Développements

• Dev 1 : Décomposition en valeurs singulières et applications

  Un développement mixte qui se recase dans beaucoup de leçons et qui n'est pas très compliqué. Que demander de plus ?.

• Dev 2 : Automorphismes du groupe symétrique

  Un classique de l'agreg (c'est la version dénombrement).

• Dev 3 : Dualité dans les groupes abéliens finis et marche aléatoire sur le cercle

  Un développement mêlant algèbre et probabilités qui se recase notamment dans la leçon 102.

• Dev 4 : Théorème de Charkovski

  Permet de faire autre chose que le lemme de la grenouille de la leçon sur les suites récurrentes.

• Dev 5 : Fonction Gamma et formule des compléments

  Version légèrement plus simple que celle qui est traditionnelement faite (contour rectangulaire, cf livre de Stein).

• Dev 6 : Théorème de Dirichlet faible

  Un classqiue qui permet de bien revoir l'arithmétique.

• Dev 7 : Lemme des noyaux et décomposition de Dunford

  On reprend le lemme des noyaux et la décomposition de Dunford pour en donner une application. : la surjectivité de l'exponentielle matricielle. Se recase très bien.

• Dev 8 : Théorème de Fejer

  On montre le théorème de Fejér pour les fonctions continues et Lp. C'est un développement qui permet de connaître ce théorème du cours.

• Dev 9 : Inversion de Fourier pour la fonction caratéristique

  Développement calculatoire que je n'ai pas gardé et que j'avais pris uniquement pour la leçon sur la transformée de Fourier.

• Dev 10 : Processus de Galton-Watson

  On présente les généralités sur le processus de Galton-Watson et on donne un développement asymptotique de la probablité d'extinction dans le cas critique.

• Dev 11 : Polygones construtibles à la règle et au compas

  Développement difficile qui permet de montrer pourquoi on ne peut pas couper une tarte en 7.

• Dev 12 : Déterminant de Gram et applications

  Développement classique avec une application qui peut se glisser dans les leçons sur les approximations de fonctions.

• Dev 13 : Théorème d'Hadamard-Levy

  Un théorème difficile mais qui se recase très bien.

• Dev 14 : Les corps finis et leurs polynômes irréductibles

  Un développement qui permet de bien travailler les corps finis et qui se place dans la leçon dénombrement.

• Dev 15 : Théorème de Krein-Milman

  Un théorème qui se recase dans les leçons dualité et convexité, mais dont il est difficile de trouver des applications simples.

• Dev 16 : Méthode de Laplace en dimension quelconque

  Contrairement à la méthode de Rouvière, cette méthode marche en toute dimension, et se base sur le lemme de Morse. Faire ces deux développements est donc rentable.

• Dev 17 : Indécomposabilité de la loi de Poisson

  Un résultat d'analyse complexe qui permet de bien réviser les fonctions entères et qui s'applique en probas.

• Dev 18 : Théorème de linéarisation de Lyapounov

  Développement classique (c'est la version de Rouvière).

• Dev 19 : Equation de Mordell

  Un exemple d'équation diophantienne qui se résout à l'aide de techniques d'algèbre. Permet de faire autre chose que le théorème des deux carrés.

• Dev 20 : Lemme de Morse

  Un développement d'analyse qui se recase dans les leçons sur les formes quadratiques.

• Dev 21 : Dénombrement d'ensembles de matrices sur les corps finis

  Un regroupement de plusieurs exercices de Philippe Caldero qui font intervenir des actions de groupes et le lemme de Fitting (se recase très bien).

• Dev 22 : Nombre de cycles d'une permutation aléatoire

  Un développement qui montre comment les probas peuvent simplifier un problème de dénombrement.

• Dev 23 : Nombre de descentes d'une permutation aléatoire

  Une preuve qui utilise un argument de couplage pour obtenir une égalité en loi, et qui permet un calcul algorithmique des nombres eulériens. C'est un développement fait maison (testé en oral blanc)

• Dev 24 : Théorème de Banach-Alaoglu dans un espace de Hilbert

  On utilise ici un théorème abstrait pour obtenir la solution d'un problème aux limites pour lequel le théorème de Lax-Milgram ne s'applique pas.

• Dev 25 : Théorème de Perron-Frobenius

  Un théorème d'analyse matricielle qui possède des applications pour les chaînes de Markov, mais ici il propose une application plus générale à l'étude d'un système dynamique.

• Dev 26 : Paramétrisation de SO3 par les quaternions

  Un développement plus simple qu'il n'en a l'air, simple à présenter et qui se recase très bien.

• Dev 27 : Loi de réciprocité quadratique

  On présente ici une preuve via les formes quadratiques.

• Dev 28 : Séries de variables aléatoires indépendantes

  Plusieurs résultats de convergence pour les séries de variables aléatoires indépendantes avec notamment une version de la loi de grands nombres (convergence ps pour des variables L2).

• Dev 29 : Forme normale de Smith dans un anneau principal

  On montre ici comment calculer la forme de Smith d'une matrice dont les coefficients sont dans un anneau principal (pas forcément euclidien) à partir de relations de Bezout. Ce théorème possède de nombreuses applications théoriques

• Dev 30 : Résolution de problèmes aux limites par des méthodes hilbertiennes

  On définit un espace de Sobolev H1 sur un segment et on voit comment sa structure permet de résoudre des problèmes aux limites.

• Dev 31 : Formule sommatoire de Poisson et applications

  Une démonstration de la formule de Poisson dans la classe de Schwartz et 3 applications (thêta de Jacobi, échantillonage de Shannon et inversion de Fourier). Ce développement se place dans les deux leçons de Fourier.

• Dev 32 : Sous-groupes compacts de matrices inversibles

  Via un théorème de point fixe, on caractérise le sous-groupe compact de GLn(R). Développement difficile mais qui se recase très bien.

• Dev 33 : Sous-groupes finis de matrices à coefficients entiers

  Deux résultats qui utilisent pas mal d'outils de réduction. Développement simple.

• Dev 34 : Théorème de Banach-Steinhaus et séries de Fourier

  Un résultat abstrait d'analyse fonctionnelle qui permet de montrer l'existence de fonctions dont la série de Fourier diverge en 0 (c'est même un G-delta dense).

• Dev 35 : Théorème Tauberien fort

  C'est un développement classique que j'ai rédigé d'une manière plus compréhensible pour moi. Attention à bien comprendre à quoi il sert.

• Dev 36 : Théorème limite central et extensions pour les variables à densité

  Théorème calculatoire mais qui utilise des formules de Taylor et de la transformée de Fourier.