J'ai suivi la préparation à l'agrégation externe de mathématiques de l'ENS Rennes et de l'Université de Rennes, puis j'ai été reçu au concours en 2026. Pour la modélisation, j'avais choisi l'option C : Algèbre et calcul formel. Je n'ai cependant pas rédigé beaucoup de documents sur ordinateur pendant l'année. Par conséquent (et aussi pour éviter la redondance !) je vous recommande vivement de consulter les pages de mes camarades listées plus bas, qui contiennent d'innombrables ressources : plans, développements, documents pour la modélisation, exercices, retours d'oraux, conseils pour la préparation...
Mes plans et développements
J'ai rédigé en binôme pendant l'année un plan pour la leçon 235 : Problèmes d'interversion de symboles en analyse. Le plan a été validé par un professeur et présenté devant la classe en fin d'année. J'ai d'ailleurs terminé l'année avec 40 développements. Vous pouvez cliquer sur les titres de chaque développement dans les détails ci-dessous pour consulter la page associée sur le site agreg-maths ! J'ai fait l'impasse sur les leçons 162, 220 et 221, elles n'apparaitront donc pas dans les listes.
Vous remarquerez que certaines leçons contiennent 3 propositions de développements au lieu de 2 dans les tableaux ci-dessous. Si c'est le cas, il est possible d'en choisir indifféremment 2 parmi les 3 à condition qu'ils traitent de thèmes mathématiques différents ! C'est valable pour toutes les configurations cela dit. Par exemple, on peut très bien choisir Théorème central limite avec Formule de Stirling par le théorème central limite, car le premier intervient une seule fois dans le second en tant que résultat extérieur. En revanche, il n'est pas raisonnable de présenter deux développements qui portent exclusivement sur la fonction Gamma dans une leçon d'analyse.
Développements d'algèbre (19) :
- Adhérence des matrices diagonalisables dans Mn(R) et Mn(C) (152, 156)
- Cyclicité de (Z/nZ)ˣ (104, 108, 120)
- Des isomorphismes exceptionnels des groupes linéaires projectifs de corps finis (101, 103, 105, 106, 190, 191)
- Décomposition de Jordan-Chevalley par la méthode de Newton (150, 156)
- Enveloppe convexe de O(n) (159, 161, 181)
- Formule d'inversion de Möbius et dénombrement des polynômes irréductibles sur les corps finis (123, 125, 141, 190)
- Isomorphisme entre Sp(1)/{-1, 1} et SO(3) par les quaternions (101, 127, 151, 161, 191)
- L'anneau Z[i] : une démonstration du théorème des deux carrés de Fermat (121, 122, 127)
- Loi d'inertie de Sylvester et classification des formes quadratiques réelles (148, 159, 170, 171)
- Loi de réciprocité quadratique par les formes quadratiques (123, 170, 190)
- Morphismes continus du cercle dans GLn(R) (102, 106, 152, 153, 155, 156)
- Par 5 points passe une conique (149, 171)
- Réduction des endomorphismes normaux (148, 150, 151, 152, 158)
- Simplicité du groupe alterné (103, 104, 105, 108)
- Théorème chinois dans Z, cas où les moduli ne sont pas premiers entre eux (120)
- Théorème chinois dans les anneaux principaux et euclidiens (122, 142)
- Théorème de Gauss-Lucas, application à la caractérisation de l'entier 7 (144, 181)
- Théorème de Gauss-Wantzel : constructibilité des polygones réguliers à la règle et au compas (102, 125, 127, 141, 148, 191)
- Théorème du min-max de Courant-Fischer, application à la continuité des valeurs propres des endomorphismes symétriques (153, 157, 158)
- Asymptotique d'une équation de degré 3 (214, 224)
- Calcul des ζ(2k) par les séries de Fourier (230, 243, 246)
- Deux théorèmes de point fixe dans les espaces métriques, cas compact et compact convexe (203, 223, 226)
- Formule d'inversion de Fourier dans l'espace de Schwartz (236, 239, 250)
- Formule de Stirling par le théorème central limite (235, 261, 262, 264, 266)
- Formule des compléments (236, 239, 245)
- Indécomposabilité de la loi de Poisson par les séries entières (243, 245, 261)
- Inégalité de Hardy (208, 234)
- Lemme de la grenouille, application aux suites récurrentes à valeurs dans [0, 1] (204, 223, 226)
- Théorème d'approximation de Weierstrass (201, 209, 228, 264)
- Théorème d'échantillonnage de Shannon (201, 213, 234, 250)
- Théorème de Banach-Alaoglu pour les espaces de Hilbert, application à la minimisation d'une fonctionnelle convexe coercive (203, 205, 213, 219, 229, 253)
- Théorème de Banach-Steinhaus et existence d'une série de Fourier divergente en 0 (205, 208, 235, 246)
- Théorème de Bohr-Mollerup : unicité de la fonction Gamma d'Euler (228, 229, 236, 239, 253)
- Théorème de Lévy et théorème central limite (209, 218, 235, 241, 250, 261, 262)
- Un théorème taubérien de Hardy-Littlewood (209, 223, 224, 230, 241, 243)
- Image de l'exponentielle matricielle (155, 204)
- Lemme de Morse (157, 206, 214, 215, 218)
- Matrices minimisant la norme euclidienne sur SLn(R) (149, 206, 215, 219)
- Produit eulérien pour la fonction zêta, application à la divergence de la série des inverses des nombres premiers (121, 264, 266)
- Suites de Sturm (142, 144, 226)
J'ai aussi rédigé un développement sur le complété d'un espace métrique. Il n'est pas très recasable puisqu'il ne rentre que dans la leçon Espaces complets et à vrai dire, je vous déconseille de le travailler en tant que tel. Cependant, le résultat est bon à connaître : lorsqu'une suite de Cauchy ne converge pas, on peut toujours agrandir l'espace pour améliorer la situation, et c'est d'ailleurs une des deux constructions du corps des réels les plus courantes avec celle des coupures de Dedekind.
Mémoire de M2
Mon mémoire portait sur la leçon 203 : Utilisation de la notion de compacité. J'avais choisi comme développements deux résultats sur les points fixes dans les espaces métriques compacts, ainsi que le théorème de Banach-Alaoglu pour les espaces de Hilbert.
Il est spécifiquement indiqué dans le rapport de jury qu'il ne s'agit pas d'une leçon centrée sur la notion de compacité en topologie générale, elle ne doit donc pas faire l'objet d'un exposé purement « théorique » à ce sujet. J'ai choisi de traiter les thèmes suivants.
- Fonctions continues sur un espace métrique compact
- Compacité dans les espaces vectoriels normés, en dimension finie et dans les espaces de fonctions continues
- Convergence faible dans les espaces de Hilbert
Sites de référence
Voici les pages de mes camarades sur lesquelles vous trouverez toutes les ressources dont j'ai parlé, et bien d'autres !
Je vous conseille aussi d'utiliser le fantastique site agreg-maths pour votre préparation, et surtout d'aller voir les rapports de jury sur le site officiel !
Contact (email) : prenom.nom[at]ens-rennes.fr