphi_n(x)}{x} \, \drm x}
			   = \int_{\frac{1}{2n}}^2{\frac{\varphi_n(x)}{x} \, \drm x}
				 \geq \int_{\frac{1}{n}}^1{\frac{1}{x} \, \drm x}
				 = \ln n \]
Donc 
$$\langle\VP{1\over x},\phi_n \rangle \geq \ln n$$ et on ne peut avoir une inÃ©galitÃ© du type de la premiÃ¨re.\\
Contradiction.
\end{proof}






\begin{prop} La distribution obtenue vÃ©rifie toutes les propriÃ©tÃ©s de la fonction $x\to{1\over x}$. Au sens des distributions, on a :
\begin{enumerate}
\item $x \VP{1\over x} =1$
\item $\left(\ln \abs{x} \right)'=\VP{1\over x}$
\end{enumerate}\end{prop}
~\\
\begin{proof}
~
\begin{enumerate}
\item (p. 36) 
$\forall \phi\in \mathcal{C}_0^{\infty}(\R)$
$$\langle x\VP{1\over x},\phi\rangle=\langle\VP{1\over x},x\phi\rangle=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{\vert x\vert \geq\varepsilon} \phi(x)\mathrm dx \overset{\footnotemark}{=} \int  \phi(x) \mathrm dx=\langle1,\phi\rangle$$
\item (p. 38) La fonction $f(x)=\ln \abs{x}$, pour $x \neq 0$, appartient Ã&nbsp; $L^1_{\T{loc}}(\R)$ donc est une distribution tempÃ©rÃ©e. \\
Soit $ \phi\in \mathcal{C}_0^{\infty}(\R)$, 
$$\langle f', \phi \rangle = -\langle f, \phi' \rangle =  \int_\R-\ln\abs{x}\phi'(x) \mathrm dx\overset{\footnotemark}{=}  -\lim_{\varepsilon\to 0^+} \underbrace{\int_{\vert x\vert \geq\varepsilon} \ln\abs{x}\phi'(x)\mathrm dx}_{I_{\varepsilon}}$$
On a:
			\begin{align*}
			I_\varepsilon &amp;= \int_{-\infty}^{-\varepsilon}{\ln(-x) \varphi'(x) \, \drm x} + \int_{\varepsilon}^{+\infty}{\ln(x) \varphi'(x) \, \drm x} \\
			              &amp;= [\ln(-x) \varphi(x)]_{-\infty}^{-\varepsilon} - \int_{-\infty}^{-\varepsilon}{\frac{\varphi(x)}{x} \, \drm x}
										   + [\ln(x) \varphi(x)]_{\varepsilon}^{+\infty} - \int_{\varepsilon}^{+\infty}{\frac{\varphi(x)}{x} \, \drm x} \\
										&amp;= \ln \varepsilon \varphi(-\varepsilon) - \int_{|x| \geq \varepsilon}{\frac{\varphi(x)}{x} \, \drm x} - \ln \varepsilon \varphi(\varepsilon)= [\varphi(-\varepsilon) - \varphi(\varepsilon)]\ln \varepsilon  - \int_{|x| \geq \varepsilon}{\frac{\varphi(x)}{x} \, \drm x}
			\end{align*}
On a, comme dans la preuve de la \textbf{Proposition 1}, $\phi(x)=\phi(0)+x\psi(x)$ avec $\psi$ continue. \\
Donc $\varphi(-\varepsilon) - \varphi(\varepsilon)=-\varepsilon (\psi(-\varepsilon)+\psi(\varepsilon))$. D'oÃ¹:
$$I_\varepsilon = -\varepsilon \ln \varepsilon [\psi(-\varepsilon)+\psi(\varepsilon)]  - \int_{|x| \geq \varepsilon}{\frac{\varphi(x)}{x} \, \drm x} \underset{\varepsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow} - \left \langle \VP \frac{1}{x}, \varphi \right\rangle$$
			D'oÃ¹ $\langle f',\varphi \rangle = \left\langle \VP \frac{1}{x}, \varphi \right\rangle$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\footnotetext{{convergence dominÃ©e cachÃ©e ici}}
\footnotetext{idem}

