Pour ce premier oral blanc, j'ai tiré les leçons 101 (actions de groupes) et 142 (pgcd et ppcm) et j'ai choisi la seconde.

Développements

• Forme normale de Smith, cas des anneaux principaux (choisi par le jury)
• Algorithme de Berlekamp

A propos du plan

1. J'ai introduit ma défense du plan en justifiant immédiatement le point de vue très abstrait que j'ai décidé d'adopter. C'était une volonté de ma part pour deux raisons : la première, c'est que tous les résultats qui sont présentés par la suite se démontrent exactement de la même façon qu'avec des hypothèses plus fortes, donc on ne perd pas en simplicité ; la seconde, c'est qu'on atteint souvent les hypothèses minimales pour faire fonctionner les choses, et donc les démonstrations des théorèmes deviennent presque évidentes et l'ordre dans lequel ils doivent être démontrés est clair.
2. Le lemme 5 devrait être plus bas car il repose sur le théorème de Gauss (erreur de ma part).
3. Je pense que j'ai choisi des applications qui, dans l'ensemble, sont relativement difficiles (en particulier, je tiens à pointer du doigt l'application 34, qui devrait attirer les questions du jury (en tout cas mon jury m'a posé la question que j'attendais), et la réponse exploite le théorème de réduction de Frobenius, à connaître donc). J'ai aussi fait exprès de jouer avec des anneaux noethériens, dans la partie Domaine de Bézout mais aussi pour le développement sur Smith (il faut utiliser le fait qu'un anneau principal est noethérien pour traiter le cas principal). Si vous n'êtes pas à l'aise avec ces choses-là, mieux vaut se placer dans un cadre euclidien.

Questions du jury

1. Montrer qu'un anneau principal est noethérien.
2. Expliquer l'application 34
3. Pourquoi faire Smith dans un cadre principal si toutes les applications sont euclidiennes (j'ai répondu que Smith principal revêt un caractère philosophique dû au théorème 22) ?
4. Peut-on donner une borne sur la complexité de l'algorithme de Smith (oui dans le cas euclidien, non dans le cas principal) ?
5. Comment montrer l'unicité de la forme de Smith ?
6. Préciser l'algorithme d'Euclide étendu (remarque 26).

Conclusion

Dans l'ensemble, ça c'est très bien passé. Le jury m'a un peu reproché le cadre très abstrait dans lequel je me place lorsque la plupart des applications se font dans des anneaux euclidiens. Ils insistent sur le fait qu'il n'est pas nécessaire de parler de domaines de Bézout ni même d'anneaux à PGCD, et qu'on peut tout faire en jonglant entre des anneaux factoriels et euclidiens. Ils ont également dit qu'il était peut-être un peu limite que les deux développements soient de nature algorithmique, avant d'ajouter qu'ici ça allait parce que les deux algos sont très différents, et que le risque dans cette leçon est plus de ne pas mettre assez d'algos que d'en mettre trop.

Cette fois-ci, j'ai tiré la 205 (espaces complets) et la 239 (intégrales à paramètres). C'est la deuxième que j'ai retenue.

Développements

• Théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov
• Holomorphie sous l'intégrale (cas sigma-fini) et application au problème des moments (choisi par le jury)

A propos du plan

Le plan contient quelques erreurs mais le jury ne m'en a pas vraiment tenu rigueur car je les ai rapidement corrigées à l'oral à leur demande :

• Dans le théorème de Fubini, c'est une simple implication et non une équivalence ((i) implique (ii) et (iii))
• je l'ai corrigé sur le scan, mais j'avais écrit L¹ ou lieu de L^∞ dans le théorème 18.iii

C'est tout à fait sciemment que je me suis placé tout le long du plan dans le cadre d'espaces mesurés abstraits. Il faut toutefois bien avoir conscience que ce cadre n'est pas exigible à l'agrégation et que si vous n'êtes pas très à l'aise avec la théorie de la mesure, et surtout si vous n'avez pas d'applications à proposer de ce cadre abstrait, il vaut mieux se placer dans R muni de la mesure de Lebesgue tout du long (ce qu'a confirmé mon jury lors du débrief). Dès la défense du plan, j'ai défendu ce choix en expliquant que ce cadre permet d'englober les séries (vues comme intégrales contre la mesure de comptage) mais surtout de faire des probabilités où il est fréquent d'intégrer contre des mesures abstraites.

