Mes développements rédigés et mon couplage.
Pendant mon année de préparation à l'agrégation, j'ai décidé de rédiger sous LaTeX l'intégralité de mes développements. Le but de ce document était, pour moi, de mieux assimiler les développements, en détaillant le plus possible les démonstrations, et pour les futur.e.s agrégatif.ve.s et pour mes camarades, d'avoir une base la plus solide possible pour mieux comprendre les développements qu'ielles auraient en commun avec moi. Voici donc mon pdf de développements , en espérant que vous pardonnerez le ton quelque peu familier employé dans ce document. Pour aller avec ce fichier, voici mon couplage leçons-développements .
Mes développements coups de cœur cette année
Parmi tous mes développements, j'en avais forcément des préférés, qui sont ou bien très stylés/agréables à travailler, ou bien qui se recasent tellement bien que ce serait dommage de s'en priver. En voici quelques uns :
- Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GL_n(R) : Un développement qui consiste en un théorème de point fixe original et en une application à la caractérisation des sous-groupes compacts de GL_n(R) : très sympathique à présenter et qui en plus s'est fait recaser dans 7 leçons : 101, 103, 106, 161, 181, 191, 203. C'est énorme comme dirait Jamy.
- Permutations aléatoires : j'ai vu que c'était indiqué dans le rapport du jury alors j'ai essayé de creuser pour voir : c'est du dénombrement et des actions de groupes très élégantes ! Ça peut vous rapporter beaucoup de points et en plus, ce développement modulable à souhait permet de vous assurer un développement solide dans 5 leçons : 105, 190, 261, 262, 264 avec la leçon 101 en bonus si vous manquez d'inspiration.
- Théorème de Perron-Frobenius et les chaînes de Markov : Un peu d'algèbre linéaire au service des chaînes de Markov, j'avoue que c'est plutôt stylé. Le développement en lui-même est un peu retors mais ça rentre parfaitement dans les leçons 153, 206, 226, 261, 262 et 264. 6 recasages donc, on ne va pas cracher dessus !
- L'algèbre de Wiener des séries de Fourier absolument convergentes : un développement maison basé sur le poly du cours d'espaces vectoriels normés et calcul différentiel (EVNCD) de Karine Beauchard, mais aussi sur mon stage de L3. C'est un exemple d'algèbre de Banach pas méchant que le jury appréciera sans doute ! La partie EDO sur l^1(Z) est faite pour donner des exemples non-triviaux d'EDO en dimension infinie ! Un développement modulable également à recaser salement : cela agrémente agréablement une partie sur des espaces de Banach pour les leçons 205 et 208, une partie sur les séries de Fourier pour les leçons 209 et 246 et donne des exemples d'EDO linéaires en dimension infinie pour les leçons 220 et 221 Là encore, 6 recasages, pas mal.
- Théorèmes de Montel et de la représentation conforme : un développement utilisant presque toute l'artillerie de l'analyse complexe : formules de Cauchy, principe du maximum, principe des zéros isolés, théorème de Weierstrass, théorème de l'image ouverte, inversion locale holomorphe, avec un peu d'Ascoli et d'extraction diagonale pour le théorème de Montel, afin d'aboutir à un théorème ultra puissant de géométrie complexe : le théorème de représentation conforme de Riemann ! Si vous avez un peu de recul sur la géométrie Riemannienne en dimension 2, foncez ! À mettre dans les leçons 201, 203, 204 et 245 (la légende raconte que le théorème de la représentation conforme peut rentrer dans la leçon 219, mais c'est à vos risques et périls !).
- Théorème d'échantillonnage de Shannon : on avait appris ce résultat en deuxième année de prépa en physique et je savais pas du tout d'où ça sortait. Maintenant, grâce à la transformée de Fourier dans L^2 et aux outils hilbertiens (égalité de Bessel-Parseval, critères de densité dans les Hilbert), je sais ! Vous pouvez même parler de sous-échantillonnage et de prolongement holomorphe de fonctions dont la transformée de Fourier est à support compact ! Se recase bien dans les leçons 201 (vous montrez qu'un espace fonctionnel particulier est un Hilbert et explicitez une base hilbertienne), 213 (cf juste avant), 234 et 250 (agrémente une partie transformation de Fourier dans L^2).
- Inégalité de Heisenberg : un autre théorème de physique, cette fois de physique quantique, utilisant la transformée de Fourier dans L^2 et dans l'espace de Schwartz ainsi que l'approximation par convolution pour montrer qu'une particule ne peut pas être à la fois localisée en espace et en fréquence ! Si vous êtes motivés, vous pouvez aussi utiliser les fonctions de Hermite pour montrer une version additive de l'inégalité, et la faire rentrer dans la leçon 244 (cf mon retour d'analyse) ! Sinon, à recaser dans les leçons 209, 234 et 250.
