Mes travaux de recherche


Vous trouverez sur cette page les divers documents que j'aurai rédigés ou utilisés dans le cadre de travaux de recherche.


- Thèse en mathématiques fondamentales (2018-2021) : Dilatations d'opérateurs et projections L^p.
Directeur : Catalin Badea. Université de Lille 1, Lille, France.
Cette thèse est constituée de 4 chapitres plus ou moins reliés, abordant des sujets de théorie des opérateurs.
Les deux premiers chapitres concernent les classes C_(rho_n) et C_A. Ce sont des classes d'opérateurs T sur un espace de Hilbert tels que toutes les puissances de T se "dilatent" en des multiples de U^n, pour U un opérateur unitaire. Ces classes sont deux généralisations différentes des classes C_(rho) de Nagy et Foias.
Le troisième chapitre fournit des résultats sur la similitude à une contraction pour des opérateurs algébriques (annulés par un polynôme), puis étudie des relations d'inclusions entre de multiples familles de projections, et apporte aussi quelques éléments au sujet des projections hermitiennes sur L^(2n).
Enfin, le dernier chapitre aborde les L^p-projections : les projections vérifiant un "théorème de Pythagore version L^p". On s'intéresse, dans le cadre d'un espace de Banach complexe X, aux liens entre l'ensemble des L^p-projections sur X et celui sur un sous-espace F, un quotient X/F, ou sur un sous-espace de quotient G/F.
Elle a été soutenue le 8 Mars 2021 à Lille.

- Article de recherche en mathématiques : L^p-projections on subspaces and quotients of Banach spaces.
Publié dans Advances in Operator Theory, 6, 38(2021).
Cet article traite des L^p-projections, ce sont les projections vérifiant un "théorème de Pythagore version L^p". On s'intéresse, dans le cadre d'un espace de Banach complexe X, aux liens entre l'ensemble des L^p-projections sur X et celui sur un sous-espace F ou sur un quotient X/F. Une relation d'orthogonalité, la p-orthogonalité, ainsi qu'une notion de L^p-projection maximale sont introduites pour aider dans cette étude.
- Article de recherche en mathématiques : Unitary skew-dilations of Hilbert space operators.
Publié dans Extracta Mathematicae, 2020, 35 (2).
Cet article traite des classes C_(rho_n). Ce sont des classes d'opérateurs T sur un espace de Hilbert tels que toutes les puissances de T se "dilatent" en des multiples de U^n, pour U un opérateur unitaire. Le paramètre (rho_n) est une suite de nombre complexes non-nuls qui constituent ces "multiples". Les classes C_(rho_n) sont une généralisation des classes C_(rho) de Nagy et Foias, pour rho>0, qui sont elles-même issues du théorème de dilatation de Nagy. On s'intéresse dans cet article à une étude fournie des classes C_(rho_n) pour caractériser ces classes et leurs propriétés, et afin de voir quels comportements des classes C_(rho) s'étendent sans soucis et quels comportements sont un cas particulier d'un phénomène plus varié. On introduit à cet effet le (rho_n)-rayon d'un opérateur, une quasi-norme aux multiples propriétés et dont la boule unité fermée est la classe C_(rho_n). De multiples exemples différant du cas C_(rho) sont traités, et plusieurs généralisations intéressantes de propriétés connues sont obtenues, entre autres dans le cas particulier où rho_n=rho avec rho complexe non-nul.
- Stage de recherche de Master 2 (2017-2018) : Calcul fonctionnel en théorie spectrale, applications à l'image numérique, et généralisations.
Encadrant : Catalin Badea. Université de Lille 1, Lille, France.
Ce stage était pleinement tourné vers l'analyse fonctionnelle. Il comprenait entre autres : des résultats comme un théorème du calcul fonctionnel analytique ou des théorèmes spectraux pour les opérateurs auto-adjoints/normaux/unitaires qui prolongent les cours d'analyse fonctionnelle de Master ; une introduction et une étude de l'image numérique, du rayon numérique, et des théorèmes qu'ils apportent ; une généralisation du rayon numérique et de la norme avec les rayons d'opérateurs ; quelques classes d'opérateurs en lien avec le rayon numérique et le rayon spectral ; l'étude de diverses conditions sur des opérateurs à puissances bornées. - Stage de recherche de Master 1 (2015-2016) : Opérateurs de composition pondérés dans les espaces de Hardy et de Bergman.
Encadrant : Gandalf Lechner. Université de Cardiff, Cardiff, Pays de Galles.
L'objectif de ce stage était de découvrir des espaces de fonctions holomorphes qui sont des espaces de Hilbert (les espaces de Hardy et de Bergman), d'en étudier certaines propriétés, puis de s'intéresser aux opérateurs de multiplication et de composition sur ces espaces (définition, continuité, norme, compacité,...).
Un petit détour par la théorie des Espaces de Hilbert à noyau de reproduction ainsi que sur les Nombres d'approximation d'un opérateur continu a été effectué afin de donner un contexte à certains résultats, voire à généraliser certaines propositions à toute une catégorie d'espaces. - Stage de recherche de Licence 3 (2014-2015) : Théorie de Galois.
Encadrant : Grégory Berhuy. Université Joseph Fourier, Grenoble.
L'objectif de ce stage était d'étudier les bases de la théorie de Galois, pour ensuite s'intéresser à divers sous-branchements comme la résolubilité par radicaux, la constructibilité de polygones réguliers, ou la théorie de Kummer.