Questions du jury et éléments de réponse

1. Enoncer le critère de Morera (utilisé pour le développement). Fonctionne-t-il quelle que soit la nature de l'ouvert sur lequel est définie la fonction holomorphe ?

   Le critère de Morera est effectivement valide quelque soit l'ouvert. On le démontre d'abord pour un ouvert convexe, puis on utilise le fait que l'holomorphie est une propriété locale et que C est localement convexe.
2. Dans la version proposée du développement, on n'a pas vraiment besoin que la loi de proba considérée soit à support compact. Donner une condition suffisante plus faible pour avoir le même résultat sans changer la démonstration.

   Il suffit que la loi de proba en question admette un moment gaussien, c'est-à-dire qu'il existe ε > 0 tel que exp(εx²) soit intégrable contre μ.
3. Préciser l'application 23 (en particulier, en quoi est-ce un corollaire des théorèmes de régularisation ?)
4. Le théorème de Riesz-Fréchet-Kolomogorov (application 24) peut-il être mis en correspondance avec un autre critère de compacité ? En particulier, comment peut-on relier ses hypothèses à celles de cet autre théorème ? L'hypothèse (iii), dite d'équitension, se retrouve également en probabilités. Dans quel contexte ?

   Ce théorème fait penser au théorème d'Ascoli. L'hypothèse (ii) est un analogue Lp de l'hypothèse d'équicontinuité, tandis que l'hypothèse (iii) permet de palier au fait que nos fonctions n'ont plus à être définies sur un compact (on s'y ramène alors grâce à cette hypothèse qui signifie que la masse des fonctions de H se dissipe uniformément à l'infini). L'hypothèse (iii), dans le cas des probabilités, est équivalente à la propriété d'uniforme intégrabilité, qui sert par exemple pour le théorème de Vitali (on la retrouve également dans l'énoncé du théorème de Prokhorov, mais je l'ai découvert après l'oral).
5. Donner un exemple de "vraie" partie de L^p pour laquelle on utilise le théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov pour montrer qu'elle est compacte.

   Toute partie équitendue bornée dans l'espace de Sobolev W^1,p (pour la norme Sobolev) est compacte pour la topologie L^p. Bien entendu, la notion d'espace de Sobolev est hors-programme, mais je n'ai sincèrement rien trouvé de plus simple comme vraie application du théorème de RFK. C'est sciemment que je ne l'ai pas indiquée dans le plan, pour éviter les questions trop directes sur les espaces de Sobolev. Cela dit, une fois que je l'ai introduit, le jury m'a demandé de préciser la définition de la norme Sobolev et d'amorcer la démonstration.
6. Donner des exemples de fonctions "concrètes" définies par une intégrale à paramètre, et qui ont de vraies applications en maths.

   J'ai répondu la fonction gamma (qui est dans le plan), la fonction zeta (qu'on voit comme une intégrale contre la mesure de comptage) et la fonction bêta (en précisant que je ne sais pas me servir de celle-ci, mais qu'elle apparaît au moins dans la définition de la loi bêta en probas)
7. Dans le lemme de Fatou (lemme 3), l'inégalité peut-elle être stricte ? Si oui, donner un exemple.

   La bosse glissante dessinée en annexe donne un exemple où l'inégalité est stricte.
8. Démontrer le théorème 18.ii et 18.iii.
9. Dans l'exemple 16, que se passe-t-il si l'une des deux variables n'admet pas de densité ? Et si aucune des deux n'en admet ?

   Cela marche toujours, mais on obtient la convolution d'une fonction contre une mesure (dont j'avais sciemment évité de parler dans le plan). Quand aucune des deux variables n'est à densité, c'est une convolution entre deux mesures de probas (c'est ce que j'ai répondu, en ajoutant que j'en avais seulement entendu parler mais que je ne sais pas vraiment le définir, ce qui n'a pas gêné le jury puisque la question allait chercher beaucoup plus loin que mon plan).

Pour cette dernière leçon, j'ai tiré la 121 (nombres premiers) et la 159 (dualité). Contrairement à mes habitudes, j'ai pris la leçon sur laquelle j'étais le plus à l'aise (121) car il y avait un développement que je voulais pouvoir tester.

