Agrégation

J'ai préparé l'agrégation externe de mathématiques en 2019-2020 à l'université Rennes 1 et à l'ENS Rennes. Sur cette page réservée à l'agrégation se trouvent mes développements, compte-rendus d'oraux blancs... En raison de la crise sanitaire liée au COVID-19, les oraux de la session 2020 n'ont pas eu lieu, mais, les ayant préparé un minimum, j'ai décidé d'ajouter mes développements, bilan d'oraux blancs et plans de leçons afin d'aider les futurs agrégatifs.

N'hésitez pas à me prévenir en cas d'erreur.

Généralités

Vous trouverez ici quelques documents que j'ai rédigé afin de vous aider pour votre année de préparation à l'agrégation:

• Mon bilan de cette année
• Une bibliographie des ouvrages que j'ai utilisé
• Mon mémoire de Master 2 sur la leçon 265
• Mes asociations entre leçons et développements

Mes plans de leçons

J'ai rédigé des plans de leçons à la main. La quasi-totalité d'entre eux étant rédigés au crayon à papier, la qualité n'est pas optimale. De plus, l'organisation de mes plans ainsi que les choix de développements sont fortement discutables.

Leçons d'algèbre-géométrie

• 101 - Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
• 102 - Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.
• 103 - Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
• 104 - Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.
• 105 - Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
• 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E. Sous groupes de GL(E). Applications.
• 107 - Représentations et caractères d'un groupe fini sur un ℂ-espace vectoriel.
• 108 - Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
• 120 - Anneaux ℤ/nℤ. Applications.
• 121 - Nombres premiers. Applications.
• 122 - Anneaux principaux. Applications.
• 123 - Corps finis. Applications.
• 125 - Extensions de corps. Exemples et applications.
• 126 - Exemples d'équations en arithmétique.
• 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
• 142 - PGCD, PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
• 144 - Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
• 150 - Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices. (rapport de la présentation de la leçon ici)
• 151 - Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
• 152 - Déterminant. Exemples et applications.
• 153 - Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
• 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
• 155 - Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
• 156 - Exponentielle de matrices. Applications.
• 157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
• 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
• 159 - Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
• 160 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
• 161 - Distances et isométries d'un espace affine euclidien.
• 162 - Systèmes d'équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
• 170 - Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.
• 171 - Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
• 181 - Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Exemples et applications.
• 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
• 191 - Exemples d'utilisation des techniques d'algèbre en géométrie.

Leçons d'analyse-probabilités

• 201 - Espaces de fonctions. Exemples et applications.
• 203 - Utilisation de la notion de compacité.
• 204 - Connexité. Exemples et applications.
• 205 - Espaces complets. Exemples et applications.
• 207 - Prolongement de fonctions. Exemples et applications.
• 208 - Espaces vectoriels normés. Applications continues. Exemples.
Erratum: Théorème 39 (Riez-Fischer): L^p(X) est l'espace des fonctions de puissance p-ième intégrable, quotienté par l'égalité presque partout.
• 209 - Approximation d'une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.
• 213 - Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.
• 214 - Théorème d'inversion locale, théorème des fontions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.
• 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de ℝⁿ. Exemples et applications.
• 219 - Extremums: existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
• 220 - Equations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d'étude de solutions en dimension 1 et 2.
• 221 - Equations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
• 222 - Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.
• 223 - Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.
• 226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence u_n+1=f(u_n). Exemples. Application à la résolution approchée d'équations.
• 228 - Continuité, dérivabilité, dérivation faible des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et applications.
• 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
• 230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
• 233 - Analyse numérique matricielle. Résolution approchée de systèmes linéaires, recherche d'éléments propres. Exemples.
• 234 - Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
• 235 - Problèmes d'interversion de limites et d'intégrales.
• 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.
• 239 - Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.
• 241 - Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
• 243 - Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
• 245 - Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.
• 246 - Séries de Fourier. Exemples et applications.
• 250 - Transformation de Fourier. Applications.
• 253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse.
• 261 - Loi d'une variable aléatoire: caractérisations, exemples, applications.
• 262 - Convergences d'une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.
• 264 - Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.
• 265 - Exemples d'études et d'applications de fonctions usuelles et spéciales. (ce plan a été écrit pour la présentation en binôme, mais mon mémoire fournit un plan plus riche)
• 266 - Illustration de la notion d'indépendance en probabilités.
• 267 - Exemples d'utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.

