Durant mes trois années de thèse, j'ai eu l'occasion d'organiser quelques séminaires locaux, d'un point de vue logistique, comme parfois d'un point de vue mathématique.
En marge du groupe de travail organisé par mon directeur de thèse (lien : Groupe de travail), j'ai proposé qu'on travaille sur un thème commun qu'on n'a pas encore pu exploiter dans nos anciens travaux. On s'intéresse à comprendre les chemins rugueux, concept qui revient encore très régulièrement dans les séminaires de calcul stochastique aujourd'hui. Les deux principales références sont classiques :
Date à fixer : Relèvement du mouvement brownien , présenté par Christophe Louckx.
Mardi 13 mai 2025 : Chemins rugueux et intégrales de Young , présenté par Charles-Philippe Diez.
La théorie exposée précédemment peut être étendue aux chemins aux \( p \)-variations bornées. On contruit une nouvelle intégrale, l'intégrale de Young, à partir du lemme de couture ( sewing lemma ). À partir de celle-ci, on contruit la notion de relèvement pour ce type de chemins, menant à la notion de \(p\)-chemins rugueux.
Lundi 2 mars 2025 : Signature d'un chemin à variations bornées : normes associées , présenté par J. Zurcher.
Notes disponibles On munit le groupe libre nilpotent d'une norme , définie ici sur un groupe, et non pas un espace vectoriel normé. Sous cette norme, dite de Carnot-Carathéodory, la signature se trouve être un isomorphisme entre les chemins à variations bornées à valeurs dans \( \mathbb{R}^d \) et leurs relèvements en signatures, c'est-à-dire des chemins à variations bornées à valeurs dans \( G^N (\mathbb{R}^d) \).
Lundi 24 février 2025 : Signature d'un chemin à variations bornées : algèbre de Lie , présenté par J. Zurcher.
Notes disponibles C'est le début à proprement parler de la notion de chemin rugueux qui se dessine dans cet exposé. À partir de l'équation différentielle \( y = V(y) \ \mathrm{d} x \), et d'un développement en itérant un schéma d'Euler, on devine que pour connaître \( y \), on doit connaître toutes les intégrales itérées de \( x \). La collection de ces intégrales itérées, prises au sens de Stieltjes, est nommée signature . Dans ce premier exposé, on étudie précisément l'image de la signature. C'est un sous-ensemble de l'algèbre tensorielle, on le nomme groupe libre nilpotent , noté \( G_N (\mathbb{R}^d) \).
Mardi 21 janvier 2025 : EDO associées à l'intégrale de Stieltjes , présenté par Eya Zougar.
Notes disponibles On considère un chemin \( x \in C^{1-\mathrm{var}} \), et l'équation différentielle suivante \( \mathrm{d} y = V(y) \mathrm{d}x \), où \( V : \mathbb{R}^e \longrightarrow \mathcal{L}(\mathbb{R}^d, \mathbb{R}^e) \) est lisse, et l'inconnue est \( y : [0, T] \longrightarrow \mathbb{R}^e \). Sous des hypothèses classiques sur \( V \), on établit des propriétés d'existence et d'unicité de la solution. On étudie enfin le flot d'une telle équation différentielle. Cette étude permet d'introduire dans la suite des exposés la notion d'équation différentielle rugueuse, centrale dans la théorie qu'on cherche à étudier.
Mardi 17 décembre 2024 : Intégrales de Stieltjes , présenté par Julie Gamain.
Notes disponibles . L'objet de base est un chemin \( x : [0, T] \longrightarrow \mathbb{R}^d \). On introduit la notion de chemins continus à variations bornées, noté \( C^{1-\mathrm{var}} ([0, T], \mathbb{R}^d) \). Alors, si \( y : [0, T] \longrightarrow \mathcal{L}(\mathbb{R}^d, \mathbb{R}^e) \) est continu, on peut définir l'intégrale de Stieltjes de \( y \) par rapport à \( x \), notée \( \int_0^T y_t \ \mathrm{d} x_t \in \mathbb{R}^e \). Cette intégrale est l'objet fondamental pour construire les premiers chemins rugueux. On établit des propriétés de continuité de cette intégrale.
Ce séminaire naît d'intéractions entre doctorants du bureau 12 sur des sujets souvent bien différents que ceux qui sont au centre de leur recherche. Avec le bureau 236, j'ai décidé de mettre en place de manière plus ou moins régulière un séminaire permettant aux doctorants de ces bureaux de s'exprimer sur des sujets parfois techniques à un public familier avec peu de personnes, dans un temps imparti beaucoup moins restrictif que le séminaire des doctorants classique.
Vendredi 16 mai 2025 : Modèle financier en temps discret : le modèle binomial. - Julie Gamain
Le rôle des acteurs financiers tels que les traders, les gestionnaires de portefeuilles est de réaliser des profits, à partir d’une mise de départ, en investissant sur des actifs financiers risqués côtés en Bourse.
Pour limiter les risques, les investisseurs peuvent acheter (ou vendre) des options d’achat (ou de vente) qu’on appelle couramment les call (ou put respectivement).
Cela leur permet de parier à la hausse ou à la baisse du prix d’un actif financier sur une échéance donnée.
Le rôle des mathématiques financières est alors de calculer le prix de ces options à un temps donné compris entre l’instant initial et l’échéance à
partir d’une modélisation du prix de l’actif.
Dans cet exposé, nous présenterons le plus simple modèle de marché financier en temps discret, à savoir le modèle binomial. Cela nous permettra de
donner le prix des produits dérivées et de fournir une stratégie de couverture.
Mercredi 13 novembre 2024 : Comment compter le nombre de tour Eulérien dans un graphe orienté ? - Théo Deturck
Notes disponibles. Dans cet exposé, on veut résoudre le problème suivant : Etant donné un graphe orienté, combien y a t'il de tour sur le graphe passant une seul
fois par chaque arête ? Après avoir expliciter des conditions nécessaires et suffisantes à l'existence d'un tel tour, je montre comment le problème peut
être ramené à un autre problème, celui de compter le nombre d'arbre orienté générateur du graphe, enraciné en un sommet donné. Ce problème est résolu par
une version orienté du théorème Matrice-Arbre, dont je ne ferais pas la preuve (c'est une simple récurrence en utilisant les outils dont je vais parler).
Je présenterai ensuite une application un peu surprenante à un autre problème de combinatoire.
Pendant tous le long de l'exposé, j'essayerai de vous faire sentir comment on peut s'attaquer à un tel problème de combinatoire,
quel réflexion peut nous permettre de le résoudre, plutôt que de donner directement les réponses.
Jeudi 4 juillet 2024 : Représentations continues des groupes compacts : théorème de Peter-Weyl et application aux groupes de Lie - Antonin Assoun
Le but de cet exposé est de présenter un théorème de structure des représentations continues de groupes compacts sur des espaces hilbertiens, le théorème de Peter-Weyl et de déduire de ce théorème deux corollaires : 1) tout groupe de Lie compact est un sous-groupe fermé de U(n) 2) tout groupe topologique compact est limite projective de groupes de Lie. Bien que les objets centraux soient des groupes, on s’attachera à montrer que les méthodes utilisées pour prouver ce genre de résultats sont essentiellement analytiques.
Dans une première partie on introduira les notions de théorie des groupes nécessaires à l’exposé : groupe topologique, groupe de Lie, mesure de Haar et changements de variable usuels associés, lemme de Schur et théorème de Maschke pour les représentations de groupes finis sur des espaces vectoriels de dimension finie.
Dans un second temps, on rappellera/introduira (avec plus ou moins de détails en fonction des envies de chacun et du temps que cela prendra) la théorie spectrale des opérateurs compact sur les espaces de Hilbert et le calcul fonctionnel continu.
Dans une troisième et dernière partie nous introduirons les représentations continues de groupes topologiques, et grâce aux outils d’analyse fonctionnelle nous prouverons le lemme de Schur pour les représentations de groupes « raisonnables» (manière plus agréable de dire groupe topologique localement compact unimodulaire dénombrable à l’infini) et finirons par la preuve du théorème de Peter-Weyl et des deux corollaires mentionnés ci-dessus. Le niveau de détail des preuves dépendra du temps restant et des envies de chacun (il s'agit essentiellement d'intégrer des fonctions bien choisies avec la mesure de Haar).
Références :
Principles of Harmonic analysis, Anton Deitmar et Siegfried Echterhoff (pour moi le meilleur bouquin sur l’analyse harmonique abstraite)
Poly de cours de Gabriel Dospinescu : http://perso.ens-lyon.fr/gabriel.dospinescu/cours%204.pdf (c’est quand même grâce à son cours de formes modulaires et formes automorphes que j’ai appris ce sujet, je rends à César ce qui est à César ou plutôt à Gabriel ce qui est à Gabriel)
Mardi 25 juin 2024 : Algèbres de Lie : représentations de \( \mathfrak{sl}_2 (\mathbb{C}) \) - Jérôme Milot
La théorie des algèbres de Lie est un vaste domaine étudié depuis la deuxième moitié du XIXe siècle. En particulier, sa théorie des représentations a trouvé de nombreuses applications, comme en physique pour l'étude des niveaux d'énergies d'une particule, et sa généralisation quantique est encore un domaine actif de recherche (si le temps et la motivation le permettent, nous irons un jour explorer les tréfonds de ce milieu dans des exposés ultérieurs).