Développements

• Critère de Solovay Strassen (choisi par le jury)
• Théorème de Dirichlet faible

A propos du plan

J'ai introduit le sujet en disant que les nombres premiers sont étudiés depuis l'antiquité, et pourtant ils restent encore aujourd'hui au cœur de problèmes de recherche, ce qui révèle l'étendue en la richesse des thèmes qui les entourent. Mon jury a ajouté qu'on aurait pu également dire que les étudier a un intérêt pédagogique, car il est très facile d'expliquer ce qu'est un nombre premier et de faire de l'arithmétique élémentaire avec (on le fait dès le lycée) et pourtant ça n'en est pas moins une notion profonde toujours étudiée en maths modernes.

Par rapport au plan lui-même, il contient une inexactitude dans l'ordre des théorèmes (le lemme d'Euclide qui arrive un peu tard) ce qui a conduit au jury à me faire prouver que les anneaux principaux sont factoriels. Il y a également une erreur au niveau du critère d'Eisenstein. Mis à part ça, le jury n'a pas relevé de problème dans le fond du plan, et les deux développements ont été validés.

Questions du jury et éléments de réponse

1. Comment le critère de Solovey-Strassen s'applique-t-il concrètement ? Comment faire les calculs en pratique ? Une idée du temps de calcul ?

   La plus grosse difficulté calculatoire est de calculer les symboles de Jacobi. On peut les calculer en utilisant un algorithme très similaire à celui du calcul des symboles de Legendre, qui repose sur la loi de réciprocité quadratique (qui reste vraie pour les symboles de Jacobi). Le calcul se fait en O(log(n)^3)
2. Est-ce que l'algorithme de Solovey-Strassen finit par devenir déterministe lorsque k augmente ? D'où vient le 1/2^k qui apparait dans la borne probabiliste ?

   Enoncé ainsi, l'algorithme ne devient jamais déterministe car les entiers testés sont tirés aléatoirement avec remise. Cela dit, on pourra facilement modifier l'algo pour faire un tirage sans remise, auquel cas l'algo devient déterministe si on prend k=n (mais dans ce cas l'algo est très mauvais). Le 1/2 vient du fait que l'ensemble des entiers entre 1 et n qui passent le test est un sous-groupe strict de (Z/nZ)* si n est non premier. Son cardinal est donc majoré par n / 2.
3. Pouver le lemme d'Euclide (sans utiliser la décomposition en facteurs premiers puisque celle-ci requiert le lemme d'Euclide pour sa preuve)
4. Corriger le critère d'Eisenstein. Contre-exemple au théorème faux énoncé ?

   Le critère fournit l'irréductibilité sur Q. 2X + 6 est un contre-exemple (il passe le test d'Eisenstein avec p = 3).
5. Prouver le théorème 44

   On le prouve par récurrence sur r en utilisant le fait que le centre est non-trivial. L'astuce consiste à prendre le sous-groupe cherché dans Z(G) ou G / Z(G) (et ensuite le tirer en arrière par la projection sur le quotient).
6. Soit a un entier tel qu'il existe n tel que pour tout entier k non nul, a est une puissance n-ième modulo k. Montrer que a est une puissance n-ième.

   L'idée est de décomposer a en facteurs premiers et de montrer que la valuation p-adique de tous ses facteurs est divisible par n.

Lors de mon oral d'algèbre, j'ai tiré les leçons 106 (groupe linéaire) et 144 (racines d'un polynôme). C'est cette dernière que j'ai choisie, préférant largement la théorie des corps et des anneaux sur l'algèbre linéaire. Vous trouverez ici un plan qui correspond à peu près à celui que j'ai présenté pendant l'oral.

Développements

• Caractérisation des inversibles d'un anneau d'entiers algébriques par la norme.
• Théorème de Kronecker et majoration du cardinal d'un sous-groupe de GLn(Z) (choisi par le jury)

A propos du plan

Pour introduire le sujet, j'ai expliqué que les fonctions polynomiales sont les fonctions les plus naturellement adaptées à la structure d'anneaux, et que l'étude de leurs zéros apparaît dans de nombreux problèmes variés en mathématiques.