- Résolution de l'équation de la chaleur avec conditions aux bords périodiques : Et de nouveau de la physique, et encore une fois Joseph Fourier qui nous sauve ! Voici un développement où les séries de Fourier, les théorèmes de régularité sous la somme et sous l'intégrale brillent, sans oublier une petite approximation de l'unité pour justifier la continuité de la solution au temps initial, qui permet également de résoudre l'équation de la chaleur avec une donné initiale de classe L^p et non plus forcément C^0 ! À mettre allègrement dans les leçons 209, 234, 235, 241 et 246.
- Norme dans une extension de corps et applications : de nouveau un développement maison, qui démontre l'importance du déterminant et de l'algèbre linéaire en théorie des corps et en théorie algébrique des nombres ! Cet outil permet notamment de caractériser l'inversibilité d'un élément d'un anneau d'entiers de corps de nombres, qui est une des étapes menant au théorème des unités de Dirichlet, qui donne la structure de ces inversibles ! Outre son caractère original, c'est un super développement à mettre dans les leçons 125, 127, 144 et 149 (quel plaisir d'avoir un développement sympathique pour la leçon déterminant, n'est-ce pas ?) !
- Théorème de Gauss sur les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas : de la théorie de Galois accessible au niveau de l'agreg, si vous connaissez un peu, ça se refuse pas ! En plus vous pourrez frimer en réception en construisant votre meilleur pentagone (ou votre meilleur 17-gone si vous êtes malade) régulier à vos amis (je décline toute responsabilité si vos amis vous regardent bizarrement en le faisant) ! Utilise l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques, le théorème de la base télescopique et les outils des corps de rupture, vous pouvez donc le recaser dans les leçons 102, 125, 127, 141 et 191 ! Là encore, 5 solides recasages, c'est pas mal.
- Théorème de Cartan-Von Neumann : en physique mathématique, les groupes de Lie sont très présents pour étudier les symétrie des systèmes dynamiques et en déduire des invariants. Eh bien les sous-groupes fermés de GL_n(R) sont des sous-variétés de M_n(R), c'est-à-dire des groupes de Lie ! C'est le but de ce développement, utilisant l'inversion locale, l'exponentielle et le logarithme matriciels ! Vous pourrez briller en le mettant dans les leçons 106, 155, 214 et 215.
- Une méthode d'accélération de la convergence des méthodes itératives pour la résolution des systèmes linéaires : un développement idéal pour guider le jury vers de la nouveauté en utilisant des outils tout à fait élémentaires : quelques propriétés sur les polynômes de Tchebychev et c'est parti ! À mettre dans les leçons 162, 206 et 226.
- Analyse d'un schéma numérique pour une équation de réaction-diffusion : un développement tiré d'un texte de modé sur lequel je suis tombé pour mon premier oral blanc. À réserver aux aguerri.e.s de l'option B mais à mon avis ce développement peut époustoufler le jury si vous êtes solides ! J'adorais préparer et présenter ce développement, qui utilise tous les outils classiques d'analyse de schéma différences finies (et c'est pas dur ! Juste long) ! À recaser dans les leçons 206 et 218 (y a pas beaucoup de recasages, donc vraiment ne le prenez que si vous êtes motivé.e.s !).
- Autour de la décomposition en valeurs singulières : la SVD est un outil très utile en calcul scientifique et en analyse des données : cela permet de résoudre des systèmes linéaires sur-déterminés au sens des moindres carrés, et permet également de réduire le rang d'une matrice de grande taille en conservant le plus possible d'informations ! Là encore, cela utilise uniquement des outils élémentaires d'algèbre linéaire (théorème spectral, dimension de l'intersection de deux sous-espaces) et un peu de calcul différentiel pour aller plus vite sur la résolution au sens des moindres carrés. Vous pourrez recaser ce développement dans les leçons 148, 154, 157, 162 et éventuellement les leçons 153 et 219. Je conseille également la lecture de ce développement aux personnes en option B car la SVD apparaît souvent dans les textes !
Quelques plans de leçon
Je me suis également forcé à écrire quelques plans de leçon pendant cette année, et j'ai préparé avec mon camarade Samuel Gallay des leçons pendant l'année de préparations à l'agrégation.
