Page personnelle de Maxime BOUCHEREAU
Sur cette page se trouvent divers documents qui ne sont pas en lien avec l'enseignement ou la recherche. Vous y trouverez beaucoup de simulations numériques.
Pour résoudre numériquement l'équation de transport ∂tu = c ∂xu, une méthode très connue consiste à utiliser la méthode des différences finies, qui utilise la discrétisation en temps puis en espace de l'EDP. Une fois l'opérateur ∂x discrétisé en espace, la résolution numérique de l'EDP s'apparente ainsi à la résolution numérique d'une EDO. Un premier schéma, inspiré de la méthode d'Euler Implicite, garantit la stbalilité, mais n'est que d'ordre 1 et temps et en espace, ce qui ne garantit pas une bonne erreur numérique (problème de diffusion numérique). Un second schéma, appelé schéma de Lax-Wendroff, corrige ce défaut car est d'ordre 2 en espace et en temps, mais nécéssite un peu plus de calculs.
Ainsi, nous proposons ici une méthode alternative au schéma de Lax-Wendroff, qui consiste à rechercher, pour une discrétisation en espace et en temps données, une matrice donnant le passage de la solution d'un temps t à un temps t+ht, à partir de solution exactes. Cette méthode s'inspire du Machine Learning (création de données, minimisation d'une fonction d'erreur) et permet d'éviter les calculs supplémentaires tout en réduisant le phénomène de diffusion numérique, et permet d'améliorer le schéma d'Euler Implicite (voire de concurrencer Lax-Wendroff pour des discrétisations grossières en espace). Le code Python suivant a permis de réaliser les simulations numériques.
Dans la vie courante, nous utilisons la base 10 afin d'y effectuer nos calculs. Cependant, cela n'a pas toujours été le cas. Les babyloniens utilisaient par exemple la base 60, tandis que les civilisations Mayas et Aztèques ont utilisé la base 20 et la base 12 a été largement utilisée avant la révolution (et continue plus ou moins de l'être au travers des calculs de durées). Enfin, les ordinateurs utilisent le système binaire, autrement dit, ils comptent en base 2. Ce code Python permet de donner les tables d'addition et de multiplication dans une base inférieure à 36 (limitée par les lettres de l'alphabet et les chiffres). Ci-dessous, les tables d'addition et de multiplication en base 12.
Diverses fractales ont été simulées par ordinateur.
Le flocon de Koch est une fractale construite à partir d'un triangle équilatéral auquel est ajouté au milieu de chaque côté un triangle équilatéral trois fois plus petit. On répète ce processus à chaque itération en diminuant de trois la taille des triangles ajoutés. Cette figure présente aussi la particularité d'avoir une longueur infinie tout en restant de surface finie. En effet, bien que bornée dans le plan, la longueur est multipliée par 4/3 à chaque itération, d'où une longueur infinie. Les itérations successives sont calculables via ce code Python.
L'éponge de Menger est une structure fractale construite via des itérations successives en suivant ce procédé: A l'étape 0, on considère un cube, que l'on subdivise en 27 petits cubes identiques. On supprime les 7 cubes ne rencontrant pas une arrête du cube initial, ne donnant que 20 cubes. A l'itération 1, on répète ce procédé sur les 20 cubes, donnant 400 petits cubes à la seconde itération, et on peut répéter le procédé jusqu'au nombre d'itérations souhaité.
Au fil des itérations, on peut voir que le cube initial se creuse. En effet, son volume est multiplié par 20/27 à chaque itération, pour au final donner une éponge de Menger ayant une mesure de Lebesgue nulle. Les itérations successives sont calculables via ce code Python. Du fait de la multiplication par 20 du nombre de cubes à traiter à chaque itération, la temps de calcul augmente considérablement à partir de seulement trois-quatre étapes de construction.
La courbe de Hilbert 3D est une version en trois dimensions de la courbe de Hilbert, c'est-à-dire qu'il s'agit d'une fonction f : [0,1] → [0,1] × [0,1] × [0,1] surjective, autrement dit, sa courbe représentative remplit tout le cube. Cette fonction peut s'approcher via une suite de fonctions comme on peut le voir par la suite.
Tout comme dans le cas 2D, au bout d'un nombre suffisant d'itérations, on peut voir que la courbe occupe de plus en plus de place et semble remplir le cube, ce qui au premier abord peut sembler surprenant, car une courbe n'a pas de volume, tandis qu'un cube en a un. Les itérations successives sont calculables via ce code Python.
La courbe de Hilbert est un exemple de courbe remplissante, c'est-à-dire qu'il s'agit d'une fonction f : [0,1] → [0,1] × [0,1] surjective, autrement dit, sa courbe représentative remplit tout le carré. Cette fonction peut s'approcher via une suite de fonctions comme on peut le voir par la suite.