L'objectif du présent exposé est d'offrir une première introduction aux algèbres de Lie, en prenant le temps de regarder moult exemples. Nous introduirons ensuite les notions de base de la théorie des représentations, en détaillant l'étude ad hoc de la mythique \( \mathfrak{sl}_2( \mathbb{C}) \).
Si la foule en délire le réclame, nous pourrons également prendre le temps de discuter de deux grandes familles d'algèbres de Lie : les résolubles et les semi-simples. Si non, celles-ci feront l'objet d'une future présentation au séminaire 1236.
Mercredi 12 juin 2024 : Martingales discrètes. - J. Zurcher
Notes disponibles. Je vous propose dans cet exposé de partir, comme d'habitude, par l'un des théorèmes préférés des probabilistes : la loi des grands nombres. Une des hypothèses primordiales est l'indépendance entre les variables. Et si on décidait d'abandonner ça ? On doit alors préciser comment les variables dépendent des autres. Une manière qui fonctionne pas mal est alors de partir de martingales. Nous allons donc introduire ce qu'est une espérance conditionnelle, qui permet de préciser en quelque sorte les dépendances. Il s'agit d'une notion d'approximation selon des informations connues. Après quelques exemples de calculs, on pourra alors définir une martingale, qui n'est rien d'autre qu'une suite d'approximation de variables aléatoires. Nous allons voir que sous des hypothèses pas trop lourdes (bornées par exemple), les martingales convergent. Nous conclurons sur une application sur un théorème d'analyse que j'aime beaucoup : le théorème de Rademacher pour les fonctions lipschitziennes.
Mercredi 29 mai 2024 : Dynamique de germes de biholomorphismes de \( \mathbb{C} \). - François Bacher
Pour étudier la dynamique d'une application holomorphe d'un ouvert de \( \mathbb{C} \) dans lui-même, il est souvent très utile de commencer par comprendre finement le comportement de cette application au voisinage d'un point périodique. Quitte à considérer une itérée, on se ramène à travailler au voisinage d'un point fixe. Le formalisme le plus souple pour l'étude au voisinage du point, sans trop se soucier de la taille du voisinage, est celui des germes. On cherche alors à classifier dynamiquement les germes d'applications holomorphes qui fixent 0, c'est-à-dire qu'on cherche à trouver un ensemble (de préférence restreint) de formes normales (de préférences simples) telles que toute application fixant 0 soit conjuguée à une forme normale. Nous discuterons dans cet exposé de formes normales pour des points fixes attractifs, répulsifs ou paraboliques, en démontrant les théorèmes de linéarisation de Koenigs et de la fleur de Leau-Fatou. Si l'essentiel de l'exposé se concentrera sur une étude au voisinage des points fixes, nous discuterons également de techniques qui permettent, par des applications dites développantes, de globaliser les formes normales obtenues sur tout un bassin d'attraction.
Mercredi 22 mai 2024 : Groupes et probabilités. - Théo Deturck
Considérons la situation suivante : Théo joue au Monopoly. A chaque tour, il lance son dé, et son personnage avance a une distance fixé. Mais Théo est quelqu'un qui se pose d'étranges questions. En regardant son personnage avancer, il se dit : "Tiens, je remarque que si je joue suffisamment longtemps, la probabilité que mon personnage se trouve sur une certaine case devrait se rapprocher de 1/40, 40 étant le nombre de case. Mais combien de lancers de dés me faut-il pour être vraiment très proche des 1/40 ?" Oui, Théo est un être tout à fait singulier. Dans cet exposé, je présenterai une variante de ce problème, et, en utilisant la théorie des groupes, je vais répondre à (un analogue de) la question de Théo dans le cadre de mon problème.
Jeudi 16 mai 2024 : Introduction à l'homologie simpliciale. - Matthew Cellot
L'homologie représente une des idées majeures qui ont traversé le XXe siècle mathématique. Elle est une méthode générale permettant d'associer
des objets algébriques (comme des groupes ou des modules) à d'autres objets mathématiques (comme des espaces topologiques, des variétés complexes,
des schémas...). La définition des groupes d'homologie est motivée par l'idée que l'on peut distinguer deux espaces topologiques en regardant leurs "trous".
