Sur cette page se trouvent tous mes travaux réalisés lors de mon année de préparation au concours de l’agrégation. On y trouve surtout les développements que j’ai travaillé durant l’année, mais aussi les quelques plans que j’ai rédigés et les liens qui m’ont été d’une grande aide.

Développement

Voici tous les développements que j’ai conservés dans mon couplage final. Dans certains PDF, on trouve uniquement les résultats présentés en 15 minutes, accompagnés de la preuve de plusieurs résultats annexes. Dans d’autres, je détaille davantage la théorie autour du développement afin d'avoir du recul pour les questions

Algèbre

• A5 est l'unique groupe simple de cardinal 60.
• Continuité des racines d'un polynôme et applications aux disques de Gershgorin.
• Théorème de Courant-Fischer et applications à la continuité des valeurs propres dans le cas hermitien.
• Condition de cyclicité du groupe (Z/nZ)^*.
• Décomposition de Dunford et applications à l'exponentielle matricielle.
• Autour de la décomposition de Frobenuis
• Autour de la décomposition polaire:
  • Décomposition polaire et application à l'étude des sous-groupes compacts de GLn(R).
  • Calcul effectif par la méthode de Newton.
  • L'application exponentielle induit un homéomorphisme des matrices symétriques dans les matrices symétriques définies positives.
  • Points extrémaux de la boule unité de GLn(R).
• Ellipsoïde de John Loewner.
• Factorisation LU et de Cholesky.
• Forme normale de Smith.
• Théorème de Frobenuis-Zolotarev.
• Classification des groupes abéliens finis.
• Irréductibilité des polynômes cyclotomiques.
• Lemme de Fitting et dénombrement du cône nilpotent sur un corps fini.
• Loi de réciprocité quadratique par les formes quadratiques.
• Nombre de matrices diagonalisables de Mn(Fq).
• Nombres de polynômes irréductibles sur Fq.
• Réduction des endomorphismes normaux.
• SO_3(R) est un groupe simple.
• Théorème de Wantzel et compléments sur la construction à la règle et au compas
• Théorème des deux carrés de Fermat par les entiers de Gauss.
• Isométrie du cube.
• Théorème de Krein-Milman.

Analyse

• Asymptotique du nombre de zéros de la solution d'une équation différentielle.
• Théorème de Banach-Alaoglu dans le cas hilbertien et applications à la minimisation de fonctionnelle convexe et coercive.
• Etude de l'espace de Bergman et compléments sur la topologie des fonctions holomorphes.
• Formule des compléments.
• Formule sommatoire de Poisson et échantillonnage de Shannon.
• Méthode du gradient à pas optimal.
• Théorème de Hadamard-Levy.
• Méthode de Laplace et méthode de la phase stationnaire.
• Lemme de Morse.
• Méthode de la sécante.
• Autour des opérateurs compacts.
• Représentation des fonctions lipschitziennes.
• Théorème de stabilité de Liapunov.
• Théorème de Levy et théorème central limite.
• Théorème de Morgenstern.
• Théorème taubérien fort.
• Théorème de Weierstrass par les polynômes de Bernstein.
• Lien entre la fonction Zêta et les nombres premiers.
• Equation de la chaleur périodique.
• Equation de Schrödinger.

Voici d’autres développements sur lesquels j’ai travaillé durant l’année, mais que je n’ai pas conservés au final, car ils ne rentraient pas dans mon couplage ou qu’ils étaient trop difficiles ou inadaptés pour tenir en 15 minutes.

Autres développement

• Inégalité de Heisenberg.
• Inégalité de Hoeffding.
• Résolution d'un système hyperbolique linéaire avec la transformée de Fourier.
• Théorème de Sylow.

Plans de Leçon

Voici deux plans que j’ai rédigés au cours de l’année. Ils sont beaucoup plus complets que ce que j’aurais présenté le jour J. Ils servent à se faire une idée des différents thèmes que l’on peut aborder dans ces leçons.

• Leçon 264.
• Leçon 141.

Durant l’année, j’ai également dû rédiger un mémoire sur la leçon 250 (Transformation de Fourier : applications), l’objectif étant de détailler complètement un plan de leçon, voire plus, et de rédiger les développements.

• Rapport sur la leçon 250.

Autres conseils

Voici la liste des sites d’anciens qui m’ont été d’une grande utilité durant toute la préparation. Je ne peux que vous conseiller d’y faire un tour : il y a plein de très bons conseils et de belles mathématiques.

• Agreg-Maths
• Pierre Le Barbenchon
• Thomas Cavallazzi
• Remi Moreau
• Hugo Eurly
• Téofil Adamski
• Laurent Montaigu
• Sacha Quayle

Puisque l’agrégation se prépare à plusieurs, je ne peux pas ne pas mentionner les liens des sites de mes camarades qui ont passé l’agrégation avec moi. Leurs sites sont remplis de pépites, et je ne peux que vous conseiller d’y jeter un œil.

• Fabien Argelier
• Robinson Le Bihan
• Gurvan Guillaume
• Marine Le Meur
• Marcelo Domingues
• Matthias Hostein
• Samuel Gallay
• Gael Druez

Et pour finir, voici un document que j’ai rédigé durant l’année. L’objectif était de réunir tous les résultats utiles à la résolution de problèmes aux limites en dimension 1 en utilisant la méthode variationnelle. On y trouve donc des résultats sur les espaces de Sobolev, l’utilisation des théorèmes de Riesz et de Lax-Milgram, mais aussi l’usage de fonctionnelles convexes pour résoudre certaines équations non linéaires. Ce document permet de piocher un certain nombre de développements, mais il peut aussi être intéressant pour compléter certains plans de leçon.

• Espace de Sobolev et EDP elliptique en dimension 1.