On peut partir dans plusieurs directions pour ce plan, j'ai choisi d'éviter au plus possible les questions d'analyse numérique (pour des raisons d'affinité) et de rester au début dans le cadre des anneaux plutôt que des corps quand c'était possible puisque j'aurai besoin de polynômes à coefficients entiers pour les deux développements. La dernière partie s'envole et est complètement hors-programme : il faut être bien solide dessus pour la présenter (j'ai eu énormément de questions dessus même si c'est le premier développement que le jury a choisi).

J'ai eu l'occassion de mettre dans le plan plusieurs développements cachés (i.e. des développements que j'ai préparés pour d'autres leçons) : la réduction de la matrice circulante et tout ce qui porte sur la cyclotomie. Je vous encourage à faire de même quand c'est possible (surtout sans chercher à les inclure de force, il faut que ça reste fluide) : ça donne des items difficiles sur lesquels je n'avais pas vraiment d'incertitude.

Questions et éléments de discussion

1. Quelques précisions sur le développement. Dans quel cadre considère-t-on les racines des polynômes à coefficients entiers ? Dans quel cadre notre matrice à coefficients entiers est-elle diagonalisable ?

   Dans les deux cas, on plonge Z dans C. On considère les racines complexes avec multiplicité.
2. Comment calcule-t-on le cardinal de GL_n(F₃) ?

   On met GL_n(F₃) en bijection avec l'ensemble des bases de F₃. Pour construire une telle base, on choisit un premier vecteur différent de 0 (3ⁿ - 1 possibilités), puis un deuxième vecteur hors de la droite vectorielle engendrée par ce premier vecteur (3ⁿ - 3 possibilités), etc.
3. Peut-on avoir une généralisation du théorème de Kronecker pour des entiers algébriques de module au plus 1 ?

   J'ai tout de suite dit que la question revenait à savoir si un entier algébrique de module au plus 1 a tous ses conjugués de module au plus 1. Ne sachant pas répondre, le jury m'a suggéré de m'intéresser à la suite de Fibonacci. Ça m'a immédiatemet fait penser au nombre d'or, dont j'ai donné le polynôme minimal et les conjugués, et cela fournissait un contre-exemple.
4. A quoi peut servir le théorème 33 ?

   J'ai précisé l'application 34 : calculer l'ordre de q dans les inversibles de Z/nZ est un calcul plutôt facile, surtout si on est capable de calculer l'indicatrice d'Euler de n. Une fois ceci fait, on peut construire une extension contenant une racine primitive n-ième simplement en trouvant un polynôme irréductible du bon degré à coefficient dans F_q et en exploitant le fait que toutes les extensions de corps finis de même cardinal sont isomorphes (en tant qu'extensions). En particulier, on n'a pas besoin de calculer les facteurs irréductibles des polynômes cyclotomiques pour construire une telle extension (ce qui est un problème nettement plus coûteux).
5. (En réaction à ma réponse précédente :) comment pourrait-on explicitement calculer ces facteurs irréductibles ? A quoi cela sert-il d'avoir des racines primitives de l'unité dans un corps fini (au-delà de la pure résolution d'équations) ?

   J'ai répondu que l'algorithme de Berlekamp sert précisément à ça (c'est un de mes développements donc j'étais assez assuré). Par rapport à l'utilité de telles extensions, j'ai dit qu'il me semblait que ça sert pour l'algorithme de la transformée de Fourier rapide, tout en disant que je n'y connaissais vraiment rien. Le jury a eu l'air satisfait et m'a rassuré en disant que la question était juste pour la culture.
6. Montrer que le complexe z := (3 + 4i) / 5 n'est pas une racine de l'unité.

   A ce moment-là, je n'ai pas très bien compris où le jury voulait m'emmener et j'ai bêtement cru que la question avait un rapport avec le développement. J'ai donc cherché une espèce de contraposée au théorème de Kronecker, ce qui n'a rien donné du tout. Finalement j'ai sans conviction commencé à calculer z². Le jury m'a conforté dans cette démarche : j'ai alors fait remarquer que z est un élément de Q(i), qui est une extension de Q de degré 2. Son polynôme minimal est de degré 2 et donc on a l'assurance de trouver une relation de dépendance Q-linéaire entre z², z et 1, et donc de trouver le polynôme minimal de z en résolvant un système linéaire 2x2. Une fois fait, on trouve que le polynôme minimal de z n'est pas à coefficients entiers, d'où par le lemme 36, z n'est pas un entier algébrique et a fortiori pas une racine de l'unité.
7. Comment s'appelle le type de sommes qui apparaît dans l'exemple 16 ? Y a-t-il une formule générale permettant de les exprimer en fonction des polynômes symétriques élémentaires ?

