Je regroupe ici les travaux de lectures de recherche effectués pendant mes deux premières années scolaires à l'ENS Rennes.
Au cours du deuxième semestre de notre première année à l'ENS Rennes, avec ma camarade Alice MORINIÈRE, nous avons travaillé sur la contrôlabilité des systèmes différentiels en dimension finie, à partir du livre Control and Nonlinearity de Jean-Michel CORON : ici, on change de point de vue en étudiant les systèmes de contrôle. On n'est plus simplement observateur (analyse qualitative des solutions d'une EDO) mais aussi acteur (on rajoute un terme de contrôle), comme si notre système était une petite voiture télécommandée et qu'on pouvait utiliser la télécommande pour guider la petite voiture. C'est ça, la théorie du contrôle !
Pendant ma deuxième année à l'ENS Rennes, nous avons dû travailler sur des sujets fixés en algèbre, en statistiques et en analyse, par groupes de deux ou trois élèves afin de créer un mini-cours en plusieurs parties, en se basant sur des livres ou des articles de recherche.
Avec mon camarade Victor DE NERVO, nous avons travaillé sur un moyen algorithmique de diviser un polynôme en plusieurs variables par une famille de polynômes donnés, ce qui est l'une des premières pierres pour la justification de la notion de Bases de Gröbner pour l'étude des idéaux des anneaux de polynômes en plusieurs variables. L'étude de ces idéaux est une des briques de base de la géométrie algébrique. Ce travail a été réalisé sur la base du livre Ideals, varieties and algorithms de David A. COX, John LITTLE et Donal O'SHEA.
Avec mon camarade Sébastien MACÉ, nous avons épluché un article de recherche portant sur les propriétés d'approximation des réseaux de neurones profonds. Cet article présente un résultat important : un réseau de neurones assez profond permet d'approximer des espaces de fonctions naturels : les espaces de Lebesgue ! Cet article ne dit évidemment pas que ça, mais il était (très) dur à lire et il fallait faire court...
Avec mon camarade Titouan DONNART, nous avons étudié l'équation de Schrödinger dans un cadre dit faiblement non-linéaire et nous avons étudié comment approximer les solutions de cette équation, avec une donnée initiale à plusieurs phases fortement oscillantes, pour des données relativement simples (potentiel nul, non-linéarité sous la forme d'une fonction puissance). Ce travail a été réalisé sur la base du livre Semi-classical analysis for nonlinear Schrödinger equation de Rémi CARLES.
Pendant ma deuxième année à l'ENS Rennes, notre professeure de statistiques Mme Magalie Fromont nous a demandés de réaliser une étude statistique sur des données de notre choix. Ni une ni deux, j'ai capturé des petits monstres de mon jeu préféré et j'ai enquêté sur la répartition de leurs natures : suit-elle une loi uniforme ? Réponse dans ce fichier !
Du 2 mai au 15 juillet 2022, j'ai pu travailler aux côtés de Grégory FAYE , chargé de recherche à l'Institut de Mathématiques de Toulouse , sur une équation de réaction-diffusion bistable posée sur les arbres homogènes, qui sont donc des graphes dont chaque nœud possède le même nombre de voisins. Le but était d'étudier les différents régimes de propagation de cette équation. Cette équation pouvant modéliser une charge virale ou une quantité de neuro-transmetteurs dans le cerveau, il est logique d'étudier les conditions pour que la quantité vérifiant cette équation bistable se propage dans tout l'arbre, se résorbe à la racine de l'arbre ou converge vers un état d'équilibre.
Du 8 mai au 30 juin 2023, j'ai pu travailler aux côtés de Stefan SIEGMUND à la Technische Universität Dresden sur un moyen de formaliser les équations de Maxwell en 3 et 4 dimensions grâce au langage des formes différentielles, ainsi que sur une façon de trouver une formulation Lagrangienne de ces équations, afin de pouvoir utiliser le théorème de symétrie de Nœther sur ces équations, avec l'espoir de retrouver les quantités physiques que les élèves apprennent sans trop savoir d'où elles viennent.