Mes développements

Développements d'algèbre-géométrie

• Algorithme de Berlekamp
• Calcul de deux déterminants classiques: Vandermonde et Cauchy
• Cinq points définissant une conique
• Comptage des matrices diagonalisables sur un corps fini
• Comptage des polynômes irréductibles sur un corps fini
• Convergence d'une suite de polygones vers l'isobarycentre
• Déterminant de Vandermonde et corps cyclotomiques
• Formules de Cardan
• Groupe d'isométries du cube et du tétraèdre
• Groupe projectif (spécial) linéaire et groupe symétrique
• Irréductibilité d'une fraction particulière
• L'équation matricielle exp(A) = In
• L'homéomorphisme exponentielle entre matrices syétriques
• Loi de réciprocité quadratique
• Réduction de Jordan pour les endomorphismes nilpotents
• Simplicité du groupe alterné
• Table de caractères de S4
• Théorème de Frobenius pour les invariants de similitude
• Théorème des deux carrés
• Triplets Pythagoriciens

Développements d'analyse-probabilités

• Densité des polynômes orthogonaux
• Développement asymptotique de la série harmonique
• Dynamique des populations
• Equation de la chaleur sur le cercle
• Fonctions à variation bornée
• Formule de Stirling
• Holomorphie et polongement de la fonction Gamma
• Inégalité isopérimétrique
• Inégalités de convexité et applications
• Intégrale de Dirichlet
• Méthode de Newton
• Méthode des trapèzes
• Polynômes de Bernstein
• Séries génératrices et lois discrètes usuelles
• Théorème Central Limite
• Théorème de Cauchy-Lipschitz global
• Théorème de d'Alembert-Gauss
• Théorème de Liouville
• Théorème de Plancherel
• Théorème de Riez-Fischer
• Théorèmes du point fixe de Picard et de Cauchy-Lipschitz globalement lipschitzien
• Une équation différentielle avec des distributions

Développements mixtes

• Décomposition polaire
• Différentielle du déterminant et formule de Liouville
• Le laplacien discret en une dimension
• Lemme de Morse
• Méthode QR et problème des moindres carés
• Régréssion linéaire
• Simplicité de SO3(ℝ)
• Théorème de Krein-Milman

D'autres développements

D'autres développements que j'ai tapé après mon année de préparation à l'agrégation.

• Théorème de Lax-Milgram et application
• Equation des ondes en une dimension
• Image par l'exponentielle des matrices antisimétriques
• Equation de Schrödinger sur le cercle
• Equation de transport sur le cercle
• Groupe d'isométries du dodécaèdre (code Scilab pour voir le dodécaèdre en 3D ici)
• Equation des ondes sur le cercle
• Une estimation autour de la loi normale centrée réduite

Modélisation

Voici certains outils pourant être utile en modélisation:

• J'ai écrit un petit programme Scilab permettant de résoudre quelques EDP classiques en une dimension d'espace, via la méthode des différences finies.
• Voici un document expliquant comment contstruire des différences finies progressives, rétrogrades ou centrées, et la convergence vers les dérivées.
• J'ai rédigé un document présentant le modèle SIR, qui sert à décrire simplement une épidémie au moyen d'un système différentiel. Le document présente la modélisation et l'obtention du système différentiel, l'étude de ce dernier ainsi que les méthodes numériques d'Euler Explicite et Runge-Kutta 2 (document ici et code Scilab ici) .

Mes oraux blancs

J'ai rédigé un compte-rendu pour chacun des deux oraux blancs que j'ai passé (analyse-probabilités et modélisation).

• Oral blanc Analyse-Probabilités (13 Janvier 2020), plan de leçon préparée ici
• Oral blanc modélisation (3 Avril 2020), fichier de présentation par visio-conférence ici, codes Scilab pour les simulations numériques (équations différentielles et équations aux dérivées partielles ) et texte ici

Liens utiles

Pages personnelles de collègues ayant préparé l'agrégation avec moi

• François Legeais (Option A)
• Hugo Eulry (Option A)
• Marie Trin (Option C)

Pages personnelles d'anciens agrégatifs

Voici les liens vers les pages personnelles d'anciens agrégatifs sur lesquelles je me suis inspiré ou qui m'ont aidé.

• Fabrice Grela
• Antoine Mouzard
• Emeline Luirard
• Thomas Cavallazzi
• Pierre le Barbenchon

Autres liens utiles

Voici d'autres lien utiles.

• La minerve de l'ENS Rennes
• Agreg.org
• Agreg maths
• Site mathématique de Christophe Bertault, professeur de mathématiques en MPSI au Lycée Saint-Louis