Au bout d'un nombre suffisant d'itérations, on peut voir que la courbe occupe de plus en plus de place et semble recouvrir le carré, ce qui au premier abord peut sembler surprenant, car une courbe n'a pas de surface, tandis qu'un carré en a une. Les itérations successives sont calculables via ce code Python.
La méthode de Newton, mise au point il y a plusieurs siècles, est incontournable lorsque l'on veut approcher le zéro d'une fonction. L'idée est d'utiliser une suite récurrente qui va approcher ce zéro, tant que son premier terme reste assez proche de ce dernier. Toutefois, lorsqu'une fonction possède plusieurs zéros, le choix du premier terme de la suite est important, car une légère perturbation peut faire converger la suite vers deux zéros différents. On dit alors que ces deux premiers termes appartiennent à deux bassins d'attration différents. Il est tout-à-fait possible de visualiser les bassins d'attraction d'une fonction réelle, mais également complexe, donnant ainsi des fractales, que l'on appelle fractale de Newton. Ce premier code Python permet de tester la méthode de Newton et de mettre en évidence les bassins d'attraction sur une fonction polynomiale rélle, tandis que ce second code Python permet d'étendre la méthode et la mise en évidence des bassin d'attraction à des fonctions polynomiales complexes (holomorphes). Ce travail a fait l'objet d'une présentation lors des 5 Minutes Lebesgue (Centre Henri Lebesgue, Université de Rennes) le 16 Mai 2023, dont le support de présentation se trouve ici.
Ce code Python permet dans un premier temps la création d'un Labyrinthe. La méthode utilisée est l'algorithme de Kruskal, qui consiste à casser aléatoirement des murs jusqu'à ce que toutes les cases soient accessibles les unes aux autres. Des murs supplémentaires sont ensuite abattus afin de créer un Labyrinthe complexe (plusieurs chemins joignent l'entrée à la sortie). Dans un second temps, le code va résoudre le Labyrinthe, en le parcourant depuis la sortie et en notant la distance de chaque case à la sortie. Une fois l'entrée atteinte, il ne reste plus qu'à aller vers les cases de distance de plus en plus petite pour rejoindre la sortie.
Un automate cellulaire est une grille régulière de cellules qui peut prendre un nombre fini d'états ai cours du temps (on est en temps discret). Le changement d'état d'une cellule au temps suivant se fait en fonction de son état et de celui de cellules voisines. Un automate cellulaire élémentaire regarde l'état de cellules en une dimension d'espace, valant 0 ou 1, avec une dépendance de l'état suivant chaque cellule en fonction de son propre état et de celui de ses deux celulles voisines. Il en existe 256 différents. L'un d'entre eux, permet par exemple de modéliser la surface d'un cône (animal marin). Un autre permet de reconstituer le triangle de Sierpinski, une fractale très célèbre via ce code Python.
On modélise ici l'interpolation d'une courbe fermée du plan pouvant représenter une figure quelconque via une série de Fourier. Le nombre de paramètres peut se trouver réduit, ce qui allège le stockage. Ce code Python permet de modéliser une telle interpolation.
Ce programme permet de simuler des équations différentielles stochastiques. Un premier schéma utilisable est la méthode d'Euler Explicite, cependant, contrairement aux équations différentielles où ce schéma est d'ordre 1, l'ordre de convergence de cette méthode est ici d'ordre 1/2, ce qui impose l'ajout d'un terme correctif dans le schéma numérique, donnant le schéma de Milstein, d'ordre 1 cette fois. Le modèle simulé est le modèle de Black-Scholes, qui modélise de manière simple l'évolution du cours de la bourse.
Les illustrations représentent 100 simulations de l'EDS pour la première, et des courbes de convergence avec les deux schémas numériques proposés pour la seconde.
Les systèmes dynamiques à temps discret permettent, sous certaines conditions, de produire des suites de points modélisant différentes figures, voire certains éléments que l'on trouve dans la nature. C'est par exemple le cas de certains système dynamiques utilisant une itération aléatoire d'applications affines du plan, modélisant des fougères, appelées fougères de Barnsley (nommées en l'honneur du mathématicien britannique M.Barnsley qui les a développé). Ce programme Python permet le tracé de deux fougères. Il est possible de créér d'autres systèmes dynamiques de la même forme (tant que les applications affines mise en jeu restent contractantes).
Ce projet a été mené en coopération avec une étudiante de géologie dans le cadre de séances de soutien afin de modéliser divers phénomènes géologiques.
Ce projet présente la méthode des éléments finis de Lagrange en une dimension d'espace en introduisant le principe de cette méthode, puis l'équation de Poisson est étudiée. Des résultats de convergence sont ensuite démontrés et illustrés via des simulations numériques. Enfin, la méthode à pas adaptatif, qui permet de raffiner le maillage à un endroit précis, est abordée.
Voici les documents associés au projet: