Agrégation

J'ai préparé l'agrégation externe de mathématiques lors de l'année scolaire 2022-2023 en option B (calcul scientifique). J'ai regroupé ici quelques documents (et autres) rédigés durant cette année.
Autres pages que je recommande : Geoffrey Deperle, Matteo Miannay, Samuel Chan-Ashing.

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Plan

J'ai regroupé dans ces documents mes métaplans d'algèbre et d'analyse, ainsi que les références utilisées. Les leçons écrites en rouge sont mes impasses.

• Algèbre
• Analyse

Développement

Vous pouvez trouver ci-dessous tous mes développements. Ils sont à adapter selon vos préférences. J'ai essayé pour la plupart de commenter les preuves ainsi que d'en donner des généralisations et/ou des applications. Attention, certains contiennent très certainement des erreurs.

Développement d'analyse

• Inversion de Fourier dans \(L^1\)
• Méthode de la puissance itérée
• Point fixe de Brouwer
• Polynômes d'approximation de Bernstein
• Résolution de \(-u''+u=f\) sur le cercle
• Théorème de Stone Weierstrass
• Théorème d'Hadamard-Lévy
• Critère de compacité forte dans les \(L^p\)
• Expression des \(\zeta (2k) \)
• Indécomposabilité de la loi de Poisson
• Inégalité de Hadamard
• Méthode de la phase stationnaire
• Nombre de zéros d'une équation différentielle
• Optimisation dans un Hilbert
• Prolongement de la fonction \( \Gamma \)
• Ruine du joueur
• Système de Lotka-Volterra
• Théorème de Lax-Milgram et résolution d'une EDP
• Théorème de Plancherel
• Théorème de réarrangement de Riemann
• Théorèmes de Banach

Développement d'algèbre

• Algorithme de Berlekamp
• \( \mathbb{C} \) est algébriquement clos, preuve par la réduction
• Convergence d'une suite de polygones
• Décomposition de Bruhat
• Décomposition de Fitting, cardinal du cône nilpotent
• Ellipsoïde de John-Loewner
• Étude de \(O(p,q)\)
• Forme normale de Smith
• Homéomorphisme de l'exponentielle
• Loi de réciprocité quadratique par les formes quadratiques
• Matrices diagonisables de \( \mathcal{M}_n ( \mathbb{F}_q ) \)
• Polynômes cyclotomiques
• Polynômes irréductibles de \( \mathbb{F}_q [X] \)
• Réduction de Jordan par dualité
• Réduction des endomorphismes normaux
• Représentations de nombres premiers sous la forme \( p=x^2+3y^2 \)
• Simplicité de \( \mathcal{A}_n \) pour \( n \neq 5 \)
• Structure des groupes abéliens finis
• Théorème de Frobenius Zolotarev

Python

Voici quelques fichiers Pyzo résumant l'essentiel du programme d'informatique de l'option B (il manque sans doute certaines choses).

• EDO
• Systèmes linéaires
• Résolutions d'équations non linéaires
• Intégration numérique
• Équation des ondes
• Équation de transport
• Équation de la chaleur
• Série de Fourier

Recasage

Voici le tableur excel que j'utilisais pour gérer mes recasages.

• Fichier vierge
• Fichier rempli