Plans préparés en binôme avec Samuel :
Plans rédigés seul :
- Leçon 106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E. Sous-groupes de GL(E). Applications. : Une leçon que nous avons préparé en temps limité avec mes camarades Samuel et Adrienne. Je suis tombé dessus le jour J et j'ai un peu modifié la structure (cf. mon retour d'oral d'algèbre). Je trouve que la version que j'ai faite pour le vrai oral est mieux, mais cette version ressemble beaucoup à celle que j'ai présentée le jour J. Vous pourrez trouver mes références pour cette leçon dans mon retour d'oral d'algèbre.
- Leçon 159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications. : J'ai préparé cette leçon comme un oral blanc et je me suis fait interroger par mes camarades Baptiste et Jules. Je me suis rendu compte qu'on pouvait mettre beaucoup de choses dans cette leçon, alors ne vous privez pas ! J'ai utilisé comme références Rombaldi : Algèbre et géométrie pour l'agrégation , Francinou, Gianella, Nicolas, Oraux X-ENS : Algèbre 1 et Analyse 3 , Caldero, Perronnier : Carnet de voyage en Algébrie, Demailly : Analyse numérique et équations différentielles , Rouvière : Petit guide de calcul différentiel , Perrin : Cours d'algèbre , Caldero, Germoni : Histoires hédonistes de groupes et de géométrie, tome 1 et un peu de Rombaldi : Analyse matricielle .
- Leçon 253 : Exemples d'utilisation de la notion de convexité en analyse. : La leçon de mon troisième oral blanc. J'ai mis des trucs peut-être un peu trop durs dans cette leçon ! Remplacez la partie topo faible par une partie topo faible dans un Hilbert et ce sera plus facile. Mes références sont dans mon retour d'oral blanc n°3.
J'ai également dû rédiger, pour mon mémoire de M2, la leçon 190 : Méthodes combinatoires et problèmes de dénombrement qui, après une première réticence, se trouve être une leçon très agréable à préparer et à présenter, et qui se recoupe avec de multiples autres leçons d'algèbre (actions de groupe, groupes finis, groupe linéaire, corps finis, polynômes irréductibles notamment) !
Enfin, j'ai préparé l'intégralité des leçons sous forme de métaplans, que je ne mettrai pas ici, mais que vous pouvez me demander par mail si vous le souhaitez !
Un complément sur la réduction
Avant les écrits, je me suis mis à rédiger un complément sur la réduction sous l'angle de la théorie des K[X]-modules. Ce point de vue permet, selon moi, de gagner en recul sur la réduction et d'enrichir le contenu des leçons 150 (Polynômes d'endomorphisme et réduction des endomorphismes), 151 (Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes), en plus de pouvoir se recaser dans les leçons 122 (Anneaux principaux) et 148 (Dimension d'un espace vectoriel). Voici donc le complément en question.
Mes retours d'oraux
Après chaque oral blanc de leçon, j'ai rédigé un petit retour sur l'oral. J'ai également fait ça pour les vrais oraux et je trouve ça intéressant de regarder les retours des autres élèves pour se donner une idée de à quoi ressemble l'oral de l'agrégation.
Quelques références qui m'ont beaucoup servi pendant cette année d'agrégation
Au début de l'année de préparation à l'agrégation, on est souvent perdu dans la bibliothèque : quels livres regarder pour préparer ses leçons ? Je vais donc vous lister ici quelques livres qui m'ont beaucoup servi pendant cette année pour éviter que vous vous perdiez avec les livres !
Livres généraux
- V. Beck, J. Malick, G. Peyré, Objectif agrégation : pour commencer l'année d'agrégation, c'est un super livre ! Cependant, il est assez vieux et donc il ne traite pas tout le programme actuel. Cependant, les exercices sont très instructifs et les résultats importants sont bien expliqués et illustrés.
- B. Hauchecorne, Les contre-exemples en mathématique : super livre qui compile tout plein de contre-exemples à remettre dans les leçons !
- L. Isenmann, T. Pecatte, L'oral à l'agrégation de mathématiques, une sélection de développements, 2ème édition : des développements bien rédigés qui peuvent vous intéresser.
Algèbre générale
- G. Berhuy, Algèbre : le grand combat, 2ème édition : un gros pavé mais qui traite de tout et le fait très bien et peut également atteindre un niveau assez élevé ! Vous pourrez l'utiliser pour revoir les bases sur les espaces vectoriels, la géométrie euclidienne, la dualité, l'arithmétique et les corps, le groupe symétrique, et pour les plus motivés, vous pourrez y trouver un peu de théorie de Galois ou des représentations de groupes, ainsi que des modules !
- Les livres de P. Caldero et J. Germoni, Histoires hédonistes de groupes et de géométrie, tome 2 et les Nouvelles histoires hédonistes de groupes et de géométries : je ne sais pas vraiment comment résumer ces livres tant ils contiennent de choses : des trucs bizarres que vous ne lirez jamais (mais que sont les grassmanniennes ?) mais également des choses à voir absolument ! (une partie décomposition polaire ultra remplie, des formes quadratiques, de la réduction de Frobenius, beaucoup beaucoup de groupes en situation géométrique...) bref, à consulter !
- P. Caldero, M. Perronnier, Carnet de voyage en Algébrie : un super livre d'exercices et de rappels de cours pour remplir vos leçons d'algèbre !
- X. Gourdon, Les maths en tête, Algèbre et probabilités : certain.e.s d'entre vous le connaissent peut-être de la prépa, mais moi j'ai eu l'occasion de le découvrir cette année, et vous pourrez retrouver une bonne partie des résultats d'arithmétique, de réduction et d'algèbre linéaire dans les espaces euclidiens. La partie combinatoire disponible dans cette édition est très bien faite !
- D. Perrin, Cours d'algèbre : un petit livre qui traite de plusieurs aspects centraux du programme de l'agreg : un peu de groupes au début, avec le groupe linéaire pour finir cette partie groupes, également un peu d'arithmétique dans les anneaux et de théorie des corps, avec des polynômes cyclotomiques, et enfin les résultats centraux de l'étude des formes quadratiques, avec une étude détaillée du groupe orthogonal dans le cas euclidien et dans le cas général. ATTENTION : les démonstrations sont elliptiques !
- J.-E. Rombaldi, Mathématiques pour l'agrégation : Algèbre et géométrie, 2ème édition : LE livre de référence pour l'agreg en algèbre ! Là encore, vous pourrez y trouver tout ce dont vous avez besoin pour revoir les bases du programme d'algèbre de l'agreg !
Théorie des groupes, représentations
- J. Delcourt, Théorie des groupes : un très bon livre d'exercices corrigés de théorie des groupes. C'est un petit format (donc pratique à transporter), il y a un peu de rappels de cours, et les exercices sont intéressants, variés et très bien corrigés (leur preuve des théorèmes de Sylow est vraiment bien !)
- R. Mneimné, F. Testard, Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques : ok, c'est pas vraiment de la théorie des groupes au programme de l'agreg, mais on y trouve des choses très instructives à mettre dans les leçons groupes linéaires (avec une partie décomposition polaire) et exponentielle de matrices grâce aux groupes de Lie matriciels.
- G. Peyré, L'algèbre discrète de la transformée de Fourier : je ne sais pas si c'est pertinent de mettre ce livre dans cette partie, mais c'est selon moi LA référence pour la transformée de Fourier sur les groupes finis et ses applications, avec un peu de représentations également.
- J.-P. Serre, Représentations linéaires des groupes finis : un tout petit livre qui traite de tout ce qu'il y a à savoir sur les représentations de groupes, alors allez voir !
- F. Ulmer, Théorie des groupes, 2ème édition : pas grand chose à rajouter, petit livre qui contient tout ce qu'il faut, avec une partie groupe symétrique très bien faite. Il me semble que les profs de L3 de Rennes utilisent ce livre pour le cours de théorie des groupes.
Algèbre linéaire et bilinéaire
- J. Grifone, Algèbre linéaire, 6ème édition : tout est dans le titre ! Vous pourrez même y trouver une annexe sur les coniques et les quadriques ! Une mine d'or pour les leçons d'algèbre linéaire, avec une partie incroyablement bien faite sur les systèmes linéaires !
- R. Goblot, Algèbre linéaire : un livre que j'utilisais plutôt pour les formes quadratiques : tout est très bien détaillé et les résultats plus avancés (théorème de Witt notamment) sont très accessibles dans ce livre.
- R. Mansuy, R. Mneimné, Algèbre linéaire - réduction des endomorphismes : un petit livre qui traite très bien la réduction : Jordan, sous-espaces stables, Frobenius,... il y a même quelques résultats en lien avec la topologie (disques de Gerschgörin) et le livre parle également du théorème de Perron-Frobenius.
Anneaux et corps
- J.-C. Carréga, Théorie des corps : la règle et le compas : un livre qui traite les problèmes de construction à la règle et au compas de manière très détaillée en y ajoutant l'historique derrière ! Je recommande totalement.
- I. Gozard, Théorie de Galois : un livre incroyable pour la théorie des corps, sur lequel vous pouvez vous baser même si vous ne voulez pas toucher à de la théorie de Galois même avec un bâton.
