Gurwane PAPE - Agrégation

Développements

Je détaille ici des développements que j'ai trouvé rentables à apprendre pour l'agreg. Il y en aura de deux types : les développements rentables car ayant de très bons recasages, et les développements rentables car étant très rapides à retenir voire maitriser. J'appuie aussi tout particulièrement sur les développements qui ont rempli les leçons que je qualifie comme nulles.

Développements rapides à apprendre

• Méthode de Newton (218,223,224,226,229,253) : On prouve ici la convergence de la méthode de Newton pour trouver des zéros de fonctions, ce qui pose très peu de difficulté. C'est un développement vraiment peu intéressant je trouve, mais bon il remplit bien des leçons nulles. Je pense notamment à 218 (formules de Taylor) et 224 (exemple de dév asymptotiques).
  Je fais la preuve du Petit Guide de Rouvières, ce qui permet aussi de le recaser dans les leçons de convexité.
• Homéomorphisme de S_n(R) sur S_n^++(R) (152,153,155,157,158) : Le développement consiste à montrer que l'exponentielle réalise un homéomorphisme de S_n(R) sur S_n^++(R). La preuve présente peu d'intérêt mais le développement se recase dans plein de leçons pas très palpitantes. Spécifiquement, il remplit la 152 (endo diagonalisables), la 153 (valeurs propres, vecteurs propres), la 155 (exponentielle de matrices) et la 157 (matrices symétriques).
• Théorème central limite (218,261,262,266) : On prouve ici le théorème central limite qui est un théorème central en proba qui donne des limites (...). C'est de toute manière un théorème qui devra figurer dans vos leçons de proba, donc il faut en connaître la preuve. En plus, la preuve utilise des formules de Taylor, ce qui nous permet de recaser le dév dans 218 (formules de Taylor) !
  Des personnes malintentionnées vous diront qu'il faut prouver un autre résultat dans le développement (comme le théorème de Levy) pour ne pas qu'il soit trop court, mais la légende dit qu'on peut étirer la preuve du TCL pour qu'elle fasse 15 minutes. Plus sérieusement, préparez un résultat en plus à placer dans le développement afin que celui-ci dure 15 minutes.
• Théorème des deux carrés (121,122,127) : Le théorème des deux carrés est un théorème d'arithmétique dans Z, mais qui nécessite pour sa preuve d'étudier l'anneau Z[i]. Une fois qu'on est un peu familiarisé avec cet anneau, la preuve n'est plus si compliqué. Le résultat se recase dans quelques leçons pouvant être techniques à remplir, comme 122 (anneaux principaux) ou 127 (anneaux de nombres remarquables). Le dév permet aussi à lui seul de justifier de faire une partie entière sur l'anneau Z[i], il remplit donc bien les plans.
  Je fais la preuve du Théorie des corps de Ulmer, qui est un peu plus longue mais plus simple je trouve que celle du Perrin.
  C'est aussi le développement sur lequel je suis tombée le jour J ! J'ai eu quelques questions sur d'autres anneaux de nombres du type Z[x] (par exemple non factorialité de Z[i*racine(5)]) donc n'hésitez pas à regarder au moins un peu ces anneaux de nombre là.
• Différentielle de l'exponentielle de matrices et application (106,155,214,215) : Dans ce développement, on prouve la formule donnant la différentielle de l'exponentielle de matrices, puis en regardant cette différentielle en 0 et en appliquant le TIL, on prouve un résultat sur les sous-groupes petits de GL_n(R).
  C'est un développement assez original et élégant, pas très compliqué, et qui fait un joli pont entre algèbre et analyse. Si vous ne raffolez pas de calcul diff, c'est le développement parfait pour remplir ces leçons. On apprécie aussi bien qu'il remplisse la 155 (exponentielle de matrices).
  Le bémol est qu'il n'y a pas vraiment de référence faisant les choses de la manière qui me plaisait. Dans la plupart des livres de calcul diff, la formule de différentielle qui est prouvée est différente (et plus compliquée) que celle que j'utilise. Quant au résultat sur les sous-groupes petits, il n'y a que le Groupes de Lie classiques de Mansuy et Mneimé qui le traite, mais je trouve que c'est assez mal tourné dedans. J'ai donc rédigé ma version pour ce dév.