   Je ne connaissais pas ce genre de somme : le jury m'a indiqué qu'il s'agit de sommes de Newton. Comme je ne savais pas trop comment partir, le jury m'a proposé de commencer par les formules de récurrence sur le nombre d'indéterminées qui lient les polynômes symétriques élémentaires entre eux. En bidouillant un peu et avec pas mal d'aide du jury, je suis parvenu à une formule de récurrence double sur le nombre d'indéterminées et sur la puissance qui apparaît dans les sommes de Newton.
8. Donner une matrice carrée de taille n x n à coefficients dans F_qqui soit d'ordre qⁿ - 1.

   On n'a pas eu le temps de finir cet exercice. Mon premier réflexe a été de dire que si une telle matrice M existe, le polynôme X^{q^n - 1} - 1 l'annule et de remarquer que si on multiplie ce polynôme par X, on trouve X^{q^n} - X dont l'ensemble des racines dans une extension de décomposition forme le corps à qⁿ éléments. Ici, j'ai fait une bêtise que le jury m'a fait rapidement corriger : j'ai dit que M a l'ordre voulu si, et seulement si, X^{q^n - 1} - 1 est son polynôme minimal ce qui implique que son spectre est composé de l'ensemble des éléments de L. On n'a pas équivalence et en général, on a seulement que M est diagonalisable dans L. J'ai donc proposé de partir d'une matrice diagonale de L dont les valeurs propres seraient suffisamment sympas, par exemple des racines primitives qⁿ - 1-ièmes de l'unité, puis de chercher une matrice de passage à coefficients dans L pour rammener cette matrice dans F_q. Le jury m'a alors un peu aiguillé car cette méthode aurait été très difficile à mettre en place à cause de la recherche de la matrice de passage. Ils m'ont plutôt proposé de chercher M comme la matrice d'un certain endomorphisme d'un certain F_q-espace vectoriel. Je me suis alors inspiré de l'exemple 20 et ai proposé qu'on prenne la multiplication par un générateur du groupe multiplicatif de L dans L. Le jury m'a confirmé que c'était la bonne idée et a préféré enchaîner sur une discussion portant sur les contraintes pesant sur les valeurs propres dans L d'une matrice à coefficients dans F_q plutôt que de me faire terminer la preuve. En vitesse, j'ai dit que par analogie avec ce qui se passe dans R et C (où une matrice à coefficients dans R qui admet une valeur propre complexe z admet forcément le conjugué de z comme valeur propre), on pouvait s'attendre à ce que si M à coefficients dans F_q a une valeur propre z dans L, elle admette également toutes les itérées du morphisme de Frobenius de z comme valeur propre (puisque ce morphisme engendre le groupe d'automorphismes de L/F_q (hors-programme) et que le groupe d'automorphismes de C/R est précisément composé de l'identité et de la conjugaison). L'oral s'est terminé là-dessus.

Impressions sur l'oral

Le jury était agréable et n'hésitait pas à me donner des indications dès que je partais dans une mauvaise direction, sans montrer d'agacement lorsque je bloquais (même lorsque j'ai été un peu long à mettre un complexe au carré). Plus généralement, ils ne laissaient jamais voir ce qu'ils pensaient réellement de ce que je faisais, ce qui peut être un peu déroutant. Typiquement, je suis sorti de l'oral sans savoir à quel point ce que j'avais fait était bien, et je ne m'attendais pas à avoir une note aussi élevée. Ils m'ont un peu dérouté en choisissant le développement sur Kronecker, l'autre étant à la fois plus original et plus difficile.