{ \small Remarque : le support de la distribution $\VP \frac{1}{x}$ contient celui de la fonction constante et Ã©gale Ã&nbsp; $1$, autrement dit $\R$.\\}

\begin{prop}
$\VP \frac{1}{x}$ est tempÃ©rÃ©e.
\end{prop}
~\\
\begin{proof}[ (p. 117)]~\\
Soit $\varphi \in \mathcal S(\R)$.\\
			On a : $\int_{|x| \geq \varepsilon}{\frac{\varphi(x)}{x} \, \drm x} = \int_{\varepsilon \leq |x| \leq 1}{\frac{\varphi(x)}{x} \, \drm x} + \int_{|x| \geq 1}{\frac{\varphi(x)}{x} \, \drm x}$.\\
			Idem que prÃ©cÃ©demment, $\phi(x)=\phi(0)+x\psi(x)$ avec $\psi$ continue et $\abs{\psi(x)} \leq \sup_\R \abs{\phi'}$.\\
			Or $x \mapsto \dfrac{\varphi(0)}{x}$ Ã©tant intÃ©grable sur $[\varepsilon,1]$ et impaire : 
			$\int_{\varepsilon \leq |x| \leq 1}{\frac{\varphi(0)}{x} \, \drm x} = 0$.\\
			Ainsi :
			$$\int_{|x| \geq \varepsilon}{\frac{\varphi(x)}{x} \, \drm x} = \int_{\varepsilon \leq |x| \leq 1}{\psi(x) \, \drm x} + \int_{|x| \geq 1}{\frac{\varphi(x)}{x} \, \drm x}$$
			Or, par convergence dominÃ©e, on obtient : 
			\[ \left\langle \VP \frac{1}{x},\varphi\right\rangle = \int_{|x| \leq 1}{\psi(x) \, \drm x} + \int_{|x| \geq 1}{\frac{\varphi(x)}{x} \, \drm x} \]
			Et on en dÃ©duit alors :
			\[ \left| \left\langle \VP \frac{1}{x}, \varphi \right\rangle \right| 
			     \leq 2 \sup_\R \abs{\phi'} + \left ( \int_{|x| \geq 1}{\frac{\drm x}{x^2}} \right) \sup_{x \in \R} \abs{x \varphi(x)}\]
			Ce qui montre que $\VP \frac{1}{x}$ est tempÃ©rÃ©e.
\end{proof}

\begin{prop}
On pose $T= \VP \frac{1}{x}$. Alors $\hat T = -\irm H + \frac{\irm}{2}$ oÃ¹ $H= \ind_{\R^+}$ est la fonction de Heaviside (NB: $H'=\delta_0$).
\end{prop}
~\\
\begin{proof}[ (p. 117)]~\\
Attention aux conventions...\\
ne pas le faire. Si vous avez envie, regardez Flo\end{proof}




\vspace{2cm}

\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\
\checkmark ~\textbf{A l'oral}, on fait ce qui nous arrange selon le temps et la leÃ§on. Prop 1 2 3 +rq =13'12 en lent. Prop 1 2 4 = 12'24 en lent.\\
\checkmark ~Son support singulier est ${\rm supp_{sing}}(\VP{1\over x})=\{0\}$.\\
\checkmark ~On peut Ã©galement montrer que $\hat H = -\frac{\irm}{2}\VP (\frac{1}{x})+\frac{\delta_0}{2}$.\\
\checkmark ~Pour finir le terme ``valeur principale"   est considÃ©rÃ© comme mal adaptÃ© pour dÃ©signer une distribution car faisant rÃ©fÃ©rence Ã&nbsp; la ``valeur principale de Cauchy" qui dÃ©signe la valeur qu'on peut assigner Ã&nbsp; une intÃ©grale impropre. Certains prÃ©fÃ¨rent parler de ``pseudo-fonction"  (notÃ©e P.F. au lieu de V.P.)  ce qui peut Ãªtre confondu avec la notion de ``partie finie" d'une intÃ©grale impropre ....\\



\end{document}</pre></body></html>