Développements avec de très bons recasages

• Théorème de Perron-Frobenius (150,153,226,261,262,264) : Le théorème de Perron-Frobenius est un résultat très utile en chaînes de Markov finies pour discuter de leur convergence (en loi). On a donc un développement qui fait presque toutes les leçons de probas et quelques leçons de réduction. Il est aussi pratique pour remplir la 153 (valeurs propres, vecteurs propres) que je trouve nulle comme leçon.
  Ça a beau être un théorème de chaînes de Markov, les connaissances nécessaires en chaînes de Markov pour l'incorporer à une leçon sont minimes. Je conseille donc beaucoup de le prendre si vous n'avez ne serait-ce que quelques souvenirs du cours de chaînes de Markov.
  La preuve que je fais est celle de Probabilités pour non probabilistes qui ne nécessite pas de connaissances sur les matrices positives. On fait surtout un coup de réduction de Jordan après avoir géré quelques détails, puis ça nous donne la convergence. On peut donc aussi le caser dans 156 (endomorphismes trigonalisables) comme application de Jordan, mais c'est un peu abusif (bon je l'ai quand même fait ...).
• Théorème de Banach-Alaoglu (208,213,219,229,253) : Dans ce développement, on montre le théorème de Banach-Alaoglu et une jolie application de celui-ci. Le théorème est un résultat de "compacité" pour la topologie faible d'un Hilbert. L'application consiste à montrer qu'une fonction convexe, continue, coercive définie sur un Hilbert admet forcément un minimum.
  On allie donc dans ce développement à la fois du travail dans les espaces de Hilbert et de la minimisation de certaines fonctions, ce qui explique le nombre de recasages. Je l'ai trouvé notamment pratique pour remplir les leçons de convexité (229 et 253) que je trouve peu intéressantes (avis d'algébriste ...). On peut aussi recaser ce dév dans la 205 (espaces complets) mais je ne l'avais pas fait car il y a plein d'autre développements qui rentrent dans cette leçon, et qui sont souvent mieux justifiés à mon avis.
  La preuve que je fais est celle du Éléments d'analyse réelle de Willem. Il contient à la fois le théorème et l'application, je crois que c'est le seul bouquin ayant les deux. Il y a plusieurs autres preuves plus courtes qu'on peut trouver, mais je trouve celle du Willem plus jolie. Il faut notamment prouver un lemme (item gratuit de plan !) où on montre qu'une suite convergent faiblement admet une extraite qui converge fortement en moyenne de Césaro.
• Inversion de Fourier (235,236,239,250) : La formule d'inversion de Fourier est un théorème très important en théorie de Fourier, dont l'énoncé devra de toute façon forcément apparaitre dans vos plans. Il faut donc en connaître la preuve, et comme celle-ci constitue un très bon dév, autant en faire un développement ! Selon la preuve que vous faites, celui-ci rentre très bien dans plusieurs leçons nulles.
  Je fais perso la preuve du Éléments d'analyse réelle de Willem, qui consiste à calculer d'abord la transformée de Fourier de la gaussienne. Ça permet de faire rentrer le dév dans 235 (interversion de symboles) et dans 236 (exemples de calcul intégral) qui sont je trouve très embêtantes à remplir. Attention tout de même au Willem qui utilise une convention pour la transformée de Fourier qui n'est peut-être pas la votre, il faut donc bien vérifier et mémoriser les étapes de calcul avec votre convention, elles pourront différer de celles du Willem.
• Sous-groupes distingués et tables de carctère (101,102,103,104,106,151,152) : Ce résultat est un résultat de représentations de groupes ! Si vous vous y intéressez et pensez en parler un peu dans vos leçons, je pense que c'est le meilleur dév de représentations que vous pouvez prendre.
  Concrêtement, on y prouve un résultat montrant qu'on peut lire le treillis des sous-groupes distingués d'un groupe rien qu'en lisant sa table de caractères. Comme montrer ce résultat est un peu court (oups, 8 min), je montrais aussi qu'on peut trouver le centre d'un groupe avec la table de caractères. Une question évidente du jury sera alors de savoir comment est ce qu'on peut trouver le groupe dérivé avec la table ... La réponse à tout ça est dans le Nouvelles histoires hédonistes de groupes et de géométrie ! Ce sont tous des exercices dedans. C'était donc ma référence principale pour ce dév.
  Il est assez logique de recaser ce résultat dans (presque) toutes les leçons de groupes. Pour les leçons d'algèbre linéaire, je pense que le recaser dans autre chose que 151 (sous-espaces stables) et 152 (endo diagonalisables) est abusif.