Note finale : 19,25/20

Pour l'oral d'analyse, j'ai tiré les leçons 209 (approximation par des fonctions régulières) et 214 (inversion locale). Ce tirage ne m'emballait pas beaucoup de prime abord, et j'ai un peu hésité sur la leçon à prendre (j'aime beaucoup le calcul diff et j'avais mon développement le plus difficile dans la 214, mais j'avais prévu d'y parler de sous-variétés sur lesquelles je ne me sentais pas extrêmement à l'aise). Finalement, j'ai choisi la 209, et je me suis beaucoup plus plu sur cette leçon que ce à quoi je m'attendais.

Développements

• Théorème de Lévy et théorème central limite
• Théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov (choisi par le jury)

A propos du plan

Pour introduire le sujet, j'ai dit qu'une démarche fréquente en analyse quand on a un problème à résoudre est de supposer que les objets qu'on manipule sont des objets réguliers sur lesquels il est facile de travailler puis d'espérer étendre les résultats à un cadre plus général par densité et des arguments topologiques.

Le rapport du jury m'a aiguillé sur plusieurs pistes qui se trouvaient être des développements dans d'autres leçons ; mon plan est donc bourré de développements cachés (Lemme de Morse, théorème taubérien fort, formule sommatoire de Poisson). J'ai en plus cherché à beaucoup insister sur la convolution et sur les aspects "intégration" sur les séries de Fourier, car je suis vraiment à l'aise avec la théorie de l'intégration de Lebesgue. En définitive, je me suis retrouvé avec un plan sur lequel je me sentais solide, et deux développements bien costauds, mais je pense que le plan final est nettement au-dessus du niveau attendu et qu'il vaut mieux ne pas le recopier si vous n'êtes pas vous-même à l'aise sur ces aspects-là.

Questions et éléments de discussion

1. Autour du développement : que signifie "relativement compact" ? Est-ce que la réciproque du théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov est vraie ? Comment la montre-t-on ?

   Une partie est relativement compacte si, et seulement si, son adhérence est compacte. Ce théorème donne en réalité une équivalence que je n'ai pas présentée dans le plan pour que ce soit clair que je n'allais pas démontrer la réciproque dans le plan (quoi que je l'ai indiquée lors de la défense du plan). Pour la démontrer, on commence par le cas où H est finie, ce qui exploite l'uniforme continuité des translations dans L^p et le théorème de convergence dominée respectivement pour l'équicontinuité et l'équitension. Ensuite, si H est relativement compact, il est précompact et donc on recouvre H avec un epsilon fixé puis on se ramène à étudier les centres des boules.
2. Préciser le lien entre la régularité de f * g et celle de g. Démonstration.

   On fait porter la dérivation à la fonction régulière. Pour la démonstration, on exploite la dérivation sous l'intégrale. Ils m'ont fait amorcer la preuve dans laquelle je me suis un peu emmêlé les pinceaux, mais comme je me suis rapidement rattrapé ils sont passés à la suite.
3. Y a-t-il une généralisation du théorème de Weierstrass ? Comment montre-t-on le théorème de Weierstrass ?

   J'ai évoqué le théorème de Stone-Weierstrass mais j'ai immédiatement précisé que je ne savais pas vraiment l'utiliser, et que j'avais choisi de l'éviter parce qu'il est très abstrait et que tous les cas d'utilisation que j'en connais se démontrent directement avec une preuve qui est instructive en soi. Pour le théorème de Weierstrass, j'ai dit qu'on peut le démontrer par les probabilités en utilisant les polynômes de Bernstein, où à l'aide du théorème de Féjèr via l'application 34.
4. A propos des contre-exemples 9, comment les montre-t-on ? Comment pourrait-on réparer ce défaut du théorème de Weierstrass dans le cas de la conjugaison ?

   Pour l'exponentielle, c'est assez facile : elle croît plus vite que n'importe quel polynôme, et donc le supremum de l'écart entre l'exponentielle et un polynôme sur R est toujours infini. Pour la conjugaison, c'est plus difficile : ça découle du théorème de Weierstrass (l'autre, celui qui porte sur les limites de suites de fonctions holomorphes). Une limite uniforme de fonctions holomorphes est holomorphe, or les fonctions polynomiales sont holomorphes mais pas la conjugaison. Tout en précisant que je n'étais pas sûr de moi, je leur ai ensuite dit qu'il me semblait qu'on récupérait le théorème de Weierstrass sur les compacts de C s'autorisant des fonctions polynomiales en z et en le conjugué de z, mais que je ne savais pas le prouver. Ils m'ont demandé s'il n'y avait pas un argument massue pour arriver au résultat, ce à quoi j'ai proposé Stone-Weierstrass (ils ont acquiescé sans demander plus de détails).
5. Quelle est l'idée de la preuve du théorème d'inversion de Fourier (application 23) ?