- F. Ulmer, Anneaux, corps, résultant : le livre de référence pour le résultant, qui peut se recaser dans beauucoup de leçons.
Géométrie affine et euclidienne
- M. Alessandri, Thèmes de géométrie - groupes en situation géométrique : un petit livre d'exercices sur les groupes en géométrie, très utile pour les leçons sur le groupe linéaire, la géométrie affine et euclidienne et les groupes en géométrie ! C'est dans ce livre que je me suis procuré le développement sur les sous-groupes compacts de GLn(R) notamment.
- M. Audin, Géométrie : super livre qui regroupe tout ce qu'il y a à savoir sur la géométrie affine, avec une partie sur les coniques et le principe de transport par conjuguaison très bien faite !
- P. Boyer, Algèbre et géométries : pour la leçon convexité, il est top ce livre ! Pas grand chose à rajouter, je ne l'ai pas beaucoup épluché.
- R. Goblot, Thèmes de géométrie : un petit livre qui m'a servi à revoir les jauges sur les convexes, ce qui n'est pas à négliger !
- Y. Ladegaillerie, Géométrie affine, projective, euclidienne et anallagmatique : titre qui fait peur, mais vous n'utiliserez que les premières pages pour avoir l'interprétation des coordonnées barycentriques en terme de déterminant, ainsi que le détail des coordonnées barycentriques des points remarquables du triangle.
- D.-J. Mercier, Cours de géométrie : un livre super pour moi qui étais assez nul en géométrie ! Le livre repasse en revue les bases, l'utilisation des nombres complexes et peut aller jusqu'à du projectif et du birapport !
Théorie des nombres
- D. Duverney, Théorie des nombres : un livre qui traite des grands problèmes d'arithmétique ou de théorie des nombres sous l'aspect algébrique, avec tout de même des outils analytiques (fractions continues, approximants de Padé). Vous y trouverez le théorème des deux carrés, la résolution de certaines équations diophantiennes (Mordell, Fermat pour n = 3, 4 et 5) et une preuve des théorèmes de Hermite et Lindemann (c'est une preuve atroce mais bon c'est bien d'avoir une idée d'à quoi elle peut ressembler)
- G. Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres : un livre dont le niveau général est beaucoup trop haut pour moi, mais qui contient plein de choses utiles pour la culture (les différents résultats de répartition des nombres premiers jusqu'au théorème des nombres premiers, séries L de Dirichlet et théorème de la progression arithmétique, etc.), avec une partie ordres moyens qui m'a servi pour les leçons suites, séries et développements asymptotiques.
Analyse générale
- J. Bernis, L. Bernis, Analyse pour l'agrégation, 40 développements : une mine à développements pour les leçons d'analyse, dont certains sont des résultats de base, ou au programme dont il est bon de connaître la démonstration !
- P. Caldero, Carnet de voyage en Analystan : le pendant analyse du carnet de voyage en Algébrie, très bien aussi, avec de jolis tableaux résumant les techniques d'interversion de symboles !
- J.-F. Dantzer, Mathématiques pour l'agrégation : analyse et probabilités : le pendant analyse du livre de Rombaldi, contient tout ce qu'il faut de base pour l'agrégation en analyse. Il manque peut-être un peu d'analyse fonctionnelle et d'analyse complexe mais sinon, c'est super !
- X. Gourdon, Les maths en tête, Analyse : comme c'est un livre très utilisé en prépa, on peut y trouver beaucoup de choses de base niveau L1/L2 : intégrale de Riemann, suites et séries de fonctions, suites numériques, séries entières, etc. Ce livre traite aussi de séries de Fourier, ce qui n'est pas à négliger car les exercices proposés sont très instructifs !
- H. Queffélec, C. Zuily, Analyse pour l'agrégation : un livre plus avancé que le Dantzer, où vous pourrez trouver de l'analyse fonctionnelle avec des opérateurs compacts si vous voulez, de l'analyse complexe de haut niveau, une partie séries de Fourier très complète, etc.
- F. Testard, Analyse mathématique, la maîtrise de l'implicite : un livre qui m'a beaucoup servi en optimisation, mais qui possède également des parties analyse complexe très complètes.
Topologie et analyse fonctionnelle
- H. Brezis, Analyse fonctionnelle : pour les masos comme moi qui trouvent ce livre mal écrit, mais qui pourtant traite de tellement de choses que ce serait dommage de s'en priver.
- F. Hirsch, G. Lacombe, Éléments d'analyse fonctionnelle : un livre parfait pour l'analyse fonctionnelle et les espaces de Hilbert, avec un peu d'opérateurs compacts.