Par exemple, un cercle se distingue d'un disque car le cercle est traversé par un trou alors que le disque est plein. De même, une sphère se distingue d'un
disque car une sphère "contient" un espace intérieur alors que le disque n'en contient pas.
Je présenterai une théorie homologique particulière, appelée homologie simpliciale, dans laquelle on considère des espaces topologiques appelés complexes
simpliciaux et on leur associe des groupes abéliens. Après avoir défini l'homologie simpliciale, nous verrons qu'elle est un invariant topologique et nous calculerons
les groupes d'homologie de certains espaces. S'il reste du temps, nous regarderons comment l'homologie permet de démontrer le théorème du point fixe de Brouwer.
Jeudi 7 mars 2024 : Théorie ergodique. - J. Zurcher
Notes disponibles. Parmi les différents moyens d'étudier un système dynamique, les probabilistes (et pas que !) aiment ceux qui font intervenir les mesures. En effet, l'un des théorèmes fondateurs de la théorie moderne des Probabilités est la loi des grands nombres. Il en existe pas mal de versions, mais l'idée est toujours la même : une moyenne empirique s'approche de la moyenne stochastique (a.k.a. l'espérance). La théorie ergodique, via les théorèmes ergodiques, peut être vue comme une tentative de généralisation de ce résultat en mesure infinie (la moyenne temporelle s'approche de la moyenne spatiale). Mais cela ne s'arrête pas là. Si les théorèmes ergodiques semblent être le résultat phare de cette théorie, il ne s'agit en fait que de son commencement... Dans cet exposé, je vous présenterai les enjeux de cette théorie, à travers mon prisme de probabiliste. Je vous présenterai le théorème de récurrence de Poincaré, véritable point de départ de la théorie ergodique, avant d'évoquer les théorèmes ergodiques, et seulement à la fin la notion même d'ergodicité, qui n'est en fait pas du tout nécessaire pour énoncer ces théorèmes. Quelques exemples, empruntés parfois des probas, pour essayer de comprendre les enjeux et quelques démonstrations pour voir comment on peut raisonner dans ce cadre-là. L'orateur est bien sûr obligé de faire quelques choix, et les plus connaisseurs de la théorie ergodique auront peut-être encore faim à la fin de cet alléchant exposé.
Jeudi 22 février 2024 : Algorithme de détection de collisions. - Ivan Doubovik
Dans le cadre des jeux vidéos (ou d'autres simulations) il est parfois souhaitable de savoir si oui ou non il y a une intersection entre deux formes et si oui comment la résoudre (replacer les objets pour qu'ils ne s'intersectent plus). On peut remarquer assez rapidement qu'il suffit de se restreindre aux formes convexes car on peut supposer que nos formes sont des unions finies d'ensembles convexes. Nous allons donc voir 2 algorithmes qui permettent de détecter et résoudre des collisions, et en un temps assez petit pour que cela puisse se faire en temps réel. Le sujet sera très accessible, le seul pré-requis étant de l’algèbre bilinéaire dans un espace vectoriel de dimension finie. Nous allons surtout passer du temps sur le point de vue mathématique même si quelques aspects informatiques seront abordés (ex: comment utiliser ces algorithmes de manière efficace?). Bien que facile à comprendre je pense que le sujet peut vous intéresser car contrairement à ce que l'on pourrait croire les algorithmes présentés seront élégants (du moins selon moi) et peu calculatoires dans le sens où il n'y aura peu voire pas de formules dégueulasses.
Mardi 30 janvier 2024 : Introduction à la théorie des espèces combinatoires et applications. - François Bacher
La théorie des espèces combinatoires permet d'interpréter un certain nombre d'opérations sur les séries génératrices exponentielles en opérations combinatoires. Nous présenterons brièvement cette théorie, ainsi que quelques applications, notamment l'une d'entre elle qui a marqué l'histoire du bureau 12. Il est "bien connu" des calculateurs de Malliavin que le produit de deux polynômes de Hermite se linéarise comme combinaison linéaire à coefficients entiers des mêmes polynômes de Hermite. Nous donnerons une interprétation de ces polynômes comme série génératrice des appariements sur un graphe et en déduirons une démonstration purement combinatoire de la formule de linéarisation.
Mercredi 20 décembre 2023 : Introduction à la théorie des catégories. - Antonin Assoun
Avec mon compère Christopher Langrenez, depuis septembre 2024, on organise sur une base presque d'un exposé par semaine le séminaire des doctorants. Le site associé avec tous les exposés est ici : Site du séminaire