Quelques livres de référence

Je vais citer ici quelques livres que j'ai trouvé particulièrement pratiques pendant la préparation. Je vais éviter de parler des livres très classiques dont vous entendrez forcément parler au cours de l'année et je vais plutot parler de quelques bouquins méconnus m'ayant tapé dans l'oeil.
Cette section va donc encore plus fortement être impactée par mon style personnel, il se peut que ces bouquins ne vous plaisent pas du tout !

• Éléments d'analyse harmonique réelle, Willem : Ce bouquin traite d'analyse harmonique, donc tout particulièrement d'espaces de Hilbert et de théorie de Fourier. Je trouve qu'il allie parfaitement le fait d'aller à l'essentiel tout en couvrant quand même les points importants de la théorie. C'est donc aussi une très bonne référence à développements !
  Attention tout de même à la partie intégration, qui est entièrement traitée sous un angle totalement différent de la théorie de la mesure. Ses conventions sont aussi parfois légèrement différentes de ce qui est généralement standard.
• Algèbre linéaire, Tauvel : Il y a beaucoup de références plus "classiques" en algèbre linéaire, mais le bouquin m'ayant le plus convaincu est le Tauvel. Il est très complet et, tout en partant des bases de la théorie, arrivera ensuite à traiter de sujets divers, comme les sytèmes linéaires, la réduction, les formes quadratiques ou les espaces hermitiens. Il est donc totalement possible de l'utiliser comme unique référence pour l'algèbre linéaire. Si vous aimez bien le style de Tauvel, je vous conseille donc ce bouquin !
• Corps commutatifs et théorie de Galois, Tauvel : Cet autre bouquin de Tauvel est aussi peu connu mais était ma référence pour la théorie des corps. Si vous aimez bien le style de Tauvel ce livre vous plaira peut-être aussi.
  J'émet tout de même un léger bémol sur ce livre : Tauvel a tendance à y faire des énoncés très (trop) généraux, et une grosse partie du livre est totalement inaccessible pour l'agrégation. Si d'autres références plus "classiques", comme le Théorie de Galois de Gozard ne vous rebutent pas, il est peut-être judicieux de choisir ceux-là comme référence principale.

Quelques ressources utiles

Je compile ici quelques ressources m'ayant aidé pendant la préparation de l'agrégation.

Tout d'abord, en commençant par l'évident, il faut que vous utilisiez AgregMaths pour suivre votre couplage, et dans une moindre mesure pour chercher des développements. C'est une mine d'or pour garder une bonne vision des leçons déjà remplies et de celles à remplir. Le site peut aussi permettre de trouver quelques bons développements qui rempliront parfois providentiellement des leçons nulles, mais c'est à utiliser avec des pincettes car des fois les recasages annoncés sont abusifs ou alors au contraire il en manque des évidents.

Ensuite, les pages d'ancien·nes ayant préparé l'agreg sont très utiles pour trouver des idées de développements et se faire une bonne idée de ce qui nous attends aux épreuves. Parmi celles m'ayant beaucoup aidé, je citerais par exemple celle de Matthias Hostein, de Baptiste Dugué, de Matteo Miannay, de Gael Druez, mais à partir de celles-ci vous trouverez plein de pages d'ancien·nes avec des styles différents, je vous invite à fouiller un peu ! La page de Matthias en particulier est une vraie mine d'or, ses développements sont intéressants et originaux et ses explications dans son pdf de développements rendent tout ça très clair.

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