- H. Queffélec, Topologie : très bon livre pour revoir les bases en topologie, notamment pour la connexité.
- L. Schwartz, Topologie générale et analyse fonctionnelle : une super ref que j'ai utilisée pour les espaces complets, n'hésitez pas à aller jeter un coup d'œil.
Calcul différentiel et équations différentielles
- S. Benzoni-Gavage, Calcul différentiel et équations différentielles : un seul livre pour couvrir tout ce dont vous avez besoin pour le calcul diff et les EDO, pas mal ! Je préfère piocher dans d'autres livres pour les EDO, mais la partie calcul diff est vraiment bien faite.
- F. Berthelin, Équations différentielles : LE livre de référence pour les équa diffs selon moi, avec de très bons exercices, une partie sur les problèmes aux limites 1D, une partie numérique également (!), et même une partie sur de la résolution de certaines EDO linéaires par développement en série entière, avec notamment les fonctions de Bessel qui apparaissent !
- F. Rouvière, Petit guide de calcul différentiel : je ne sais même pas comment résumer ce livre tellement il est bien ! Vous trouverez des rappels de cours sur les théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites, sur les formules de Taylor, les extrema libres et liés, beauuucoup d'exercices très bien et très originaux mais également très transversaux ! Équations différentielles, EDP, fonctions holomorphes parfois, études locales de courbes paramétriques, bref, utilisez-le c'est un ordre !
Analyse numérique et matricielle, optimisation
- G. Allaire, S.-M. Kaber, Algèbre linéaire numérique : j'ai découvert ce livre un peu tard, mais il est vraiment bien pour l'analyse numérique matricielle.
- P. G. Ciarlet, Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation : un livre clairement moche et parfois mal rédigé, mais on arrive à trouver son compte pour les décompositions de matrice et les méthodes numériques d'approximation de valeurs propres, de résolution de systèmes linéaires, ou d'optimisation.
- J.-P. Demailly, Analyse numérique et équations différentielles : un super livre d'analyse numérique, plutôt orienté EDO, mais qui contient aussi une super partie intégration numérique et méthode de Newton.
- L. Di Menza, Analyse numérique des équations aux dérivées partielles : un tout petit livre qui est parfait pour l'option B et l'analyse des schémas numériques de résolution d'EDP !
- F. Filbet, Analyse numérique : la partie analyse matricielle est mieux que dans le Ciarlet à mon humble avis, mais il lui manque la partie optimisation.
- J.-B. Hiriart-Urruty, Optimisation et analyse convexe : un bon livre d'exercices, qui contient tout de même des rappels de cours utiles pour l'optimisation.
- P. Lascaux, R. Théodor, Analyse numérique matricielle appliquée à l'art de l'ingénieur : mon livre préféré d'analyse numérique matricielle, qui expliquent bien les choses de base et qui vont plus loin pour les plus aguerri.e.s. Les méthodes de gradient et les méthodes itératives y sont particulièrement bien expliquées.
- J.-E. Rombaldi, Interpolation et approximation : très bon livre sur l'interpolation et l'approximation par des fonctions régulières, il y a aussi une très bonne partie intégration numérique. Livre de plutôt haut niveau !
- J.-E. Rombaldi, Analyse matricielle, 2ème édition : ce livre est tellement complet que ce serait presque réucteur de le mettre dans cette catégorie. Alors oui il y a tous les résultats que vous voulez pour l'analyse matricielle, mais dans cette édition a été rajoutée une partie sur les matrices positives et le théorème de Perron-Frobenius, ainsi qu'une partie sur les matrices bistochastiques et le théorème de Birkhoff ! Il y a même une partie équations différentielles linéaires avec de l'exponentielle de matrices !
- M. Schatzman, Analyse numérique, une approche mathématique : super référence pour l'intégration numérique (il y a une partie intégration des fonctions périodiques, avec de la FFT) donc pas mal !
Analyse réelle, suites et séries, analyse complexe, fonctions spéciales
- E. Amar, E. Matheron, Analyse complexe : un livre qui a pris un parti très étrange : celui de définir les 1-formes différentielles sur C pour pouvoir construire l'intégration complexe. Outre ce choix très étrange des auteurs (que vous pouvez allègrement ignorer), ce livre contient beauucoup de choses très intéressantes pour aller plus loin dans les leçons d'analyse complexe avec notamment les biholomorphismes du disque unité et le théorème de la représentation conforme.
- M. El Amrani, Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions : un livre ultra complet, qui traite de tout ce dont on a besoin pour les leçons suites et séries ! Je recommande vivement.
