\documentclass{article}
\usepackage{titling}
\author{Laura \textsc{Gay}}
\include{preambule}

\newboxedtheorem{defi}{Contexte}{}
\newboxedtheorem{prop}{Proposition}{}
\newboxedtheorem{lem}{Lemme}{}
\newboxedtheorem{cor}{Corollaire}{}
\newboxedtheorem{thm}{Théorème}{compteur4}
\newboxedtheorem{appli}{Application}{compteur5}
\allowdisplaybreaks


\renewenvironment{proof}[1][]{ {\underline{\bfseries \proofname #1 :}\\ }}{}

\begin{document}
\renewcommand{\proofname}{Preuve}
\newcommand{\ZZ}{\Z}
\newcommand{\CC}{\C}
\newcommand{\NN}{\N}
\renewcommand{\le}{\leqslant}
\newcommand{\nvec}[1]{\norm{\overrightarrow{#1}}}
\newcommand{\avec}[2]{\widehat{\left(\overrightarrow{#1},\overrightarrow{#2} \right)}}

\begin{spacing}{2}
\setlength {\shadowsize }{2pt}
\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{15cm}
\centering     \begin{huge} 
\textsc{Ellipse, Cercles de Chasles, Diamètres conjugués}\end{huge}
\end{minipage}} \end{center}\end{spacing}
~\\



\underline{Référence :} \textsc{Trignan} :  La géométrie des nombres complexes p.187 et \textsc{Monier}: Géométrie MPSI p.119 pour le Lemme\\

\includegraphics[scale=0.9]{images/dessin.png}

\begin{defi}
Soient $a$,$b$ et $c$ positifs. On considère l'ellipse  $(E)$ de foyer $F(c;0)$ et $F'(-c;0)$ définie dans un repère orthonormal par l'équation
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
et on a $a^2=b^2+c^2$. \\
A tout point $M$ d'affixe $z=x+ \irm y$ de l'ellipse $(E)$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'=x'+ \irm y'$ tel que $$z^2+z'^2=c^2$$
On définit enfin\footnotemark $P$ d'affixe $u=z+ \irm z'$ et $P'$ d'affixe $u'=z- \irm z'$ (dépendent de $M$).
\end{defi}
\footnotetext{On peut noter d'ores et déjà que $M$, $P$ et $P'$ sont alignés. En effet, $\avec{P'M,MP}=\arg\left(\frac{z-u'}{u-z}\right)=\arg (1)=0 $}
~\\
\begin{lem}
Propriété classique des ellipses: $MF+MF'=2a$.
\end{lem}
~\\
\begin{proof}
Traduisons la propriété voulue en terme de nombres complexes: $\abs{z+c}+\abs{z-c}=2a$ autrement dit 
$$\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a$$
ou encore
$$(x+c)^2+y^2+2\sqrt{(x+c)^2+y^2}\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2=4a^2$$
On a: 
\begin{align*}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1~~&\Leftrightarrow b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2\\
&\Leftrightarrow (a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)\text{~~et~~}x^2\leq a^2\text{~~et~~}y^2\leq b^2\\
&\Leftrightarrow -a^2(x^2+y^2+c^2)+a^4=-c^2x^2\text{~~et~~}x^2+y^2\leq a^2+b^2=2a^2-c^2\\
&\Leftrightarrow -4a^2(x^2+y^2+c^2)+4a^4=-4c^2x^2\text{~~et~~}2a^2-c^2-x^2-y^2\geq 0\\
&\Leftrightarrow \left(x^2+y^2+c^2\right)^2-4a^2(x^2+y^2+c^2)+4a^4=\left(x^2+y^2+c^2\right)^2-4c^2x^2\text{~~et~~}2a^2-c^2-x^2-y^2\geq 0\\
&\Leftrightarrow \left(x^2+y^2+c^2-2a^2\right)^2=\left(x^2+y^2+c^2+2cx\right)\left(x^2+y^2+c^2-2cx\right)\text{~~et~~}2a^2-c^2-x^2-y^2\geq 0\\
&\Leftrightarrow x^2+y^2+c^2-2a^2=-\sqrt{\left((x+c)^2+y^2\right)\left((x-c)^2+y^2\right)}\\
&\Leftrightarrow \underbrace{2x^2+2c^2}_{(x-c)^2+(x+c)^2}+2y^2-4a^2=-2\sqrt{\left((x+c)^2+y^2\right)\left((x-c)^2+y^2\right)} 
\end{align*} \hfill $\blacksquare$
\end{proof}
~\\
\begin{prop}[Pour la construction]
\begin{enumerate}
\item On a $\nvec{OM'}^2=\nvec{MF}\nvec{MF'}$.
\item La droite $(OM')$ est orthogonale à la bissectrice $[MN)$ des demi-droites $[MF)$ et $[MF')$.
\end{enumerate}
\end{prop}
~\\
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item (question 1a) On a $z'^2=c^2-z^2=(c-z)(c+z)~~~(\star)$. En module, cela donne: $\abs{z'^2}=\abs{c-z}\abs{c+z}$.\\
Géométriquement $\nvec{OM'}^2=\norm{\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OF'}}\norm{\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OF}}$ d'où la relation souhaitée.
\item (question 1b) On veut vérifier que $\avec{MN}{OM'}=\frac{\pi}{2}~[\pi]$ ie $\avec{Ox}{OM'}-\avec{Ox}{MN}=\frac{\pi}{2}~[\pi]$. \\
La bissectrice\footnote{Attention, toujours regarder si on parle modulo $\pi$ ou $2\pi$.} $[MN)$ vérifie $\avec{Ox}{MN}=\frac12 \left[  \avec{Ox}{MF'}+\avec{Ox}{MF} \right]~[\pi]$. \\
On passe $(\star)$ à l'argument: $2\arg (z')=\arg (c-z) +\arg(c+z)~[2\pi]$. Ce qui donne en terme d'angle
\begin{align*}
2\avec{Ox}{OM'} 
&=\avec{Ox}{F'M}+\avec{Ox}{MF}~[2\pi]\\
&=\avec{Ox}{MF'}+\avec{Ox}{MF}+\pi~[2\pi]
\end{align*}
Donc 
$$\avec{Ox}{OM'} =\frac12 \left[\avec{Ox}{MF'}+\avec{Ox}{MF}\right]+\frac{\pi}{2}~[\pi] $$
D'où le résultat. \hfill $\blacksquare$
\end{enumerate}
\end{proof}
~\\
\begin{prop}
\begin{enumerate}
\item On a $\abs{uu'}=c^2$ et $\abs{u}+\abs{u'}=2a$.
\item L'ensemble des points $P$ et l'ensemble des points $P'$ quand $M$ décrit l'ellipse $(E)$ forment deux cercles appelés cercles de Chasles de l'ellipse.
\end{enumerate}
\end{prop}
~\\
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item (questions 2 et 3) Le premier point est facile car $uu'=(z+\irm z')(z-\irm z')=z^2+z'^2=c^2$.\\
Pour la deuxième égalité, on calcule:
$\abs{u}^2=u\bar{u}=(z+ \irm z')(\bar{z}-\irm \bar{z'})=\abs{z}^2-\irm z \bar{z'}+\irm z'\bar{z}+\abs{z'}^2$\\
$\abs{u'}^2=u'\bar{u'}=(a- \irm z')(\bar{z}+\irm \bar{z'})=\abs{z}^2+\irm z \bar{z'}-\irm z'\bar{z}+\abs{z'}^2$\\
Donc, à l'aide du premier point on obtient: $(\abs{u}+\abs{u')}^2=2\abs{z}^2+2\abs{z'}^2+2c^2$.\\
De plus\footnote{La suite d'équations qui suit ici peut également s'écrire avec $z'$ car $z^2+z'^2=c^2$ est symétrique en $z$ et $z'$. Ainsi, on obtient que $\left( \abs{z'+c}+\abs{z'-c} \right)^2=2\left(\abs{z}^2+\abs{z'}^2+c^2 \right)=\left( \abs{z+c}+\abs{z-c} \right)^2$. Puis comme ce sont des nombres positifs, on obtient avec le \textbf{Lemme} que $ \abs{z'+c}+\abs{z'-c}=\abs{z+c}+\abs{z-c}=2a$ ce qui traduit l'appartenance de $M'$ à l'ellipse (utile pour placer $M'$).}
\begin{align*}
\left( \abs{z+c}+\abs{z-c} \right)^2
&=\abs{z+c}^2+2\abs{(z+c)(z-c)}+\abs{z-c}^2\\
&=(z+c)(\bar{z}+\underbrace{\bar{c}}_{=c})+2\abs{z^2-c^2}+(z-c)(\bar{z}-\underbrace{\bar{c}}_{=c})\\
&=\abs{z}^2+c^2+c(z+\bar{z})+2\abs{z'}^2+\abs{z}^2+c^2-c(z+\bar{z})\\
&=2\left(\abs{z}^2+\abs{z'}^2+c^2 \right)
\end{align*}
Donc finalement $(\abs{u}+\abs{u'})^2=\left(\abs{z+c}+\abs{z-c} \right)^2$. Et comme ce sont des nombres positifs, on conclut\footnote{On a en fait montré géométriquement que $\nvec{MF}+\nvec{MF'}=\nvec{OP}+\nvec{OP'}$.} avec le \textbf{Lemme}
$$\abs{u}+\abs{u'}=\abs{z+c}+\abs{z-c}=2a$$
\item Calculons $\nvec{OP}$ et $\nvec{OP'}$.\\
Avec la question précédente, on a 
$$(\abs{u}-\abs{u'})^2=(\abs{u}+\abs{u'})^2-4\abs{u}\abs{u'}=4a^2-4c^2=4b^2$$
Donc \begin{align*}
  \begin{cases}
\abs{u}+\abs{u'}&=2a\\
\abs{u}-\abs{u'}&=\pm 2b
  \end{cases}
\end{align*}
Quitte à échanger $P$ et $P'$, on peut supposer $\nvec{OP}=\abs{u}=a+b$ et $\nvec{OP'}=\abs{u'}=a-b$. Donc leur norme est constante (ne dépend pas de $M$) donc les cercles de Chasles de l'ellipse sont les deux cercles de centre $O$ et de rayon respectifs $a+b$ et $a-b$.  \hfill $\blacksquare$
\end{enumerate}
\end{proof}
~\\
\begin{cor}[Diamètres conjugués - bizarre ne ressemble pas à ce qu'il y a sur internet]
$OM$ et $OM'$ sont les diamètres conjugués de l'ellipse: $\nvec{OM}^2+\nvec{OM'}^2=a^2+b^2$.
\end{cor}
~\\
\begin{proof}
On identifie parties réelle et imaginaire dans $z^2+z'^2=c^2$:
\begin{align}
  \begin{cases}
x^2+x'^2-y^2-y'^2&=c^2\\
xy+x'y'=0  \end{cases}
\end{align}
Mais on a que $M\in (E)$ et on a montré que $M' \in (E)$ aussi. Donc $y^2=b^2-\frac{b^2}{a^2}x^2$ et $y'^2=b^2-\frac{b^2}{a^2}x'^2$.\\
On remplace dans notre première équation:
$$(x^2+x'^2)\left(1+\frac{b^2}{a^2}\right)=c^2+2b^2=a^2+b^2$$
Donc on obtient:
\begin{align*}
  \begin{cases}
x^2+x'^2=a^2\\
y^2+y'^2=b^2 \end{cases}
\end{align*}
Et le résultat en découle immédiatement
$$\nvec{OM}^2+\nvec{OM'}^2=(x^2+y^2)+(x'^2+y'^2)=a^2+b^2$$
\hfill $\blacksquare$
\end{proof}

\hrulefill \\
~\\
\underline{Notes:}\\
~\\
\checkmark ~\textbf{A l'oral}, pas envie de faire le \textbf{Lemme} qui est juste astucieux. Voir si le temps de faire les diamètres conjugués ? Peut-être montrer le truc de la bissectrice pour la construction. C'est joli et ça fait des arguments. 8'30 pour contexte + la proposition et 3'24 pour diamètres conjugués.\\
$\clubsuit$ Michel \textsc{Chasles} (1793-1880) est un mathématicien français. On lui doit d'importants travaux en géométrie projective, où il montra toute la richesse de la notion de rapport anharmonique, ainsi qu'en analyse harmonique, avec la représentation de certains potentiels.


\end{document}