Page personnelle de Fabrice GRELA

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Agrégation

Vous trouverez dans cette rubrique des documents rédigés pour l'agrégation durant l'année 2016-2017: les métaplans des leçons, la liste des couplages, la bibliographie, mon mémoire de M2, des développements et quelques programmes classiques (en Scilab) pour l'option de modélisation (Option A).

Durant la préparation au concours, j'ai beaucoup travaillé avec Léo et Antoine (un grand merci à vous 2 !) et je vous invite à visiter leur page personnelle.

Attention, certains de mes choix pour les couplages ou les métaplans sont très discutables et il y'a sans doute des erreurs et des fautes de frappe dans ces documents...

Bon courage !

Métaplans des leçons

Mes métaplans d'algèbre.

Mes métaplans d'analyse.

Mon mémoire de M2 sur la leçon 223.

Ma bibliographie.

Développements d'analyse et d'algèbre:

Mes développements (la liste des développements et des couplages).

Les développements d'analyse:

Théorème de Weierestrass par les polynômes de Bernstein.
Densité des polynômes orthogonaux.
Théorème de Féjèr.
Théorème de Cauchy-Lipschitz global.
Théorème de Littlewood.
Méthode de Newton.
Théorème central limite.
Etude d'un maximum de vraisemblance.
Equation de la chaleur.
Processus de Galton-Watson.
La fonction caractéristique caractérise la loi d'une variable aléatoire et formules d'inversion.
Calculs de transformées de Fourier.
Théorème de Banach-Alaoglu et optimisation.
Nombre de zéros des solutions d'une équation différentielle.

Les développements d'algèbre:

Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq).
Théorème des deux carrés.
Polynômes cyclotomiques.
Critère de nilpotence de Cartan.
Réduction de Frobénius.
Isométrie du tétraèdre et du cube.
Polynômes irréductibles de Fq.
Sous-groupes distingués et caractères.
Table des caractères de S4.
Théorème de Carathéodory et système diophantien.
Théorème de Kronecker.
Homéomorphisme entre Hn et Hn++.
Déterminant circulant et transformée de Fourier.
Générateurs du groupe linéaire et application.
Classification des groupes abéliens finis.
Enveloppe convexe de On(R).

Les développements mixtes:

Lemme de Morse.
Surjectivité de l'exponentielle.
Composantes connexes de l'ensemble des formes quadratiques non-dégénérées.
Théorème des extrema liés et application.

Modélisation (option A: Probabilités et Statistiques):

Voici quelques programmes Scilab assez généraux qui vous permettront d'illustrer des résultats classiques pour un grand nombre de sujets. Ces fichiers sont des .sce à ouvrir directement sur Scilab.

Méthode de Monte-Carlo: calcul approché d'une intégrale, illustration graphique de la méthode.

Histogramme et convergence en loi: illustrer un TCL ou une convergence en loi.

Chaînes de Markov: tracer des trajectoires via une matrice de transitions, via des propriétés de récurrence et de transience; déterminer graphiquement des probabilités d'absorption et des temps d'absorption; calcul numérique de la mesure invariante, illustration de la convergence en loi vers la mesure invariante.

Tests statistiques: réaliser numériquement le test du chi-deux d'adéquation, d'indépendance et le test de Kolmogorov-Smirnof.

Estimateurs: illustrer des propriétés des estimateurs (consistance, normalité asymptotique, convergence en loi).

Intervalles de confiance: tracer des intervalles de confiance exact et asymptotique.

Stages de recherche

Vous trouverez dans cette rubrique les rapports des stages d'initiation à la recherche effectués lors de mes deux premières années à l'ENS de Rennes ainsi que le rapport de lecture dirigée fait en première année et celui du séminaire de master 2. J'ai également mis les beamers qui m'ont servi de support lors des soutenances.

Attention ! Il y'a sans doute des erreurs et des imprécisions dans ces documents...

Stage de Master 2 Recherche (2018):

Titre: Tests multiples sur un continuum d'hypothèses.

Lieu: Université Rennes 2.
Encadrants: Magalie FROMONT et Ronan LE GUEVEL.

Les problèmes de tests multiples interviennent lors de l'analyse d'un grand nombre de données. On utilise les tests multiples lorsque l'on souhaite savoir quels paramètres agissant sur nos données ont un rôle significatif dans nos observations. Dans ce stage, nous avons vu ce qu'est une procédure de tests multiples d'un nombre fini d'hypothèses. Nous avons aussi défini des erreurs de première espèce usuelles pour les tests multiples (la FWER et la FDR) et énoncé plusieurs résultats qui assurent le contrôle de ces erreurs. Nous avons étudié ces notions à travers différentes procédures (Bonferonni, Benjamini Hochberg...) et des problèmes de tests classiques (tests gaussiens) sous différents cadres théoriques (condition de dépendance entre les p-valeurs...). Un autre objectif du stage a été de comprendre le critère du Family-Wise Separation Rate qui défini une notion d'optimalité au sens du minimax pour les tests multiples. Enfin, nous avons vu comment définir des tests multiples sur un continuum d'hypothèses, autrement dit, d'une infinité non dénombrable d'hypothèses. Nous avons aussi vu comment généraliser au cas continu la définition de FDR: cette généralisation impose des contraintes de mesurabilité illustrées à travers des exemples et des contre-exemples.

Rapport de stage.

Séminaire de Master 2 (2018):

Titre: Test adaptatif d'homogénéité d'un processus de Poisson.

Lieu: Université de Rennes 1.
Encadrant: Ronan LE GUEVEL.

Les processus de Poisson permettent, entre autres, de modéliser le nombre d'occurences de motifs dans un brin d'ADN. L'enjeu est alors de détecter des anomalies afin, par exemple, de prévenir une maladie. A partir de l'observation d'un processus de Poisson sur un intervalle de temps fini [0,1], l'objectif de ce séminaire est de construire un test non-paramétrique et non-asymptotique d'homogénéité du processus via une méthode de sélection de modèles. On montre aussi que la procédure de test considérée est adaptative, c'est-à-dire qu'elle atteint, dans certains cas, les vitesses de séparation minimax sur différentes classes d'alternatives simultanément (Besov bodie classique et faible).

Rapport et beamer.

Stage de M1 (2016):

Titre: Introduction aux processus d'exclusion.

Lieu: Université de Lyon 1
Maître de stage: Christophe POQUET.

Un processus d'exclusion est un modèle très étudié en physique statistique hors équilibre. Il décrit l'évolution d'une infinité de particules indistinguables qui interagissent entre-elles selon une dynamique stochastique sur l'ensemble des sites d'un réseau. L'objectif de ce stage est de comprendre la construction rigoureuse d'un tel processus afin de démontrer certaines de ses propriétés.

Rapport de stage et beamer .

Stage de L3 (2015):

Sujet: Etudes mathématiques de modèles de croissance de tumeurs cérébrales.

Lieu: ENS de Lyon.
Maître de stage: Emmanuel GRENIER.

La modélisation mathématique, couplée avec les connaissances médicales, permet d'appréhender les mécanismes macroscopiques
et microscopiques mis en jeu dans le développement de la maladie. Ce stage avait pour but d'étudier des modèles pouvant faire l'objet
de simulations numériques (analyses d'imageries médicales, impacts d'un traitement...) et d'un modèle théorique plus abstrait issu de
la mécanique des fluides.

Rapport de stage et beamer .