- R. Groux, P. Soulat, Les fonctions spéciales vues par les problèmes : un petit livre assez moche mais tellement bien pour les fonctions spéciales ! Vous y retrouverez les fonctions Gamma, Beta, Zeta, les fonctions de Bessel, des fonctions bizarres (la fonction digamma ? C'est quoi ce truc ?) et tout ce qu'il y a à savoir dessus (comment on les prolonge, différentes formules, etc.) et tout est fait sous forme d'exercices corrigés ! La correction est à chaque fois très bien détaillée.
- J.-E. Rombaldi, Éléments d'analyse réelle : encore une pépite de Rombaldi ! Dans ce livre, tous les résultats de topologie sur R, de continuité des fonctions réelles, etc. sont présents, avec également des suites récurrentes réelles et également une partie polynômes orthogonaux absolument remarquable !
- W. Rudin, Analyse réelle et complexe : un super livre pour l'analyse complexe, qui repasse tout en revue de manière assez détaillée. Les derniers chapitres sont consacrés à des choses très très haut niveau et hors programme, mais le début est super ! Je ne connais pas trop la partie analyse réelle mais apparemment y a des séries de Fourier et c'est pas mal fait. Je conseille surtout la partie analyse complexe. Attention cependant, ce livre est traduit de l'anglais, donc la rédaction peut parfois être étrange.
- P. Tauvel, Analyse complexe pour la licence 3 : un petit livre qui traite tout ce dont on a besoin pour l'analyse complexe, notamment pour l'exponentielle et la définition des logarithmes complexes ! Plus facile à lire que le Rudin, mais contient moins de choses.
Intégration, Fourier et probabilités
- W. Appel, Probabilités pour les non-probabilistes : vous cherchez un livre qui présente les probabilités de façon ludique et heuristique, sans oublier le côté formel ? Vous voulez vous rappeler comment fonctionnent les chaînes de Markov ? Ou simplement revoir les outils de base ? Ne cherchez plus ! Ce livre est fait pour vous ! Une véritable pépite qui nous fait croire que les probabilités c'est super simple.
- M. Briane, G. Pagès, Théorie de l'intégration : LE livre qu'il vous faut pour revoir les bases de l'intégrale de Lebesgue, les résultats de densité, la convolution, les inégalités classiques (Hölder, Minkowski, Jensen) etc. Ils présentent aussi des résultats plus avancés avec de la dualité dans les espaces L^p et de l'interpolation.
- B. Candelpergher, Calcul intégral : très bonne référence de pour le calcul intégral, les théorèmes de changement de variables, avec des exemples et des contre-exemples bien expliqués. Je l'ai utilisé pour mes développements sur l'équation de la chaleur et la méthode de la phase stationnaire, qui malheureusement ne sont pas super bien rédigés dans ce livre.
- M. El Amrani, Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels : LA référence pour les séries et la transformation de Fourier selon moi. Tout est très bien expliqué et détaillé dans ce livre, bien que quelques choix soient surprenants concernant l'ordre des résultats.
- O. Garet, A. Kurtzmann, De l'intégration aux probabilités , 2ème édition : une super ref de probas, avec également des stats de bon niveau. Les résultats du programme de l'agreg y sont, mais ce livre contient bien plus que ça : théorèmes de Helly et Prokhorov, des permutations aléatoires, des tests du χ^2 avec plein d'exemples, des séries aléatoires, des preuves de la loi forte des grands nombres, etc.
- P. S. Toulouse, Thèmes de probabilités et statistique : un petit livre qui m'a servi pour finir mon étude des chaînes de Markov à espace d'états fini. Ce livre contient surtout des choses pour les personnes en option A : martingales, processus de Poisson, statistiques,... tout y est dans ce livre !
Un livre sorti du tréfond des enfers qui n'a qu'une utilisation super niche
- F. R. Gantmacher, Théorie des matrices : le seul livre que j'ai trouvé qui traite du théorème de Routh-Hurwitz sur le nombre de racines de partie réelle strictement négative d'un polynôme. Problème : c'est assez incompréhensible ! Mais bon ça parle aussi de la résolution du problème des moments grâce aux formes de Hankel alors pourquoi pas.
Livres qui m'ont plu mais que je n'ai pas ramené aux oraux
- J.-M. Arnaudiès, H. Fraysse, Cours de mathématiques - I : Algèbre : un bon livre d'algèbre, un peu vieux mais qui contient de quoi revoir les notions de k-transitivité pour les actions de groupe. Cependant, il est gros, et ne remplace pas vraiment les autres livres d'algèbre générale que j'avais déjà.