   On commence par le faire pour les gaussiennes, puis on convole par le noyau de Gauss (exemple 20) et on termine grâce au théorème 22.
6. Que peut-on dire en général d'une limite uniforme de fonctions polynomiales sur R ?

   Je connaissais le résultat mais pas la preuve : il s'agit encore d'une fonction polynomiale. J'ai proposé de commencer par montrer qu'une suite de fonctions polynomiales qui converge uniformément est stationnaire en degré. Une fois ceci fait, j'ai essayé d'utiliser un argument compliqué qui exploitait le fait que Rn[X] est de dimension finie, donc fermé pour toute norme. Le jury m'a signifié que la norme infinie sur R n'est pas une norme sur Rn[X]. J'allais réparer ça en écrivant R comme une union croissante de compacts mais ils m'ont arrêté pour me dire qu'il y avait beaucoup plus simple. On montre en fait que si la norme infinie de P_n - P_{n + 1} est finie, tous les coefficients de ces deux polynômes à l'exception du terme constant sont égaux. Il ne reste qu'à montrer que les termes constants convergent.
7. Montrer que l'espace vectoriel engendré par les f(x - a), où f est la fonction exp(-x²), est dense dans L2.

   Tout de suite, j'ai pensé au critère de compacité des espaces de Hilbert : il suffit de montrer que l'orthogonal de cet espace est réduit à 0. Ils m'ont demandé pourquoi ça marche, et j'ai répondu que c'est grâce au fait qu'un sous-espace fermé est toujours en somme directe avec son orthogonal dans un Hilbert. J'ai alors réécrit la condition g orthogonale à l'espace engendré par les translatés de la Gaussienne comme l'équation g * f = 0, avec f la gaussienne (après un peu de réflexion). J'ai un peu bloqué là, puis j'ai pensé à appliquer la transformée de Fourier à l'équation. Le jury m'a mis en garde sur le fait que ce n'est en général pas un morphisme d'algèbres sur L2, mais dans ce cas précis ça fonctionne car f est L1 et L∞ et donc la transformée de Fourier de la convolée est le produit des transformées de Fourier. Celle de la gaussienne est non-nulle presque partout, ce qui implique que la transformée de g est nulle. Enfin, la transformée de Fourier étant injective, on conclut que g = 0.
8. Une idée de ce qui se passe dans Lp (le jury a tout de suite dit que ça débordait du programme) ?

   J'ai proposé de remplacer la condition d'orthogonalité hilbertienne par une condition d'orthogonalité au sens du dual topologique et d'exploiter le fait que le dual de Lp est Lq quand 1 ≤ p < +∞. J'ai ajouté que j'avais peur de devoir utiliser le théorème de Hahn-Banach au passage (j'avoue que c'était surtout pour montrer que je connaissais le théorème), ce que le jury a confirmé, avant d'ajouter que de toute manière ils n'attendaient pas la preuve. On est passé à la suite.
9. Résoudre l'équation d'inconnue g dans L^p : g * f = 0 avec f la gaussienne comme tout à l'heure.

   De façon un peu hésitante, j'ai proposé qu'on régularise g par convolution (le jury a dû m'encourager un peu car je n'y croyais pas trop). J'ai pris une suite régularisante (h_n) et écrit qu'alors h_n * (f * g) = 0. En utilisant la commutativité et l'associativité du produit de convolution, on trouve (h_n * g) * f = 0. Si p ≤ 2, h_n * g est alors dans Lp (par convolution Lp-Lq) et dans L^∞ (par convolution Lp-L1), g étant L1 et Lq. Donc (h_n * g) est dans L2 car p ≤ 2 ≤ +∞ et par l'exercice précédent elle est nulle. Il suffit de faire tendre n vers +∞ pour conclure que g = 0. Je n'avais pas d'idée pour le cas p ≥ 2 mais l'oral s'est terminé là-dessus.

Note finale : 20/20