- D. Serre, Les Matrices : j'avais déjà toute une tripotée de livres sur les matrices, mais c'est un petit livre qui traite de beaucoup de choses intéressantes malgré sa petite taille.
- P. Tauvel, Cours d'algèbre : j'utilisais ce livre pour les résultats de topologie sur les matrices en lien avec la réduction (c'est très bien fait, il y a même un résultat sympa sur les fonctions de M_n(C) dans C polynômiales et invariantes par conjugaison utilisant le théorème de structure des polynômes symétriques). Mais ce livre est gros et j'avais déjà plein de livres d'algèbre générale à prendre, donc il est passé à la trappe.
- P. Tauvel, Géométrie :un très bon livre de géométrie, mais j'ai jeté mon dévolu sur d'autres livres pour les oraux.
Des liens utiles pour cette année d'agrégation.
Quand on commence une année de préparation à l'agrégation, c'est mieux d'avoir des ressources utiles et fiables ! Voici quelques pages web qui m'ont beaucoup servi pour cette année :
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Les bases :
- Le couteau suisse de l'agrégatif pour trouver des bons développements et avoir de l'inspiration pour des plans de leçons.
- Le site du jury de l'agreg de maths, pour avoir accès aux anciens sujets d'écrits et à quelques textes de modélisation rendus publics.
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Quelques sites d'ancien.ne.s agrégatif.ve.s :
Allez voir les pages d'ancien.ne.s agrégatif.ve.s ! Leurs couplages pourront vous inspirer et leurs plans de leçons et leurs développements ont été travaillés avec soins.
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Quelques pages de camarades agrégatifs :
Eux aussi ont préparé l'agrégation avec soin. Vous pourrez peut-être y trouver les couplages et les documents que ces gens talentueux ont pu rédiger :
- Thomas Courant, un pro des EDP et des méthodes de résolution de celles-ci : Fourier, méthodes variationnelles, etc. Il a regroupé tout cela dans un document très bien fait, disponible sur son site. Son mémoire contient aussi des informations sur la transformée de Fourier dans S'. (option B)
- Titouan Donnart, un théoricien analytique des nombres, mais qui n'aime pas le Tenenbaum apparemment. (option A)
- Gael Druez, un algébriste qui ne s'assumait pas jusqu'à cette année. Un professionnel de la simplicité de SO(3), des points extrémaux de la boule unité de L(E), des polynômes symétriques et de la construction à la règle et au compas. (option A)
- Baptiste Dugué, c'est peut-être un algébriste, je suis peut-être un analyste, mais ce fut un superbe compagnon de route pour cette année. Il était là pour m'écouter faire des développements au tableau et a même participé à un jury pour un oral blanc improvisé. Fan de logique, il m'a aussi appris des choses sur les codes correcteurs et les classes cyclotomique. Les développements qu'il présente sur son site en vidéo ont été longuement travaillés et sont de très bonne qualité ! (option C)
- Samuel Gallay, mon binôme pour cette année. Beaucoup de mes leçons d'analyse (surtout de proba) se sont étoffées grâce à lui. A décidé de passer l'agreg en mode difficile en préparant un article de recherche en même temps. Un analyste/probabiliste de haut niveau connu pour avoir rédigé une preuve du théorème de Cauchy-Peano par régularisation, en plus d'être un expert en FFT (il m'en a appris des choses). (option B)
- Clara Genes, ma co-déléguée pendant ces 4 années à l'ENS Rennes. En plus d'être très investie auprès des élèves, c'est aussi une remarquable pédagogue ! Ses ptites fiches techniques qu'elle a rédigées sont claires et concises, et, avec elle, même les gros théorèmes de calcul différentiel et les statistiques deviennent clairs ! (option B).
- Matteo Miannay, un généraliste fin connaisseur du théorème de Burnside sur les groupes d'ordre p^aq^b. Il a permis de faire valider mon développement sur la norme dans les extensions de corps par Philippe Caldero himself ! (option A)
- Lucas Toury, le topologue algébriste de la classe, rien ne lui résiste : son π_1 est sans doute {0} car il peut démêler tous les nœuds de l'agreg qui se présentent à lui. Groupes, représentations, groupes compacts, point fixe de Brouwer : c'est par ici que ça se passe ! (option C)
- Jean Vereecke, le probabiliste de référence dans ma promo ! Également chanteur, metteur en scène et acteur ! Il a porté la troupe de comédie musicale de l'ENS Rennes à bouts de bras pendant l'année 2022-2023. (option A)
